2.5.1二次函数与一元二次方程教学设计
教学目标：
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系，理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.
2.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神，通
过观察二次函数与x轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想.通过学生共同观察和讨论，培养合作交流意识
3.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受
数学的严谨性以及数学结论的确定性，具有初步的创新精神和实践能力
教学重点：
理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根；理解一元二次方程的根就
是二次函数与y二h交点的横坐标.
教学难点：
探索方程与函数之间的联系的过程；理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根
的个数之间的关系.
教法与学法指导：
在教学中，为了更好地体现在课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，在本节课的教学过程中，我将紧紧围绕教师组织一一启发引导，学生探究一一交流发现，组织开展教学活动
教学准备：多媒体课件
教学过程：
一、设问题情境，弓I入新课
【师】我们已学过一元一次方程kx • b = 0（k = 0）和一次函数y二kx • b（ k = 0）的关系，
你还记得吗？处理方式：学生交流后回答.
【师】现在我们学习了一元二次方程ax+ bx （0（a0和二次函数
2
y=ax + b x（ c 0 ）它们之间是否也存在一定的关系呢？（学生可进行猜测）今天这
节课我们就来探索他们之间的关系•（教师板书课题）
设计意图：这一环节主要是激发学生的求知欲望，使学生通过解决问题，让学生有种成就
感.同时也可使学生养成一个主动思考和善于思考的学习习惯
二、活动探究
探究一：二次函数与一元二次方程的内在联系
（多媒体展示）
2
h - ~5t v o t h o 表示，其中h 0(m)是抛出时的高度 h(m)与运动时间t(s)的关系如图所
示，那么 (1)
h 与t 的关系是什么？
(2) 小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴进行交流
实数根？用判别式验证一下 • 一元二次方程X 2 -2x • 2 = 0有实数根吗?
(3)二次函数y = ax 2 • bx c 的图象与x 轴交点坐标和一元二次方程 ax 2 bx 0的根 有什么关系？ 处理方式：学生以小组为单位进行观察图象讨论交流 .教师巡回指导，参与到学生的讨论中，
及时掌握学生的信息，及时点拨指正 •然后各组选出一个代表来讲解自己的结论 •
(教师利用多媒体展示学生得到的结论
)
2
二次函数y =ax bx c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没 有交点•
我们已经知道，竖直上抛物体的高度
h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式
处理方式：让学生以小组为°° 单位进行讨论交流，教师可以读题，可重点强调:
h o 和 V o
不是变量，你能确定它们 80
设计意图：通过竖直上抛小 与一
元二次方程之间的联 60
交点的个数与一元二次方程40 探
究二：抛物线与 x 轴的交 20
(多媒体展示)
吗？然后选代表回答•
球的问题情境，使学生初步感受二次函数 系，为下一步探讨二次函数的图像和横轴
的个数之间的关系作铺垫• 点和一元二次方程的根的关系
2
t y = x -2x1
-2x 2的图象如图所
(2) —元二次方程 x 2 2x =0，
x 2
-2x • 1 = 0有几个
2
示.
5
4
3
1 -1
(1)每个图象与x 轴有几个交点?
2
6
2
二次函数y =x 2x ， o
ZN 6
5
4
2 6
5
4
2
n
n
【师】一元二 次方程ax bx ，c=0的根的情况 可以由b -4ac 来判 断，二次函 数
2
o
y 二ax bx c 的图象与x 轴的交点情况是不是也可以由 b -4ac 来判断？
处理方式：学生思考，交流所得结论，并讨论，以得到正确的判断方法 •然后选代表回答•
（教师利用多媒体展示所得结论）
【师】如果将上面的条件和结论反过来，成立吗？ 处理方式：学生在小组中进行交流•
设计意图：通过学生独立思考，自主探索二次函数的图象和 x 轴交点个数与一元二次方程
根的个数的关系，鼓励学生归纳总结，培养学生语言表达能力
探究三：探究二次函数 y = ax 2 bx - c 与一元二次方程 ax 2 bx d 的联系 （多媒体展示想一想）
在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是
60m ?你是如何知道的？
处理方式：学生在小组中讨论交流， 教师可以对有疑问的小组进行适当点播， 然后小组选代
表进行回答•
说明：在教学中，应鼓励学生借助图象和方程解决问题
设计意图：通过此问题的解决，让学生进一步沟通“数”与“形”的联系，从而进一步感 受二次函数与一元二次方程的联系
•
三、知识运用
（多媒体展示）
1.下列抛物线与x 轴只有一个公共点的是（
）
2 2
A . y =4x 2x 1
B • y = 3x 1
__ 2
点拨：要想判断抛物线y = ax b^ （c a0）与x 轴交点的个数，只需判定方程
1
C"#2)
D ・ y 二-丄(x-3)2 3
2
2 2
y =ax • bx （c a-0）的根的情况，即b -4ac与0的大小关系
2.已知二次函数y =ax2• bx c的图象如图所示,则一元二次方程ax2bx • c = 0的解是
t「r _2 2
点拨：一元二次方程ax bx 0的解就是二次函数y = ax bx c的图象与x轴交点
的横坐标.
2
3.若抛物线y二kx - 3x-2的图象与x轴有2个交点，则k的取值范围是.
点拨：抛物线与x轴有2个交点，即b2 -4ac • 0 ,并且k = 0.
4.已知二次函数y = kx2 - 6x - 7的图像与x轴有两个不同的交点
（1）求k的取值范围
（2）当k为何值时，这两个交点横坐标的平方和等于50.
点拨：抛物线与x轴有两个不同的交点，即b2-4ac 0 ；这两个交点横坐标的平方和即为
2 2
X i X2 =50 .
设计意图：让学生理解学习数学知识就是为了灵活运用知识解决问题，进一步拓展知识, 提高思维能力
四、收获与感悟
【师】“悟”出真谛，悟在有“心”.通过今天的探究学习，你有哪些收获？根据你的收获完成表格.（一元二次方程的实数根记为）
设计意图：鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予鼓励），培养学生的归纳概括能力和语言表达能力
五、达标检测
（多媒体展示）
1.判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果相交，求出交点的坐标。
2 2 2
（1）y=6x -2x1 ；（2）y--15x 14x 8 ；（3）y=x -4x 4.
2.已知抛物线y = x2-6x+a的顶点在x轴上，则a=_________________ ；若抛物线与x轴有两
个交点，贝U a的范围是
3.已知抛物线y = x2 -3x • a • 1与x轴最多只有一个交点，则a的范围是________________ . ______
4.已知抛物线y = x2+ px +q与x轴的两个交点为（-2,0）, （3, 0）,则p = _______ , q =.
5.已知抛物线y = x2• 2x • m 1 ,若抛物线与x轴只有一个交点，求m的值.
处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况•学生根据答案进行纠错.
【设计意图：通过达标检测及时反馈学生对本节课知识点的掌握程度，以便有的放矢进行
后续教学.】
六、布置作业
1.基础题：课本卩52』3第1题，第2题，第4题.完成本课时的助学.
2.选做题:课本p53第3题.
板书设计：。