第五章 定积分(A)1．利用定积分定义计算由抛物线12+=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所围成的图形的面积。

2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ⎰=112)1xdx 41)212π=-⎰dx x⎰-=ππ0sin )3xdx ⎰⎰-=2220cos 2cos )4πππxdx xdx3．估计下列各积分的值 ⎰331arctan )1xdx x dx exx ⎰-022)24．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小⎰21ln )1xdx 与dx x ⎰212)(ln dx e x⎰10)2与⎰+1)1(dx x5．计算下列各导数dt t dx d x ⎰+2021)1 ⎰+3241)2x x t dt dx d⎰xxdt t dx d cos sin 2)cos()3π6．计算下列极限xdt t xx ⎰→020cos lim)1 xdt t xx cos 1)sin 1ln(lim)20-+⎰→2220)1(lim )3x xt x xedt e t ⎰+→7．当x 为何值时，函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？8．计算下列各积分 dx xx )1()12142⎰+dx x x )1()294+⎰⎰--21212)1()3x dx ⎰+ax a dx3022)4⎰---+211)5e xdx⎰π20sin )6dx xdx x x ⎰-π3sin sin )7⎰2)()8dx x f ，其中⎪⎩⎪⎨⎧+=2211)(x x x f11>≤x x9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题：⎰-=ππ0cos )1kxdx πππ=⎰-kxdx 2cos )2⎰-=⋅ππ0sin cos )3lxdx kx ⎰-=ππ0sin sin )4lxdx kx10.计算下列定积分 ⎰-πθθ03)sin 1()1d ⎰262cos )2ππududx xx ⎰-121221)3 dx x a x a 2202)4-⎰ ⎰+31221)5xxdx dx x ⎰-2132)1(1)6⎰-2221)7x x dx ⎰--1145)8xxdx⎰-axa xdx 20223)9 dt tet ⎰-1022)10⎰-++02222)11x x dx⎰-222cos cos )12ππxdx x⎰--223cos cos )13ππdx x x ⎰-++2221)(cos )14xdxx x x ⎰+π2cos 1)15dx x11.利用函数的奇偶性计算下列积分⎰-224cos 4)1ππθθd dx xx ⎰--2121221)(arcsin )2dx x x xx ⎰-++55242312sin )312．设f （x ）在[]b a ,上连续，证明：⎰⎰-+=babadx x b a f dx x f )()(13．证明：)0(1111212>+=+⎰⎰x x dx x dx x x14．计算下列定积分⎰-10)1dx xe x⎰342sin )2ππdx x xdx xx⎰41ln )3 ⎰10arctan )4xdx x⎰202cos )5πxdx e xdx x x ⎰π2)sin ()6⎰edx x 1)sin(ln )7 dx x ee⎰1ln )815.判定下列反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值。

1）⎰∞+14xdx 2）⎰+∞-0dx e ax()0>a 3）dx ee x x ⎰∞+-+014）⎰+∞->>0)0,0(sin ωωp tdt e pt 5）⎰-121x xdx 6）⎰-211x xdx7）⎰∞+∞-++222x x dx8）()⎰-e x x dx 12ln 1(B)1．填空： 1）________)12111(lim =++++++∞→nn n n n Λ。

2）估计定积分的值：_____sin 1____342≤+≤⎰ππx dx。

3）运用积分中值定理可得：⎰-→xa ax x f dt t f ax )(()(1lim是连续函数）＝________，______)0(sin lim =>⎰+∞→a dx xxan nn 。

4）_______sin lim 32=⎰-→xdt t x x 。

5）设dt t x F x ⎰=2)(2sin )(ϕ，其中)(x ϕ为可导函数，则_____________)(='x F 。

6）设)(x f 为连续函数，且满足⎰-=13,)(x x dt t f 则______)7(=f 。

7）已知,612ln 2π=-⎰axe dx 则___________=a 。

8)________sin 12sin 2282423=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅⎰-dx x x x x x ππ。

