北京邮电大学高等函授、远程教育04—05学年春季学期《高等数学（微积分）》综合练习题与答案经济管理、电子邮政专业第一部分练习题、判断题设f （x ）的定义域为（,1），则f （1的定义域为（0，1）. x设f （X ）的值域为（，1），则arctgf （x ）的值域为（一,一）.2 411.12.如果0 113.如果级数n1. 2. 3.e （x 1^是偶函数.4. 1 xy ln—是奇函数.5.1lim (1 x)， e6. d22设 f (u)是可导函数，则 一 f (sinx2) 2xcosx 2f (u) dxu sin x 27. 设函数y f （ex）可微,则dy e xf(e x)dx . 9.10.设 df (x)」^dx ,则 f (x)1 xdxf(x)df(x) f(x)df(x).f (x)dx f (x) c .arctgx .1un发散，则nimun0.14.级数X n (x 0)收敛的充分必要条件是 X 1.115.级数1nz 收敛的充分必要条件是p 16.如果a(|)n 1 41，则常数a 1417. —f(x,y) X X X 0y y 0f (x,y 。

)x Xo -18.设 z xy r 「 ZX ，则—— X xy 1 xyx 19. d-f[x,y(x)] dx X f y y (X). 20.设 f 、u 、v 都是可微函数，则 一 f [u(x, y), v(x, y)] f^UX X f£. X 二、单项选择题 1.设 f(x) X, 0 X, 2 2, X 0则f(X)的定义域为 A.( B.[ 2,2)C. (,2] D.[ 2,2]2.设 f(X)的定义域为(,0),则函数f (In X)的定义域是A.(0,B.(0,1]C.(1,D.(0,1)3.设 f(X 1) X (X 1),则 f(X)=A. x(x 1)B. x(x 1)C.(x 1)(x 2)D.X24.下列函数中，奇函数为 A.sin(cosx)B.l n(x J x21)1 XC.tgxlnCf si nxD. esin n5. lim -----nn 1A.0B.1C. 1D.6. 当X X 0时，和 都是无穷小，下列变量中，当X X o 时可能不是无穷小的是A. B. C.D. —( 0)7. 设f(X)1 .-SI nx, Xk,.1xsin —X1,X A.0 B.1 0 且f (X)在X 0处连续，则k C.2D. 18.设f(X)在点X o 可导，则lim h 0 f(X oh) f(X o h) 2hA. f(X 0)B. f (X 。

)C. 2f(X 0)D. 2f(X 0)9.设 f (u)可导，则—f (Sin 2x) dx 2A. 2sin xf (sin x)B. cos2xf (sin 2x)2C. sin 2xf (sin x) 2D. sin xcosxf (sinx)10.已知 f(0) 0, f (0) 3,则 XXA.3 11.B. 3满足罗尔定理的条件.C.D.6A. f(X) X 2在［0,3］上B.f(X)在［1,1］上XC. f(X) x U 3 X 在［0,3］上D.f(X)1,1］ 上12. f (X) 2是xsin X 的一个原函数.1 A. —COSX 22B. 2cosxC.22cosxD.1 2 —cosx 213.设f (X)在［a,b ］上连续,X 0(a,b)且是常数，则ddx^0f(t)d taA. f(X o)B.OC.f(X0) f (a)D. f(X o) 8檢14. e" dx8A.O8 3.—B. 2 e X dx2亠X .C. e dx2D. "3x2e X dx215.设dx 10,则AB.—10C.1016.如果limn U n 0,则级数U nn 1A.必收敛B.必发散C.可能收敛D.必绝对收敛17.如果级数1—y收敛贝y P应满足1 n pA. P 2B. p 1C. p 0D. p 018.设常数0,则级数(1)n」n 1 2nA.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.收敛性与k有关19.设z ，则二y2xA. -----1 y B.—(12XC. —21 y2XD. ------- 2(1 y)220.二次积分交换积分顺序后1 込d yyf (X,y)dx1 X2A. 0dx x f(x, y)dy1 XB. 0dx x2 f (X, y)dy2 XC. dx1 f(X,y)dy2 J xD. 1 dx x f (x,y)dy三、填空题1.函数ln「1 X的定义域是X 3, X 0e x ,X 1设f(X)lnx, X 0 g(X)lnx, x 1 则 f[g⑴]x 1时，f[g(x)]的表达式为设函数 f (x)满足 f(log 2X) X ,则 f (x)=1设函数f (X)在X 0处连续，且 X 0时,f (X)(1 2x)\则f (0)设 f (0) 1 ,则 lim― X 0X-------------210.曲线y X lnx 在点(1,1)处的切线方程为12.设 f(X)卫L ，则 df (x)X 113.设—f (ln x) x ,则 f(X) dxX 2 114.设 df (x) ---- d(—),则 1 X Xf (x)15.设f (x)的一个原函数为Inx ,则f(X)16.设 f(x)dx c ,贝U f(x)=1 X2.3. 函数yV x 1的反函数为4. 5. 设 f(x) 1 X「，则 f[f(X)]6. 函数y1 cos -x的最小正周期是7. 设 f (x) e x且 x0,则 f ( In x)9. 11.设f (x)可导且f (1)2,则 d>)f(x),f (x)17. xf (x)dx12设 x 2dx 1,a四、计算题1.求下列各极限⑵叫x 4J x 2 V 218.xdf(X)dx .19. f (x)是连续函数，若5x 340 xf(t)dt ,则 f(x)c,c20. 21.d dx d_ dx a x gdtx0Xf(t)dt (3) lim (v x2x 1xA 2 x 1)(4) lim -一-x1x 122. 23.X 2tf24.1设f(x)在［0,1］上连续，则积分0 f (at)dt 经变换u at (a 0)后为25. l 0设f(x)在［丨，1］上连续，且为奇函数，0f(x)dx 2,贝y l f (x)dx 26. 在［a,b ］上，函数f(X)连续且f(x) 0,则由曲线y f (x)与直线x a, x b 及x 轴所围图形的面积 S 的积分表达式为a b 时,S= __________________ .27.1如果级数 a(-)n 的和为1,则a3 28. x z设 z (xy),则一 x29.则-zx30. 交换积分顺序后，1 0d yyy 2f(x ,y)dxJ x 1 1Xsin2tdt (16)l im 0 0XeW)1[叫丄3XX3 5(18) lim r — n n n 2.求导数或微分sin 2x 亠 2,求y .、n 3 3设X yy 1，求 y⑸ lim(1 2)x X X ⑺ lim 刈n(x 1) Inx]X2arcs inx(8) 0。

