2019-2020学年北京市101中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是()A. B. C. D.2.下列运算正确的是()A. a2⋅a3=a6B. a3+a3=a6C. |−a2|=−a2D. (−a3)2=a63.若√x+2在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是()A. B.C. D.4.二次函数y=−(x+1)2−2的顶点是()A. (−1,2)B. (−1,−2)C. (1,2)D. (1,−2)5.如图，小林坐在秋千上，秋千旋转了80°，小林的位置也从A点运动到了A′点，则∠OAA′的度数为()A. 40°B. 50°C. 70°D. 80°6.已知二次函数y=x2−2x+m(m为常数)的图象与x轴的一个点为(3,0)，则关于x的一元二次方程x2−2x+m=0的两个实数根是()A. x1=−1，x2=3B. x1=1，x2=3C. x1=−1，x2=1D. x1=3，x2=−57.李师傅一家开车去旅游，出发前查看了油箱里有50升油，出发后先后走了城市路、高速路、山路最终到达旅游地点，下面的两幅图分别描述了行驶里程及耗油情况，下面的描述错误的是()A. 此车一共行驶了210公里B. 此车高速路一共用了12升油C. 此车在城市路和山路的平均速度相同D. 以此车在这三个路段的综合油耗判断50升油可以行驶约525公里8.小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度y(米)与旋转时间x(分)之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如下表：下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是()x/分… 2.66 3.23 3.46…y/米…69.1669.6268.46…A. 8分B. 7分C. 6分D. 5分二、填空题（本大题共7小题，共14.0分）9.已知点A坐标为(−1,2)，则点A′关于原点的对称点的坐标为______．10.某雷达探测目标得到的结果如图所示，若记图中目标A的位置为(3,30°)，目标B的位置为(2,180°)，目标C的位置为(4,240°)，则图中目标D的位置可记为______ ．11.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点C(0,4)，D是OA中点，将△CDO以C为旋转中心逆时针旋转90°后，再将得到的三角形平移，使点C与点O重合，写出此时点D的对应点的坐标：______．12.飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)关于滑行的时间t(单位：s)的函数解析式是s=60t−1.5t2，飞机着陆后滑行______米才能停下来．13.如图，已知AB=12，P为线段AB上的一个动点，分别以AP、PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P、C、E在一条直线上，∠DAP=60°.M、N分别是对角线AC、BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M、N之间的距离最短为______.(结果留根号)14.若对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax−2a总不经过点P(x0−3,x02−16)，则写出符合条件的点P的坐标：______．15.在一次数学游戏中，老师在A、B、C三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为a o，b o，c o，记为G o=(a o,b o,c o)，游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个(若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果)，记为一次操作．若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束．n次操作后的糖果数记为G n=(a n,b n,c n).(1)若G o=(9,12，15)，则第______次操作后游戏结束；(2)小明发现：若G o=(4,8，18)，则游戏永远无法结束，那么G2020=______．三、解答题（本大题共13小题，共70.0分）16.方程x2−4=0的解是______．17.解方程：2x2+√3x−1=0<2，并把解集在数轴上表示出来．18.解不等式x+2−3x219.已知x=1是方程x2−5ax+a2=0的一个根，求代数式3a2−15a−7的值．20.如图，△ABC与△AED均是等边三角形，连接BE、CD.请在图中找出一条与CD长度相等的线段，并证明你的结论．结论：CD=______．证明：21.在二次数y=ax2+bx+c中，部分x，y1的对应值如下表：x…−10123…y1…−123m−1…(1)直接写出表格中m的值；(2)求该函数的解析式；(3)画出该函数的图象；(4)作直线y2=−x+2，当y2在y1的图象下方时，直接写出x的取值范围．22.