10.5 二项式定理●知识梳理1.二项展开式的通项公式是解决与二项式定理有关问题的基础.2.二项展开式的性质是解题的关键.3.利用二项式展开式可以证明整除性问题，讨论项的有关性质，证明组合数恒等式，进行近似计算等.●点击双基1.已知（1－3x ）9=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 9x 9，则｜a 0｜+｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a 9｜等于 A.29 B.49 C.39 D.1 解析：x 的奇数次方的系数都是负值，∴｜a 0｜+｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a 9｜=a 0－a 1+a 2－a 3+…－a 9. ∴已知条件中只需赋值x =－1即可. 答案：B2.（2004年江苏，7）（2x +x ）4的展开式中x 3的系数是 A.6B.12C.24D.48解析：（2x +x ）4=x 2（1+2x ）4，在（1+2x ）4中，x 的系数为C 24·22=24.答案：C3.（2004年全国Ⅰ，5）（2x 3－x1）7的展开式中常数项是 A.14B.－14C.42D.－42解析：设（2x 3－x 1）7的展开式中的第r +1项是T 1+r =C r7（2x 3）r -7（－x1）r =C r 72r -7· （－1）r ·x )7(32x r-+-，当－2r +3（7－r ）=0，即r =6时，它为常数项，∴C 67（－1）6·21=14. 答案：A4.（2004年湖北，文14）已知（x 23+x31-）n 的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x 5的系数是_____________.（以数字作答）解析：∵（x 23+x31-）n 的展开式中各项系数和为128，∴令x =1，即得所有项系数和为2n =128.∴n =7.设该二项展开式中的r +1项为T 1+r =C r7（x 23）r-7·（x31-）r=C r 7·x 61163r-，令61163r-=5即r =3时，x 5项的系数为C 37=35.答案：355.若（x +1）n =x n +…+ax 3+bx 2+cx +1（n ∈N *），且a ∶b =3∶1，那么n =_____________.解析：a ∶b =C 3n ∶C 2n =3∶1，n =11.答案：11 ●典例剖析【例1】 如果在（x +421x）n 的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.解：展开式中前三项的系数分别为1，2n ，8)1(-n n ，由题意得2×2n=1+8)1(-n n ，得n =8.设第r +1项为有理项，T 1+r =C r8·r21·x 4316r -，则r 是4的倍数，所以r =0，4，8.有理项为T 1=x 4，T 5=835x ，T 9=22561x . 评述：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r .【例2】 求式子（｜x ｜+||1x －2）3的展开式中的常数项. 解法一：（｜x ｜+||1x －2）3=（｜x ｜+||1x －2）（｜x ｜+||1x －2）（｜x ｜+||1x －2）得到常数项的情况有：①三个括号中全取－2，得（－2）3；②一个括号取｜x ｜，一个括号取||1x ，一个括号取－2，得C 13C 12（－2）=－12， ∴常数项为（－2）3+（－12）=－20. 解法二：（|x |+||1x －2）3=（||x －||1x ）6. 设第r +1项为常数项，则T 1+r =C r6·（－1）r ·（||1x ）r ·|x |r -6=（－1）6·C r6·|x |r 26-，得6－2r =0，r =3. ∴T 3+1=（－1）3·C 36=－20.思考讨论（1）求（1+x +x 2+x 3）（1－x ）7的展开式中x 4的系数； （2）求（x +x4－4）4的展开式中的常数项； （3）求（1+x ）3+（1+x ）4+…+（1+x ）50的展开式中x 3的系数.解：（1）原式=xx --114（1－x ）7=（1－x 4）（1－x ）6，展开式中x 4的系数为（－1）4C 46－1=14.（2）（x +x 4－4）4=442)44(x x x +-=48)2(xx -，展开式中的常数项为C 4482·（－1）4=1120. （3）方法一：原式=1)1(]1)1[()1(483-+-++x x x =x x x 351)1()1(+-+.展开式中x 3的系数为C 451.方法二：原展开式中x 3的系数为C 33+C 34+C 35+…+C 350=C 44+C 34+…+C 350=C 45+C 35+…+C 350=…=C 451.评述：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键.【例3】 设a n =1+q +q 2+…+q 1-n （n ∈N *，q ≠±1），A n =C 1n a 1+C 2n a 2+…+C n n a n .（1）用q 和n 表示A n ； （2）（理）当－3<q <1时，求lim∞→n n nA 2. 解：（1）因为q ≠1， 所以a n =1+q +q 2+…+q1-n =qq n --11. 于是A n =q q --11 C 1n +q q --112 C 2n +…+qq n --11C n n=q-11［（C 1n +C 2n +…+C n n ）－（C 1n q +C 2n q 2+…+C n n q n ）］ =q-11{（2n －1）－［（1+q ）n －1］} =q-11［2n －（1+q ）n ］. （2）nn A 2=q -11［1－（21q +）n ］. 因为－3<q <1，且q ≠－1， 所以0<|21q+ |<1. 所以lim∞→n nn A 2=q -11.●闯关训练 夯实基础1.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为A.20B.219C.220D.220－1解析：C 120+C 220+…+C 2020=220－1.答案：D2.（2004年福建，文9）已知（x －xa ）8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是A.28B.38C.1或38D.1或28解析：T 1+r =C r 8·x 8－r ·（－ax －1）r =（－a ）r C r8·x 8－2r.