在平面三结点三角形单元中的位移、应变和应力具有什么特征？
在平面四结点单元中，位移模式能否取为： （1）
2
872
65243221),(),(y xy x y x v y xy x y x u αααααααα+++=+++=
（2）2
876524321),(),(y y x y x v x y x y x u αααααααα+++=+++=
试写出下列单元的位移模式，并求出其形函数矩阵[]N
设图 所示三结点轴力杆件单元
ijm 的位移函数为2
321)(x x x u ααα++=,该位移函数是否满足收敛准则? 求出其形函数矩阵[]N 。
i EA j )(ξx
在1–2 图1–2所示平面三角形桁架，结点坐标为：1（0,0），2（2l
,2l ），3（l 2,0），E 、A 为弹性模量及截
面积。
用有限元素法求：
（1）结点位移； （2）元素内力； （3）支座反力；
图1–2
1–5 用有限元素法对结构问题进行静力分析中，协调条件、平衡条件、以及物理关系是如何体现的？
3–12 有中心椭球孔的矩形板，两个侧边受线性分布的侧压p ，如图3–12所示。
如何利用对称面条件减少求解的工作量，并画出计算模型，列出计算步骤。
(5.5)
3–13 高度为h 、宽度为a 9的矩形板，2/h 高度上有3个尺寸相同的矩形孔
（如图3–13所示），侧面受线性分布侧压。
如何利用其自身的几何特点减少计算工作量，并画出计算模型、列出计算步骤。
(5.6)
4–1 三结点三角形元素ijm 的位移函数能否选为： （1）
()()2
6543221,,y a x a a y x v y a x a a y x u ++=++= （2）
()()2
652
423221,,y
a xy a x a y x v y a xy a x a y x u ++=++=
4–2 推导三结点平板元素在局部坐标系xoy 中的元素刚度矩阵？
4–3 正方形平板，厚度为t ，边长为a ，弹性模量E ，材料泊桑比μ，载荷P ，按图4–3所示分元，求1、3点的位移？
4–4 图4–4所示的矩形板1234，分成四个常应变三角形元素 （1）形成这些元素集合的刚度矩阵？
图4–
2
图4–3
（2）若1234就是一个矩形元素，形成刚度矩阵？
4–5 矩形平板元素的位移函数能否取为： （1）
()()2
872
65243221,,y
a xy a x a a y x v y a xy a x a a y x u +++=+++= （2）
()()2
876524321,,x
a y a x a a y x v x a y a x a a y x u +++=+++=
4–7 写出下列三角形元素各结点的面积坐标值，并利用内插方法找出元素的形状函数?（图4–7所示，各边结点等间距）
4–8 求图4–8所示各元素，在分布力作用下，元素的等效结点载荷?
4–9 求三结点和六结点三角形元素在自重作用下的等效结点载荷?（设比重为ν，厚度为t ，元素面积∆）
4–11 证明3结点三角形单元的插值函数满足
()ij i i i y x N δ=,， 及 1=++m j i N N N （2.1）
图4–
4
图4–7 图4–8
4–12 图4–12所示3结点三角形单元，厚度为t ，弹性模量是E ，泊桑比0=ν。
试求：插值函数矩阵N ，应变矩阵B ，应力矩阵S ，单元刚度矩阵e K 。
（2.2）
4–13 写出图4–13所示三角形单元的插值函数i N ，j N ，m N 以及应变矩阵B 。
（2.3）
图4–12 图4–13
4–14 图4–13中单元在jm 边作用有线性分布的面载荷（x 方向），试求结点载荷向量。
4–18 验证用面积坐标给出的二次(三角形)单元的插值函数61~N N 满足1=∑i N （6~1=i ）。
4–19 二维单元在y x 坐标平面内平移到不同位置，单元刚度矩阵相同吗?在平面内旋转时怎样?单元旋转180°后单元刚度矩阵与原来的相同吗?单元作上述变化时，应力矩阵S 如何变化?
4–21 8结点矩形元（每边中点为结点）的位移函数可取
2
162
152
142
131211109282726254321ξη
βηξβηβξβξηβηβξββξηβηξβηβξβξηβηβξββ+++++++=+++++++=v u
试求插值函数81~N N 并证明它们满足插值函数的基本要求。
4–24 试证明面积坐标与直角坐标满足下列转换关系。
（2.14）
m
m j j i i m m j j i i L y L y L y y L x L x L x x ++=++=
9. (本题20分) 如下图所示结构，以Ｘ－Ｙ坐标系表示的刚度矩阵为：
试建立以Ｐｘ１ ，Ｐｙ１，Ｐｘ２来表示的刚度矩阵。
1–4 图1–4所示正方形桁架，周边长a ，桁架由五条杆元素组成，弹性模量为E ，截面积为
A ，求：P 载荷作用下2、3点的位移？
1–9 图1–9所示的三结点杆元素ijm ，A 、E 为元素的截面积和材料弹性模量，元素的位移函数为：()2
210x a x a a x u ++=
试分析：（1）上述位移函数是否满足收敛准则？ （2）求元素的形状函数矩阵[]N ；
（3）求元素的几何矩阵[]B ，应力矩阵[]S ； （4）元素的刚度矩阵[]e
K ；
5–1 空间直三棱体单元（图5–1），用插值方法构成单元的形状函数？（456∆在xy 面内） 提示：在xy 平面内用面积坐标内插，在z 方向按两点拉格朗日插值。
图1–
9
⎪⎪⎭⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧２１２１ｙｙｘ１ｘｖｖｕｕ＝Ｐ
Ｐ
ＰＰ5.25.25.25.20.55.283.15.45.20.1021
2图1–
4
6–3 试求图6–3所示二维过渡元的形状函数。
（1）1N ，4N ？ （2）2N ，3N ，4N ？
6–4 图6–4所示为四边形单元，试计算x N ∂∂1和y N ∂∂2在自然坐标为（1/2，1/2）
的点Q 的数值（因为单元的边是直线，可用4个结点定义单元的几何形状）。
图6-4
6–9 二维4结点等参元，在x ，y 坐标系中单元各边与坐标轴x ，y 平行，边长为a ，b ，确定下列载荷情况下的结点载荷
（1）在x 正方向有一分布载荷作用在1=ξ的边上。
载荷在1-=η为0，在1=η为0q ，呈线性变化。
（2）在y 正方向上作用有均匀的体积力0b 。
图6–3。