小贝同学在近期作业中遇到一个作图问题，问题如下：如图，已知△ABC绕某点O逆时针转动一个角度得到△A′B′C′，其中A，B，C的对应点分别是A′，B′，C′试确定旋转中心O位置．他经过认真思考设计了下画作法：①连接A、A′做线段AA′的垂直平分线l1；②连接B，B′做线段BB′的垂直平分线l2，l2与l1交于点O．则点O为所求作的旋转中心．请你根据小贝设计的作图过程，解答下面问题：(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面小贝的推理过程∵△A′B′C′是△ABC绕点O旋转而成的.OA′=OA(______①)(填推理的依据)∴点O在线段AA′的垂直平分线l1上(______②)(填推理的依据)同理可得，点O在线段BB′的垂直平分线l2上∴点O为l1与l2的交点．23.某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．为尽快减少库存，商场决定降价销售．市场调查反映，每降价1元，每星期可多卖出20件．(1)如果降价x元，每星期可以卖出______件；(2)如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？24.近几年，移动电商发展迅速．以下是2017年某调查机构发布的相关的统计表和统计图的一部分：请根据以上信息解答下列问题：(1)2017年10月“移动电商行业用户规模”是______亿台(结果精确到0.1亿台)；并补全条形统计图；(2)2017年从9月到12月“移动电商行业用户规模”月增长量的平均数为______亿台，若按此平均数增长，请你估计2018年1月“移动电商行业用户规模”为______亿台(结果精确到0.1亿台)；(3)2017年某电商在双十一共售出手机12000台，则C品牌手机售出的台数是______．25.有这样一个问题：探究函数y=12x2+1x的图象与性质．小东根据学习的经验，对函数y=12x2+1x的图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整：(1)函教y=12x2+1x自变量x的取值范围是______；(2)下表是y与x的几组对应值，直接写出m的值；(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表格中对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；x…−3−2−1−12−131312123…y (25)632−12−158−531855181783252m…(4)进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(1,32)，结合的图象，写出该函数的其它性质(一条即可)．26.平面直角坐标系xOy中，抛物C：y=ax2−2ax+3与直线l：y=kx+b交于A，B两点，且点A在y轴上，点B在x轴的正半轴上．(1)直接写出点A的坐标；(2)若a=−1，求直线l解析式；(3)若−3≤k≤−12，求a的取值范围．27.已知：Rt△A′BC′和Rt△ABC重合，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠BA′C′=∠BAC=30°，现将Rt△A′BC′绕点B按逆时针方向旋转角α(60°≤α≤90°)，设旋转过程中射线C′C和线段AA′相交于点D，连接BD．(1)当α=60°时，A’B过点C，如图1所示，判断BD和A′A之间的位置关系，不必证明；(2)当α=90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想(1)中的结论是否仍然成立，不必证明；(3)如图3，对旋转角α(60°<α<90°)，猜想(1)中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．28.阅读材料：①直线l外一点P到直线l的垂线段的长度，叫做点P到直线l的距离，记作d(P,l)②两条平行线l1，l2，直线上l1任意一点到直线l2的距离，叫做这两条平行线l1，l2之间的距离，记作d(l1,l2)；③若直线l1，l2相交，则定义d(l1,l2)=0④对于同一条直线l，我们定义d(l,l)=0．对于两点P1，P2和两条直线l1，l2，定义两点P1，P2的“l1，l2−相关距离”如下：d(P1,P2|l1,l2)=d(P1,l1)+d(l1,l2)+d(P2,l2)设P1(4,0)，P2(0,3)，l1：y=x，l2：y=√3x，l3：y=kx，l4：y=k′x，解决以下问题：(1)d(P1,P2|l1,l1)=______，d(P1,P2|l1,l2)=______(2)①若k>0，则当d(P1,P2|l3,l3)最大时，k=______；②若k<0，试确定k的值使得d(P1,P2|l3,l3)最大．(3)若k′>k>0，且，l3，l4的夹角是30°，直接写出d(P1,P2|l3,l4)的最大值______．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，不合题意；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不合题意；D、是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意．