x, y, z
ex , ey , ez
r ex x ey y ez z
dl exdx eydy ezdz
dSx
exdlydlz
exdydz
dSy dSz
eydlxdlz
ezdlxdly
eydxdz
ezdxdy
体积元
dV dxdydz
10
z
z z0 （ez平面）
P
ey
ex
坐标单位矢量的关系
z
ez
er
e
单位圆
e
o
柱坐标系与求坐标系之间
坐标单位矢量的关系
1.3 标量场的梯度
标量场和矢量场 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个
场。
如果物理量是标量，称该场为标量场。
例如：温度场、电位场、高度场等。
如果物理量是矢量，称该场为矢量场。
r
r
r gF (x,
y, z)
lim
ÑS F(x, y, z) dS
V 0
V
称为矢量场的散度。
散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。
26
散度的表达式：
直角坐标系
F
Fx
Fy
Fz
x y z
柱面坐标系
F
(F )
F
Fz
z
球面坐标系
F
1 r2
r
(r 2Fr )
16
2. 方向导数
概念： 式中：
u |
l M0
lim
l 0
u l
u x
cos
cos、cos、cos
u y
——
cos u cos
z 的方l 向余弦。
意义：方向性导数表示场沿某方向的空间变化率。
•
u——0u(M)沿 l
r l 方向增加；
lr • u——0u(M)沿 方向减小；
•
l
u ——0u(M)沿
S F gdS Fx Fy Fz
V 0 V
x y z
28
4、散度定理
从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面 所包含体积中矢量场的散度的体积分，即
SF dS V FdV
散度定理是闭合曲面积分与体积 分之间的一个变换关系，在电磁理论 中有着广泛的应用。
例如：流速场、重力场、电场、磁场等。
如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。
从数学上看，场是定义在空间区域上的函数： 静态标量场和矢量场可分别表示为：
时变标量场和矢量场可分别表示为：
14
u(x, y, z)、F(x, y, z)
u(x, y, z,t)、 F(x, y, z,t)
15
1. 标量场的等值面
1
本章内容
1.1 矢量代数 1.2 常用正交曲线坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的环流和旋度 1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理
2
1. 标量和矢量
1.1 矢量代数
标量：一个只用大小描述的物理量。
矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。
通量的概念：
ψ
rr dψ F dS
S
S
r F
ern
dS
dS
其中：
r dS
erndS
——面积元矢量；
r en
——面积元的法向单位矢量；
dψ
r F
erndS
——穿过面积元
的通dSr量；
面积元矢量
如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面法矢由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲
面的通量是：
23
蜒 S Fr
r l 方向无变化。
l
r
特点：方向性导数既与点M0有关，也与
l
方向有关。
l
M0
M
r l
方向导数的概念
问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？
3、标量场的梯度（
g或radu） u
| 概念：
u
en
，u 其中 l max
er取n 得最大值ul 的方向
意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向
1
r sin
(sin F )
1
r sin
(F )
C C 0 (C为常矢量)
散度的有关公式：
(Cf ) C f
(kF ) k F (k为常量)
( f F ) f F F f
(F G) F G
直角坐标系下散度表达式的推导 不失一般性，令包围P点的微体积V 为一直平行六面体，如图所示。则
Ax
Bx
)
ey
(
Ay
By
)
ez
(
Az
Bz
)
矢量的加减符合交换律和结合律
交换律
rr rr AB B A
结合律
r rr rr r A (B C) (A B) C
B
A
AB
B
矢量的减法
5
6
（2）标量乘矢量
kA
exkAx
ey k Ay
ez k Az
（3）矢量的标积（点积）
A B AB cos AxBx Ay By Az Bz
梯度的表达式： 直角面坐标系 圆柱面坐标系 球面坐标系
17
u
ex
u x
ey
u y
ez
u z
u
e
u
e
1
u
ez
u z
u
er
u r
e
1 r
u
e
1
r sin
u
梯度的性质：
• 标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示 该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化 最大方向上场的空间变化率。
0
圆柱坐标与 球坐标系
e
er sin
e
0
e cos
0
e
0
1
ez
0 0 1
ez
cos sin
0
直角坐标与 球坐标系
er
e
ex
sin cos
cos sin
ey
sin sin cos sin
ez
cos sin
e sin
cos
0
y e
13
ey e
ex
o
单位圆
x
直角坐标系与柱坐标系之间
P
(1,1,1)
20
而该点的梯度值为
(2x)2 (2 y)2 (1)2 3
P
(1,1,1)
显然，梯度 描述了P点处标量函数 的最大变化率，即最大的方向导数，
P
故
恒成立。
l
P
P
21
1.4 矢量场的通量与散度
1、矢量线 概念：矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。
等值面: 标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。
意义: 形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。
等值面方程： u(x, y, z) C
等值面的特点：
标量场的等值线(面)
• 常数C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面， 形成等值面族；
• 标量场的等值面充满场所在的整个空间； • 标量场的等值面互不相交。
erx
2 3
er y
2 3
erz
1 3
(1,1,1)
(2) 由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el方向的方向导数为
l
r gel
rr (ex 2x ey 2 y
rr ez )g(ex
1 2
r ey
2 2
r ez
12)
x
2
y
1 2
对于给定的P点，上述方向导数在该点取值为
l
x
2
y
1 2
1 2 2 2
e
rd
e rsin d
dSr
er dl dl
er r 2sin dd
dS dS
e dlrdl
e dlr dl
ez
rsin
drd
erdrd
球面坐标系
dV r2sindrdd
球坐标系中的线元、面元和体积元
•4、坐标单位矢量之间的关
系
直角坐标与 圆柱坐标系
eeez
ex
cos sin
0
ey
sin cos
[Fx (x0
x 2
,
y0 ,
z0 )
Fx (x0
x 2
,
y0 ,
z0 )]yz
Fx x
xyz
27
同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P 穿出该六面体的净通 量为
Ñ r r
F gdS
Fx
xyz
Fy
xyz
Fz
xyz
S
x
y
z
根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为
rr
Ñ r
gF lim
o
点P(x0,y0,z0)
y
y y0（平面） x x x0 （平面）
直角坐标系
z
dS z
ezdxdy
dz
dS y
eydxdz
dx
o
dy
dSx
exdydz
y
x
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
11
•2、圆柱面坐标系