9)若[],0)1(,1)()(1=='+⎰f dx e x f x f x则________)0(=f 。

10)广义积分⎰∞+2)(ln kx x dx，当______k 时收敛，广义积分⎰-baka x dx)(当_______k 时收敛。

2．汽车以每小时36km 速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度2/5s m a -=刹车，问从开始刹车到停车，汽车驶过了多少距离？3．计算下列极限： 1）10222cos lim xdtt x x x ⎰-→ 2）)1ln(cos lim22x tdtx x +⎰→3）⎰⎰→xtxt x dttedt e 02222)(lim4）1)(arctan lim22+⎰+∞→x dt t xx4．求下列由参数方程给出或隐函数方程所决定的y 对x 的导数dxdy 1）⎪⎩⎪⎨⎧==⎰⎰tt udu y udu x 00cos sin 1） 由⎰⎰=+yxt tdt dt e 00cos 所决定的隐函数)(x y y =。

5．设⎪⎩⎪⎨⎧=0sin 21)(xx f ππ><≤≤x x x 或00，求⎰=Φx dt t f x 0)()(在),(+∞-∞内的表达式。

6．设[]b a x f ,)(在上连续，在),(b a 内可导，且0)(≤'x f ， ⎰-=xa dt t f ax x F )(1)(，证明在),(b a 内有0)(≤'x F 。

7．证明：⎰⎰-=-11)1()1(dx x x dx x x mn nm 。

8．若)(x f 在[]1,0上连续，证明：1）⎰⎰=2020)(cos )(sin ππdx x f dx x f2）⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin dx x f dx x xf , 由此计算：⎰+π2cos 1sin dx xxx9．证明：⎰⎰⎰==2020)(cos 2)(sin 2)(sin πππdx x f dx x f dx x f并计算：⎰+π2sin 11dx x10．若)(t f 是连续函数且为奇函数，证明⎰xdt t f 0)(是偶函数；若)(t f 是连续函数且为偶函数，证明⎰xdt t f 0)(是奇函数。

11．计算下列定积分： 1)dx x x x e⎰+12)ln 1(ln 2)dx x x x ⎰++20cos 1sin π3)⎰+40)tan 1ln(πdx x 4)⎰-+axa x dx 0225)dx x ⎰-202sin 1π 6)⎰+202cos 1πxdx7)设⎪⎩⎪⎨⎧++=1111)(x e xx f 00<≥x x ，求dx x f ⎰-20)1(。

8）dx ex x ⎰-2ln 0329）dx xe x ⎰π2cos10）dx x x ⎰-+102)2()1ln( 11）dx x m⎰-1022)1(（m 为自然数）12）[]{})(()()()(22x f dx x a x f x f x a am ⎰--+-+为连续函数，m 为自然数）13）⎰-+22321dx x x 14）⎰=π0(sin m xdx x I m m 为自然数）12.已知1)(=πf ，且[],3sin )()(0=''+⎰xdx x f x f π其中)(x f ''连续，求)0(f 。

13．当k 为何值时，反常积分⎰∞+2)(ln kx x dx收敛？当k 为何值时，这反常积分发散？又当k 为何值时，这反常积分取得最小值？14．推公式计算反常积分dx e x I x n n -+∞⎰=0(C)1．计算下列极限：1）∑=∞→+n i n n in 111lim 2) )0(21lim 1>++++∞→p n n p p p p n Λ 3) nn nn !lnlim ∞→ 2．设)(x f 在[)+∞,0内连续且0)(>x f ，证明函数⎰⎰=x xdtt f dt t tf x F 00)()()(在[)+∞,0内为单调增加函数。

3．设)(x f 在区间[]b a ,上连续，且0)(>x f ，[]⎰⎰∈+=xbx ab a x t f dtdt t f x F ,,)()()(， 证明：1）2)(≥'x F2）方程0)(=x F 在区间()b a ,内有且仅有一个根。