故选：B．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】D【解析】解：A.a2⋅a3=a5，故本项错误；B.a3+a3=2a3，故本项错误；C.|−a2|=a2，故本项错误；D.(−a3)2=a6，故本项正确．故选：D．A.根据同底数幂相乘的法则判断即可；B.根据合并同类项法则判断即可；C.根据绝对值的性质判断即可；D.根据幂的乘方法则判断即可．本题主要考查了同底数幂相乘、合并同类项、幂的乘方的法则以及绝对值的性质．3.【答案】D【解析】解：由题意得x+2≥0，解得x≥−2．故选：D．根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式，把解集在数轴上表示即可．本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．4.【答案】B【解析】解：二次函数y=−(x+1)2−2的图象的顶点坐标是(−1,−2)．故选：B．根据顶点式的意义直接解答即可．本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：y=a(x−ℎ)2+k(a≠0)的顶点坐标为(ℎ,k)．5.【答案】B【解析】解：∵秋千旋转了80°，小林的位置也从A点运动到了A′点，∴∠AOA′=80°，OA=OA′，(180°−80°)=50°．∴∠OAA′=12故选：B．根据旋转角的定义、旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行解答．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．6.【答案】A=1，【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x=−−22而抛物线与x轴的一个点为(3,0)，∴抛物线与x轴的另一个点为(−1,0)，∴关于x的一元二次方程x2−2x+m=0的两个实数根是x1=−1，x2=3．故选：A．利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个点为(−1,0)，然后利用抛物线与x轴的交点问题求解．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．7.【答案】C【解析】解：A、此车一共行驶了210公里，正确；B、此车高速路一共用了45−33=12升油，正确；=60km/ℎ，错误；C、此车在城市路的平均速度是30km/ℎ，山路的平均速度是210−1803−2.5D、以此车在这三个路段的综合油耗判断50升油可以行驶约525公里，正确；故选：C．找准几个关键点，走了城市路、高速路、山路最终到达旅游地点进行分析解答即可．本题考查了函数的图象，解答本题的关键是正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．8.【答案】C【解析】解：最值在自变量大于2.66小于3.23之间，所以最接近摩天轮转一圈的时间的是6分钟．故选：C．利用二次函数的性质，由题意，最值在自变量大于2.66小于3.23之间，由此不难找到答案．此题考查二次函数的实际运用，利用表格得出函数的性质，找出最大值解决问题．9.【答案】(1,−2)【解析】解：∵点A坐标为(−1,2)，∴点A′关于原点的对称点的坐标为：(1,−2)．故答案为：(1,−2)．直接利用关于原点对称点的性质得出答案．此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．10.【答案】(5,120°)【解析】解：由图可知，图中目标D的位置可记为(5,120°)．故答案为：(5,120°)．根据坐标的意义，第一个数表示距离，第二个数表示度数，根据图形写出即可．本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解位置坐标的实际意义是解题的关键．11.【答案】(4,2)【解析】解：∵△CDO绕点C逆时针旋转90°，得到△CBD′，则BD′=OD=2，∴点D′坐标为(4,6)；当将点C与点O重合时，点C向下平移4个单位，得到△OAD′′，∴点D′向下平移4个单位．故点D′′坐标为(4,2)，故答案为：(4,2)．根据题意和旋转变换的性质、平移的性质画出图形，根据坐标与图形的变化中的旋转和平移性质解答．本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质、平移的性质，掌握坐标与图形的变化中的旋转和平移性质是解题的关键．12.【答案】600【解析】解：∵s=−32t2+60t=−32(t−20)2+600，∴当t=20时，s取得最大值600，即飞机着陆后滑行600米才能停下来，故答案为：600．将函数解析式配方成顶点式求出s的最大值即可得．本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的距离即为s的最大值是解题的关键．13.