第一章 集合与简易逻辑——第6课时：充要条件 高考数学 充要条件 专题教案
一．课题：充要条件
二．教学目标：掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系．
三．教学重点：充要条件关系的判定．
四．教学过程：
（一）主要知识：
1．充要条件的概念及关系的判定；
2．充要条件关系的证明．
（二）主要方法：
1．判断充要关系的关键是分清条件和结论；
2．判断p q ⇒是否正确的本质是判断命题“若p ，则q ”的真假；
3．判断充要条件关系的三种方法：
①定义法；②利用原命题和逆否命题的等价性；③用数形结合法（或图解法）．
4．说明不充分或不必要时，常构造反例．
（三）例题分析：
例1．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答）
（1）在ABC ∆中，:p A B >，:sin sin q A B >
（2）对于实数,x y ，:8p x y +≠，:2q x ≠或6y ≠
（3）在ABC ∆中，:sin sin p A B >，:tan tan q A B >
（4）已知,x y R ∈，22
:(1)(2)0p x y -+-=，:(1)(2)0q x y --= 解：（1）在ABC ∆中，有正弦定理知道：
sin sin a b A B
= ∴sin sin A B a b >⇔> 又由a b A B >⇔>
所以，sin sin A B A B >⇔> 即p 是q 的的充要条件．
（2）因为命题“若2x =且6y =，则8x y +=”是真命题，故p q ⇒，
命题“若8x y +=，则2x =且6y =”是假命题，故q 不能推出p ，
所以p 是q 的充分不必要条件．
（3）取120,30A B ==o o ，p 不能推导出q ；取30,120A B ==o o ，q 不能推导出p
所以，p 是q 的既不充分也不必要条件．
（4）因为{(1,2)}P =，{(,)|1Q x y x ==或2}y =，P Q ≠
⊂， 所以，p 是q 的充分非必要条件．
例2．设,x y R ∈，则22
2x y +<
是||||x y +≤ ）、是||||2x y +<的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解：由图形可以知道选择B ，D ．（图略）
例3．若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解：因为甲是乙的充分非必要条件，故甲能推出乙，乙不能推出甲，
因为丙是乙的必要非充分条件，故乙能推出丙，丙不能推出乙，
因为丁是丙的充要条件，故丁能推出丙，丙也能推出丁，
第一章 集合与简易逻辑——第6课时：充要条件
由此可知，甲能推出丁，丁不能推出甲即丁是甲的必要不充分条件，选B ．
例4．设,x y R ∈，求证：||||||x y x y +=+成立的充要条件是0xy ≥．
证明：充分性：如果0xy =，那么，①0,0x y =≠②0,0x y ≠= ③0,0x y ==于是||||||x y x y +=+ 如果0xy >即0,0x y >>或0,0x y <<，
当0,0x y >>时，||||||x y x y x y +=+=+，
当0,0x y <<时，||()()||||x y x y x y x y +=--=-+-=+，
总之，当0xy ≥时，||||||x y x y +=+．
必要性：由||||||x y x y +=+及,x y R ∈
得22()(||||)x y x y +=+即222222||x xy y x xy y ++=++
得||xy xy =所以0xy ≥故必要性成立，
综上，原命题成立．
例5．已知数列{}n a 的通项1113423n a n n n =
++++++L ，为了使不等式22(1)11log (1)log 20
n t t a t t ->--对任意*n N ∈恒成立的充要条件． 解：∵11111111()()02425324262526
n n a a n n n n n n n +-=
+-=-+->+++++++， 则1221n n n a a a a a -->>>>>L ， 欲使得题设中的不等式对任意*n N ∈恒成立，
只须{}n a 的最小项221(1)11log (1)log 20t t a t t ->--
即可， 又因为11194520
a =+=， 即只须11t -≠且22911log (1)log (1)02020
t t t t ----<， 解得1log (1)(1)t t t t -<-<>， 即101(2)t t t t
<<-<≠， 解得实数t
应满足的关系为12t +>
且2t ≠．
例6．（1）是否存在实数m ，使得20x m +<是2230x x -->的充分条件？
（2）是否存在实数m ，使得20x m +<是2230x x -->的必要条件？
解：欲使得20x m +<是2230x x -->的充分条件，则只要{|}{|12m x x x x <-
⊆<-或3}x >，则只要12m -≤-即2m ≥，
故存在实数2m ≥时，使20x m +<是2230x x -->的充分条件．
（2）欲使20x m +<是2230x x -->的必要条件，则只要{|}{|12m x x x x <-
⊇<-或3}x >，则这是不可能的， 故不存在实数m 时，使20x m +<是2230x x -->的必要条件．
（四）巩固练习：
1．若非空集合M N ≠
⊂，则“a M ∈或a N ∈”是“a M N ∈I ”的 条件．
第一章 集合与简易逻辑——第6课时：充要条件 2．05x <<是|2|3x -<的 条件．
3．直线,a b 和平面,αβ，//a b 的一个充分条件是（ ）
A.//,//a b αα
B.//,//,//a b αβαβ
C. ,,//a b αβαβ⊥⊥
D. ,,a b αβαβ⊥⊥⊥
五．课后作业：《高考A 计划》考点6，智能训练2，7，8，15，16．。