令8－2r =0，∴r =4.∴（－a ）4C 48=1120.∴a =±2.当a =2时，令x =1，则（1－2）8=1.当a =－2时，令x =－1，则（－1－2）8=38. 答案：C3.（2004年全国Ⅳ，13）（x －x1）8展开式中x 5的系数为_____________. 解析：设展开式的第r +1项为T 1+r =C r 8x 8－r·（－x1）r =（－1）r C r8x 238r-. 令8－23r =5得r =2时，x 5的系数为（－1）2·C 28=28. 答案：284.（2004年湖南，理15）若（x 3+xx 1）n 的展开式中的常数项为84，则n =_____________.解析：T 1+r =C r n （x 3）n －r·（x23-）r=C r n·xrn 293-.令3n －29r =0，∴2n =3r . ∴n 必为3的倍数，r 为偶数.试验可知n =9，r =6时，C r n =C 69=84.答案：95.已知（x x lg +1）n 展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为20000，求x 的值.解：由题意C 2-n n ＋C 1-n n ＋C n n =22，即C 2n ＋C 1n ＋C 0n =22，∴n =6.∴第4项的二项式系数最大.∴C 36（xx lg ）3=20000，即x 3lg x =1000. ∴x =10或x =101. 培养能力6.若（1+x ）6（1－2x ）5=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 11x 11. 求：（1）a 1+a 2+a 3+…+a 11； （2）a 0+a 2+a 4+…+a 10. 解：（1）（1+x ）6（1－2x ）5=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 11x 11.令x =1，得 a 0+a 1+a 2+…+a 11=－26， ①又a 0=1，所以a 1+a 2+…+a 11=－26－1=－65. （2）再令x =－1，得a 0－a 1+a 2－a 3+…－a 11=0. ②①+②得a 0+a 2+…+a 10=21（－26+0）=－32. 评述：在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法，令其中的字母等于1或－1.7.在二项式（ax m +bx n ）12（a ＞0，b ＞0，m 、n ≠0）中有2m +n =0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项.（1）求它是第几项；（2）求ba的范围. 解：（1）设T 1+r =C r 12（ax m ）12－r ·（bx n ）r =C r 12a 12－r b r xm（12－r ）+nr为常数项，则有m （12－r ）+nr =0，即m （12－r ）－2mr =0，∴r =4，它是第5项. （2）∵第5项又是系数最大的项，C 412a 8b 4≥C 312a 9b 3，① C 412a 8b 4≥C 512a 7b 5.②由①得2349101112⨯⨯⨯⨯⨯a 8b 4≥23101112⨯⨯⨯a 9b 3，∵a ＞0，b ＞0，∴49b ≥a ，即b a ≤49.由②得b a ≥58，∴58≤b a ≤49.8.在二项式（x +421x）n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项.分析：根据题意列出前三项系数关系式，先确定n ，再分别求出相应的有理项.∴有解：前三项系数为C 0n ，21C 1n ，41C 2n ，由已知C 1n =C 0n +41C 2n ，即n 2－9n +8=0， 解得n =8或n =1（舍去）.T 1+r =C r 8（x ）8－r（24x ）－r=C r8·r 21·x 434r-.∵4－43r∈Z 且0≤r ≤8，r ∈Z ， ∴r =0，r =4，r =8.∴展开式中x 的有理项为T 1=x 4，T 5=835x ，T 9=2561 x －2. 评述：展开式中有理项的特点是字母x 的指数4－43r ∈Z 即可，而不需要指数4－43r ∈N .探究创新9.有点难度哟！求证：2<（1+n1）n<3（n ≥2，n ∈N *）. 证明：（1+n 1）n =C 0n +C 1n ×n 1 +C 2n （n 1）2+…+C n n （n 1）n =1+1+C 2n ×21n +C 3n×31n +…+C n n×n n 1=2+!21×2)1(n n n -+!31×3)2)(1(n n n n --+…+!1n ×nn n n 12)1(⨯⨯⨯-⨯ <2+!21+!31+!41+…+!1n <2+21+221+321+…+121-n =2+21])21(1[211---n =3－（21）1-n <3.显然（1+n 1）n =1+1+C 2n×21n +C 3n ×31n+…+C n n ×n n 1>2.所以2<（1+n 1）n <3. ●思悟小结1.在使用通项公式T 1+r =C r n r n a-b r时，要注意： （1）通项公式是表示第r ＋1项，而不是第r 项.（2）展开式中第r +1项的二项式系数C rn 与第r +1项的系数不同.（3）通项公式中含有a ，b ，n ，r ，T 1+r 五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意n 是正整数，r 是非负整数且r ≤n .2.证明组合恒等式常用赋值法. ●教师下载中心 教学点睛1.要正确理解二项式定理，准确地写出二项式的展开式.2.要注意区分项的系数与项的二项式系数.3.要注意二项式定理在近似计算及证明整除性中的应用.4.通项公式及其应用是二项式定理的基本问题，要熟练掌握. 拓展题例【例题】 求（a －2b －3c ）10的展开式中含a 3b 4c 3项的系数. 解：（a －2b －3c ）10=（a －2b －3c ）（a －2b －3c ）…（a －2b －3c ），从10个括号中任取3个括号，从中取a ；再从剩余7个括号中任取4个括号，从中取－2b ；最后从剩余的3个括号中取－3c ，得含a 3b 4c 3的项为C 310a 3C 47·（－2b ）4C 33（－3c ）3=C 310C 47C 4332（－3）3a 3b 4c 3.所以含a 3b 4c 3项的系数为－C 310C 47×16×27.。