【答案】3√2【解析】解：连接MP，NP，∵菱形APCD和菱形PBFE，∠DAP=60°，∴MP=12AP，NP=12BP，∵M、N分别是对角线AC、BE的中点，∴∠MPC=60°，∠EPN=30°，∴MP⊥NP，∴MN2=MP2+NP2，即MN2=(12AP)2+(12BP)2=14[AP2+(12−AP)2]=12(AP2−12AP+72)=12(AP−6)2+18，当AP=6时，MN有最小值3√2，∴点M、N之间的距离最短为3√2；故答案为3√2；连接MP，NP，证明MP⊥NP，将M、N的距离转化为直角三角形的斜边最短，利用勾股定理结合二次函数即可求解；本题考查菱形的性质，二次函数的应用；将点的最短距离借助勾股定理转化为二次函数最小值是解题的关键．14.【答案】(−2,−15)，(−7,0)【解析】解：∵对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax−2a总不经过点P(x0−3,x02−16)，∴x02−16≠a(x0−3)2+a(x0−3)−2a∴(x0−4)(x0+4)≠a(x0−1)(x0−4)∴(x0+4)≠a(x0−1)∴x0=−4或x0=1，∴点P的坐标为(−7,0)或(−2,−15)故答案为(−7,0)或(−2,−15)．根据题意可以得到相应的不等式，然后根据对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax−2a总不经过点P(x0−3,x02−16)，即可求得点P的坐标，从而可以解答本题．本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．15.【答案】3 (9,10，11)【解析】解：(1)由已知可得G1=(10,13，13)，G2=(11,11，13)，G3=(12,12，12)，∴第3次操作后游戏结束，故答案为3；(2)由已知可得G1=(5,9，16)，G2=(6,10，14)，G3=(7,11，12)，G4=(8,12，10)，G5=(9,10，11)，G6=(10,11，9)，G7=(11,9，10)，G8=(9,10，11)，……从此可得从第五次开始，三次是一个循环，∵(2020−4)÷3=672，∴G2020=(9,10，11)，故答案为(9,10，11)．(1)由已知可得G1=(10,13，13)，G2=(11,11，13)，G3=(12,12，12)；(2)分别求出G1=(5,9，16)，G2=(6,10，14)，G3=(7,11，12)，G4=(8,12，10)，G5=(9,10，11)，G6=(10,11，9)，G7=(11,9，10)，G8=(9,10，11)，……发现规律从此可得从第五次开始，三次是一个循环．本题考查数字的变化规律；能够通过所给例子，找到式子的规律是解题的关键． 16.【答案】±2【解析】解：x 2−4=0，移项得：x 2=4，两边直接开平方得：x =±2，故答案为：±2．首先移项可得x 2=4，再两边直接开平方即可．此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2=a(a ≥0)的形式，利用数的开方直接求解．17.【答案】解：∵a =2，b =√3，c =−1，∴△=(√3)2−4×2×(−1)=11>0，则x =−√3±√114，即x 1=−√3+√114，x 2=−√3−√114．【解析】利用公式法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18.【答案】解：x +2−3x 2<2，2x +2−3x <4，−x <2， x >−2在数轴上表示如下：．【解析】先求出不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集．此题主要考查了不等式的解法以及解集在数轴上的表示，在数轴上表示取值范围是一定要注意是否包括该点和不等号的方向．19.【答案】解：∵x =1是方程x 2−5ax +a 2=0的一个根，∴1−5a+a2=0．∴a2−5a=−1，∴3a2−15a−7=3(a2−5a)−7=3×(−1)−7=−10，即3a2−15a−7=−10．【解析】把x=1代入已知方程求得a2−5a=−1，然后整体代入所求的代数式中进行求解．此题主要考查的是一元二次方程解的定义，注意整体代入思想在代数求值中的应用．20.【答案】BE【解析】结论：CD=BE．证明：△ABC与△AED是等边三角形，∴AE=AD，AB=AC，∠CAB=∠DAE=60°．∴∠CAB−∠DAB=∠DAE−∠DAB，即∠CAD=∠BAE．在△CAD和△BAE中，{AC=AB∠CAD=∠BAE AD=AE，∴△CAD≌△BAE(SAS)．∴CD=BE．利用等边三角形的性质得出∠CAD=∠BAE，进而得出△CAD≌△BAE(SAS)即可得出答案．此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质等知识，根据已知得出∠CAD=∠BAE是解题关键．21.【答案】解：(1)从表格看：函数的对称轴为：直线x=1，x=2与x=0是关于对称轴的对称点，其y值相同，故m=2，(2)由表格可知抛物线的顶点坐标为(1,3)．设抛物线的解析式为y=a(x−1)2+3∵过点(0,2)，∴2=a(0−1)2+3．∴a=−1．∴y=−(x−1)2+3=−x2+2x+2，∴该函数的解析式为y=−x2+2x+2．(3)画出函数的图象如图：(4)作直线y2=−x+2，当y2在y1的图象下方时，x的取值范围上0<x<3．