第三讲：与三角形有关的角度求和
【知识要点】
1．与三角形有关的四个基本图及其演变；
2．星形图形的角度求和. 【新知讲授】
例一、如图，直接写出∠D 与∠A 、∠B 、∠C 之间的数量关系. 箭形： ；蝶形： ；四边形： . 请给出“箭形”基本图结论的证明（你能想出几种不同的方法）：
例二、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系 1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；
2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠
A 的关系；
3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.
A B C I A B C D I
A B C D E I C
B D
A C
B D A A D
B C
例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系 发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.
发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.
发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，
探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.
I
I
I
B
D
A
C
B
D
A
A D
B C
I
I
I C
B
A C B
D A E
A E
D
B
E
C
I I I C B
D A C
B A E
A E D
B F D E F F C
例四、如图，在△ABC 中， BP 、BQ 三等分∠ABC ，CP 、CQ 三等分∠ACB.
（1）若∠A=60°，直接写出：∠BPC 的度数为 ，∠BQC 的度数为 ； （2）连接PQ 并延长交BC 于点D ，若∠BQD=63°，∠CQD=80°，求△ABC 三个内角的度数.
例五、如图，BD 、CE 交于点M ，OB 平分∠ABD ，OC 平分∠ACE ，OD 平分∠ADB ，OE 平分∠AEC ，
求证：∠BOE=∠COD ；
【题型训练】
1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数和.
2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.
3．如图，已知∠1=60°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.
B
A M
E
C
D O
D
Q
P C
B
A
D
B
C
E
A
D
B
C
F E A
发散探索：①如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；
②如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； ③如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= . ④如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .
⑤如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； ⑥如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； ⑦如图，BC ⊥EF ，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数.
第 三 讲 作 业
1．如图，B 岛在A 岛的南偏西30°，A 岛在C 岛的北偏西35°，B 岛在C 岛的北偏西78°，则从B 岛看A 、C 两岛的视角∠ABC 的度数为( ).
(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°
2．如图，D 、E 分别是AB 、AC 上一点，BE 、CD 相交于点F ，∠ACD=30°，∠ABE=20°，∠BDC+∠BEC=170°则∠A 等于( ).
(A)50° (B)85° (C)70° (D)60° 3．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠ 的度数是( ). (A)75° (B)60° (C)65° (D)55°
4．如图，在△ABC 中，∠BAC=36°，∠C=72°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AF ∥BC ，交BD 的延长线于点F ，AE 平分∠CAF 交DF 于E 点.我们定义：在一个三角形中，有一个角是36°，其余两个角均为72°的三角形和有一个角是108°，其余两个角均为36°的三角形均被称作“黄金三角形”，则这个图中黄金三角形共有( ).
(A)8个 (B)7个 (C)6个 (D)5个
5．如图，∠A=35°，∠B=∠C=90°，则∠D 的度数是( ).
(A)35° (B)45° (C)55° (D)65°
C B
D
A F
E
6．如图，已知∠A+∠BCD=140°，BO 平分∠ABC ，DO 平分∠ADC ，则∠BOD=( ). (A)40° (B)60° (C)70° (D)80°
7．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到了一个四边形，则∠1+∠2= ．
8.如图，在△ABC 中，∠A=80°，点D 为边BC 延长线上的一点，∠ACD=150°，则∠
B= .
9．将一副直角三角板如上图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的
一条直角边重合，则∠1的度数为 .
10．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB
上，BC 与DE 交于点M ．若∠ADF=100°，则∠BMD 为 ．
11．如图，在△ABC 中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠
AEC=______.
12．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平
分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，…，如此下去，∠A n ﹣1BC 的平分线与∠A n ﹣1CD 的平分线交于点n A ．设∠A=θ．则∠A 1= ；n A = ．
13．已知：如图1，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的角平分线交于点O ，则1902
BOC A ∠=︒+∠
11
18022
A =⨯︒+∠；如图2，在△ABC 中，∠ABC 、∠AC
B 的两条三等分角线分别对应交于点1O 、2O ，则12118033BO
C A ∠=⨯︒+∠，212
18033
BO C A ∠=⨯︒+∠；……；根据
以上阅读理解，当n 等分角时，内部有1n -个交点，你以猜想1n BO C -∠=( ).
(A)21
180A n n ⨯︒+∠
(B)12
180A n n ⨯︒+∠
(C)
118011n A n n ⨯︒+∠-- (D)11
180n A n n
-⨯︒+
∠
14．在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边上的高，BE 平分∠ABC ，求∠DBE 度数.
A B
C 图1
C
B
A 图2
图3
O
O 1
O 2。