4．设)(x f 在[]b a ,上连续，且0)(>x f ，证明：在),(b a 内有且仅有一点ξ使下式⎰⎰=ξξabdx x f dx x f )(1)(成立。

5．计算下列积分： 1）⎰--112),max (dx e e x x2）⎰402tan πxdx n3)dx x x ⎰++1021)1ln(6．设)(x f 是以l 为周期的连续函数，证明：⎰+la a dx x f )(的值与a 无关。

7．设)(x f 为连续函数，证明：dt du u f dt t x t f xxt))(())((000⎰⎰⎰=-8．设)(),(x g x f 在区间[]b a ,上均连续，证明：1）⎰⎰⎰⋅≤bababadx x g dx x f dx x g x f )()())()((2222) []≤+⎰212))()((badx x g x f ⎰⎰+babadx x g dx x f 212212))(())((9．设)(x f 在区间[]b a ,上连续，)(x g 在区间[]b a ,上连续且不变号， 证明至少存在一点[]b a ,∈ξ，使下列等式成立⎰badx x g x f )()(＝⎰badx x g f )()(ξ（积分第一中值定理）第五章 定积分答案 习 题 答 案（A ）1．)()(3133a b a b -+-3．1）≤9π⎰331arctan xdx x π32≤ 2）≤-22e dx e xx ⎰-022412--≤e4．1）⎰>21ln xdx dx x ⎰212)(ln dx e x⎰1)2>⎰+1)1(dx x5．1）x x 214⋅+ 2）81221213xx xx +-+3）)sin cos()cos (sin 2x x x π⋅- 6．1）1 2）1 3）17．当0=x 时8．1）8522）6145 3）3π4）a3π 5）－1 6）4 7）1 8）3810．1）34-π 2)836-π 3)41π- 4)π164a 5)3322-6)33 7)12π 8)61 9)a )13(- 10)211--e11)2π12)3213)3414)22 11．1）π232）3243π 3）012．提示：令x b a t -+= 13．提示：令xt 1=14．1）1－e22）23ln 21)9341(+-π 3))12ln 2(4- 4)214-π5))2(51-πe 6）463ππ- 7))11cos 1sin (21+-e e 8))11(2e- 15．1）31 2）a 1 3）4π4）22ωω+p5）1 6）3227）π 8）2π(B)1．填空：1）原式＝⎰=+102ln 11dx x 2）18sin 121342ππππ≤+≤⎰x dx 3）)(a f ，0 4）32- 5）)())((sin 2x x ϕϕ'⋅- 6）1217）0 8）384105π9）－1 10）1,1<>k k 2．)(10m s =3．1）10222cos limx dtt x x x ⎰-→＝940102cos 2lim x x x x x ⋅-→＝8405cos 1lim x x x -→＝1012）原式＝22cos limx tdt x x ⎰→＝xx x x 2cos 2lim 20⋅→＝1 3）原式＝222202limx xxt x ex e dt e ⋅⋅⎰→＝24）原式＝122)(arctan lim 22++∞→x x x x ＝162π4．1）t t t dtdx dt dydx dy csc sin cos ===2）对方程两边同时求x 的导数得：y exy cos -=' 5． ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==Φ⎰⎰π001sin 21)cos 1(21sin 210)(xdx x xdx x x ππ>≤<≤x x x 006．提示：2)()())(()(a x dtt f a x x f x F xa---='⎰＝2)())(())((a x a x f a x x f ----ξ ＝ax f x f --)()(ξ )(x a <<ξ7．提示：令t x =-1，利用定积分的换元法8．1）令x t -=2π2）令x t -=π9．提示：令⎰π)(sin dx x f ＝⎰20)(sin πdx x f ⎰+ππ2)(sin dx x f对⎰ππ2)(sin dx x f ，令x t -=2π，利用换元法得结果。