【解析】(1)从表格看：函数的对称轴为：直线x=1，x=2与x=0是关于对称轴的对称点，即可求解；(2)由表格可知抛物线的顶点坐标为(1,3)，设抛物线的解析式为y=a(x−1)2+3，将(0,2)代入可求得a的值，从而可求得抛物线的解析式；(3)根据图表中的对应点，画出函数的图象即可；(4)作出直线y2=−x+2，根据图象即可得出y2在y1的图象下方时x的取值范围．本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的图象与性质以及数形结合思想．22.【答案】对应点到旋转中心的距离相等到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上【解析】解(1)如图所示：(2)∵△A′B′C′是△ABC绕点O旋转而成的，OA′=OA(对应点到旋转中心的距离相等)，∴点O在线段AA′的垂直平分线l1上(到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上)，故答案为：对应点到旋转中心的距离相等，到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．(1)由题意作图即可；(2)根据旋转的性质，即可得到结论．本题考查了旋转的性质，线段垂直平分线的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．23.【答案】(300+20x)【解析】解：(1)降价x元，每星期可以卖出(300+20x)件，故答案为：(300+20x)；(2)根据题意可得：y=(20+x)(300−10x)=−10(x−5)2+6250∴当x=5时，最大利润为6250元．答：定价为55元才能使利润最大，最大利润是6250元．(1)根据题意即可得到结论；(2)根据题意可得：y=(20+x)(300−10x)=−10(x−5)2+6250，根据二次函数的性质即可得到结论．本题考查了二次函数的应用，利用二次函数的性质解决问题是本题的关键．24.【答案】8.00.910.51440【解析】解：(1)2017年10月“移动电商行业用户规模”是：7.0×(1+14.7%)≈8.0(亿台)，故答案为：8.0，补全的条形统计图如右图所示；(2)由题意可得，2017年从9月到12月“移动电商行业用户规模”月增长量的平均数为：1+1.3+0.33≈0.9亿台9.6+0.9=10.5亿台，故答案为0.9，10.5．(3)12000×(1−0.4−0.32−0.16)=1440亿台．故答案为1440亿台．(1)根据：10月“移动电商行业用户规模=9月的数量×10月份的增长率计算即可．(2)根据：2017年9−12这三个月“移动电商行业用户规模”比上个月增长的平均数=13(10月份增加的数量+11月份增加的数量+12月份增加的数量)计算即可．(3)根据：C品牌手机售出的台数=总数×C品牌手机占有的百分比计算即可．本题考查折线统计图、扇形统计图、条形统计图，理解图中信息是解题的关键，掌握平均数、百分率的概念，属于中考常考题型．25.【答案】x≠0【解析】解：(1)函教y=12x2+1x自变量x的取值范围是x≠0．故答案为：x≠0；(2)令x=3，∴y=12×32+13=92+13=296，∴m=296；(3)如图(4)该函数的其它性质：①该函数没有最大值；②该函数在x =0处断开；③该函数没有最小值；④该函数图象没有经过第四象限．故答案为该函数没有最大值．(1)由图表可知x ≠0；(2)根据图表可知当x =3时的函数值为m ，把x =3代入解析式即可求得；(3)根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可；(4)观察图象即可得出该函数的其他性质．本题考查了二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．26.【答案】解：(1)∵抛物线C ：y =ax 2−2ax +3与y 轴交于点A ，∴点A 的坐标为(0,3)．(2)当a =−1时，抛物线C 为y =−x 2+2x +3．∵抛物线C 与x 轴交于点B ，且点B 在x 轴的正半轴上，∴点B 的坐标为(3,0)．∵直线l ：y =kx +b 过A ，B 两点，∴{b =33k +b =0解得{k =−1b =3∴直线l 的解析式为y =−x +3．(3)如图，当a>0时，当a=3时，抛物线C过点B(1,0)，此时k=−3．结合函数图象可得a>3．当a<0时，当a=−1时，抛物线C过点B(3,0)，此时k=−1．结合函数图象可得a<−1．综上所述，a的取值范围是a<−1或a>3．【解析】(1)抛物线C：y=ax2−2ax+3与y轴交于点A，令x=0，即可求得A的坐标；(2)令y=0，解方程即可求得B的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线l的解析式；(3)当a=3时，抛物线C过点B(1,0)，此时k=−3.当a=−1时，抛物线C过点B(3,0)，此时k=−1.结合图象即可求得．本题考查了二次函数的图象和系数的关系，待定系数法求一次函数的解析式，数形结合是解题的关键．27.【答案】解：(1)当α=60°时，BD⊥A′A．(2)补全图形如图2，BD⊥A′A仍然成立；(3)猜想BD⊥A′A仍然成立．