知识框架
一、带余除法的定义及性质
1.定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,
0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：
(1)当0
r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商
(2)当0
r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商
一个完美的带余除法讲解模型:如图
这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
2.余数的性质
⑴被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数；
⑵余数小于除数．
一、余数定理：
1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2
2.余数的加法定理
a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝
2.
当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4
3.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.
乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同．
二、同余定理
1、定义
整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm）
2、同余的重要性质及举例。
〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）；
〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm）
〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）；
〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm）
〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）；
〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm）
其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性"
注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类：
〈1〉用2来将整数分类，分为两类：
1，3，5，7，9，……（奇数）；
0，2，4，6，8，……（偶数）
〈2〉用3来将整数分类，分为三类：
0，3，6，9，12，……（被3除余数是0）
1，4，7，10，13，……（被3除余数是1）
2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）
〈3〉在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是：
0（mod6）：0，6，12，18，24，……
1（mod6）：1，7，13，19，25，……
2（mod6）：2，8，14，20，26，……
3（mod6）：3，9，15，21，27，……
4（mod6）：4，10，16，22，29，……
5（mod6）：5，11，17，23，29，……
重难点
一个自然数被9除的余数和这个自然数所有数字之和被9除的余数相同。
同余在解答竞赛题中有着广泛的应用．在这一讲中，我们将深入理解同余的概念和性质，悟出它的一些运用技巧和方法．
例题精讲
【例1】两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．
【巩固】用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？
【例2】有一个整数，用它去除73，112，165所得到的3个余数之和是60，那么这个整数是______。
【巩固】用自然数n去除65，94，129得到的三个余数之和为30，那么n=________．
【例 3】 求89
143除以7的余数．
【巩固】 2013"2"2222个除以13所得余数是？
【例 4】 一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是3的整数倍，每人的岁数都
是一个质数，四人岁数之和是100，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁?
【巩固】 有三所学校，高中A 校比B 校多10人，B 校比C 校多10人．三校共有高中生2196人．有一所
学校初中人数是高中人数的2倍；有一所学校初中人数是高中人数的1.5倍；还有一所学校高中、初中人数相等．三所学校总人数是5480人，那么A 校总人数是________人．
【例5】若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为_______．
【巩固】一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为a，2
a+，则这个自然数是多少？
a+，5
【例6】有这样一类2009位数，它们不含有数字0，任何相邻两位（按照原来的顺序）组成的两位数都有一个约数和20相差1，这样的2009位数共有________个．
【巩固】在两位数10，11，…，98，99中，将每个被7除余2的数的个位与十位之间添加一个小数点，其余的数不变．问：经过这样改变之后，所有数的和是多少?
【例7】甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A 除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少？
【巩固】已知60，154，200被某自然数除所得的余数分别是1
a-，求该自然数的值．
a-，2a，31
【例8】已知n是正整数，规定!12
=⨯⨯⨯，
n n
令1!12!23!32007!2007
m=⨯+⨯+⨯++⨯，则整数m除以2008的余数为多少？
【巩固】已知n是正整数，规定!12
n n
=⨯⨯⨯，
令3!34!45!52012!2012
Q=⨯+⨯+⨯++⨯，则整数Q除以2013的余数为多少？
【例 9】 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余
数，则这个自然数是多少？
【巩固】 两位自然数ab 与ba 除以7都余1，并且a b >，求ab ba ⨯．
【例 10】 设n 为正整数，2004n k =，k 被7除余数为2，k 被11除余数为3，求n 的最小值．
【巩固】 试求不大于100，且使374n n ++能被11整除的所有自然数n 的和．
课堂检测
【随练1】 2024除以一个两位数，余数是22．求出符合条件的所有的两位数．
【随练2】 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？
【随练3】
20032与22003的和除以7的余数是________．
【随练4】 从1，2，3，4，…，2007中取N 个不同的数，取出的数中任意三个的和能被15整除．N 最大
为多少？
【随练5】
M 、N 为非零自然数，且20072008M N +被7整除。
M N +的最小值为 。
【随练6】 三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这
三个数是_______，_______，_______。
家庭作业
【作业1】一个两位奇数除1477，余数是49，那么，这个两位奇数是多少？
【作业2】大于35的所有数中，有多少个数除以7的余数和商相等？
【作业3】一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________。
【作业4】三个数：23，51，72，各除以大于1的同一个自然数，得到同一个余数，则这个除数是。
【作业5】学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？
【作业6】修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数。
问修改后的这个数是几？
【作业7】有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第2013个数被3除所得的余数是多少？
【作业8】一个七位整数，其中任何3 个连续的数码都构成1 个三位数，且构成的三位数能被13 或11 整除，这个七位数最大是？
学习心得。