证明：作AE⊥C′C，A′F⊥C′C，垂足分别为点E，F，如图3，则∠AEC=∠A′FC′=90°．∵BC=BC′，∴∠BCC′=∠BC′C．∵∠ACB=∠A′C′B=90°，∴∠ACE+∠BCC′=90°，∠A′C′F+∠BC′C=90°．∴∠ACE=∠A′C′F．在△AEC和△A′FC′中，{∠AEC=∠A′FC′=90°∠ACE=∠A′C′FAC=A′C′∴△AEC≌△A′FC′．∴AE=A′F．在△AED和△A′FD中，{∠AEC=∠A′FD=90°∠ADE=∠A′DFAE=A′F∴△AED≌△A′FD．∴AD=A′D．∵AB=A′B，∴△ABA′为等腰三角形．∴BD⊥A′A．【解析】(1)当α=60°时，根据旋转的性质和角的和差得出∠A′DB=90°，得出BD和A′A 垂直；(2)根据α=90°补全图形即可；(3)根据旋转的性质和全等三角形的判定得出△AEC≌△A′FC′、△AED≌△A′FD，再根据等腰三角形的三线合一证明即可．此题考查几何变换问题，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，关键是根据旋转的前后图形全等、全等三角形的判定以及等腰三角形的性质进行分析．28.【答案】72√2 2√2+32 43 √13【解析】解：(1)∵P 1(4,0)，P 2(0,3)，l 1：y =x ，l 2：y =√3x ，∴d(P 1,P 2|l 1,l 1)=d(P 1,l 1)+d(l 1,l 1)+d(P 2,l 1)=4√2+0+3√2=2√2+32√2 =72√2 ∴d(P 1,P 2|l 1,l 2)=d(P 1,l 1)+d(l 1,l 2)+d(P 2,l 2)=√2+0+√3×√(√3)2+(−1)2=2√2+32(2)①如图1，作P 1A ⊥l 3于点A ，P 2B ⊥l 3于点B ，连接P 1P 2交l 3于点C ，，d(P 1,P 2|l 3,l 3)=d(P 1,l 3)+d(l 3,l 3)+d(P 2,l 3)=P 1A +P 2B ，∵P 1A ≤P 1C ，P 2B ≤P 2C ，∴P 1A +P 2B ≤P 1P 2，∴当P 1P 2⊥l 3时，P 1A +P 2B 的最大值是：√OP 12+OP 22=√32+42=5，此时k =tan∠OP 2P 1=OP 1OP 2=43， ∴若k >0，当d(P 1,P 2|l 3,l 3)最大时，k =43．②如图2，作P 1A ⊥l 3于点A ，P 2B ⊥l 3于点B ，P 1、P 3关于原点对称，P 3C ⊥l 3于点C ，P 2P 3交l 3于点D ，，∵P 1、P 3关于原点对称，∴P 1A =P 3C ，∴d(P 1,P 2|l 3,l 3)=d(P 1,l 3)+d(l 3,l 3)+d(P 2,l 3)=P 1A +P 2B =P 2B +P 3C ， ∵P 2B ≤P 2D ，P 3C ≤P 3D ，∴P 2B +P 3C ≤P 2P 3，∴当P 2P 3⊥l 3时，P 2B +P 3C 的最大值是：√OP 32+OP 22=√42+32=5，此时k =−tan∠OP 2P 3=−OP 3OP 2=−43， ∴若k <0，当d(P 1,P 2|l 3,l 3)最大时，k =−43．(3)如图3，作P 1A ⊥l 3于点A ，P 2B ⊥l 4于点B ， ，设∠AOP 1=α，∠BOP 2=β，则β=90°−30°−α=60°−α，∴d(P1,P2|l3,l4)=d(P1,l3)+d(l3,l4)+d(P2,l4)=P1A+P2B=OP1sinα+OP2sinβ=4sinα+3sinβ=4sinα+3sin(60°−α)=52sinα+3√32cosα=√13sin(α+γ)(其中tanγ=3√35)∴当α+γ=90°，即α=90°−arctan3√35时，√13sin(α+γ)的最大值是√13，∴d(P1,P2|l3,l4)的最大值是√13．故答案为：72√2，2√2+32，43，√13．(1)首先分别求出d(P1,l1)、d(l1,l1)、d(P2,l1)的值各是多少，再把它们求和，求出d(P1,P2|l1,l1)的值是多少；然后分别求出d(P1,l1)、d(l1,l2)、d(P2,l2)的值各是多少，再把它们求和，求出d(P1,P2|l1,l2)的值是多少即可．(2)①首先作P1A⊥l3于点A，P2B⊥l3于点B，连接P1P2交l3于点C，然后根据P1A+P2B≤P1P2，可得当P1P2⊥l3时，P1A+P2B的值最大，据此求出k的值是多少即可．②首先作P1A⊥l3于点A，P2B⊥l3于点B，P1、P3关于原点对称，P3C⊥l3于点C，P2P3交l3于点D，然后根据P2B+P3C≤P2P3，可得当P2P3⊥l3时，P2B+P3C取到最大值，据此求出k的值是多少即可．(3)首先作P1A⊥l3于点A，P2B⊥l4于点B，然后求出d(P1,P2|l3,l4)=d(P1,l3)+d(l3,l4)+d(P2,l4)=√13sin(α+γ)(其中tanγ=3√35)，据此判断出d(P1,P2|l3,l4)的最大值是多少即可．(1)此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力，解答此题的关键是理解d(P1,P2|l1,l2)=d(P1,l1)+d(l1,l2)+d(P2,l2)的意义和求法．(2)此题还考查了三角函数的最值的求法，要熟练掌握．。