一—XSin X(9)设 f(X) sin X3x a,且Hm f （X ）存在,求常数a 的值.Xe3—X(10)limX(e X 1)2(\ X 0 1)log 2(1 X)(12) lim X 0ln X (13)00 1ln(1 X 2)cosx(1仙匚2 Xtgx 2(15)呱丄)sinxln(xX 2),求y .arct gxln J X ,求 y .(X) ef 2(x)，且 f （X ）1f(x) 证明：（X ） 2（X ）.设 sin (xy) y 1,求dy . "dt sinx2n 2n(1)2⑺设ln(x y) 3 y,求dy .3.(1 )(8)设y(9)设y（10）设y(11)设y(12)设(13)求(14)设(15)设(16)设(17)设(18)设(Inxe y，求yx)x,求yx0, y .sin x r、x ,求y .xa x ln(x V x2a2) ,(a 0,a 1且为常数）,求yy(nddx:e'dtp(x) x21x—求p(x).y；+ z zxe x,求——,——x ye xy x2y ,求二，二x ylnL 求二，二zx y计算下列各积分cos2x -d xcosx sin x1—dxX J1 ln x忑&d x1 dx1 sin x1 x arctgxdx1 x22x Inxdx仮In xdx (8)xcos2xdx(9 ) xsin2xdx(10)arcs inxdx(11) sin 寸xdx(12) e x dx(13) 4 x 2 ,a / dx0J2x 1(14) 2dx五、1 .3.5.7.x,(15)设f(x) xe ,(16)(18)(19)(20)21 f(x)dxsinxdxx2e x dxx2ydxdy, D是由曲线xy 1,x 2,t(17) 0xf (x)dxy 2所围成的区域.1 2--- 2--- dxdy，其中D : x1 x y1.判断下列各级数的收敛性，若收敛，指出绝对收敛还是条件收敛nn2n 1nnn!(1)n(2n1)!2.n4.n6.n17n(n~1)3n sinn1)n1)n1 1T n1 1ln(n 1)应用题判断题1. X2. V3. X4. V5.X6. V7. X8. X9. X 10.V 11. V 12. V 13. X 14. V 15. V 16. X17. V18. X19. V20. V 二、单项选择题1.C2.D3.B4.B5.A6.D7.B8.A9.C 10.D 11.C 12.D 13.B 14.D 15.A 16.C17.A18.B19.B20.B三、填空题9. n cos n 1J n 3 110. ( 1)n -12n 1n1. 设曲线y2x In X 上的点M （X 0,y 0）处的切线平行于直线 y 4x ,求点M 的坐2. 讨论函数 2x 3 3x 2的单调性与极值.3. 求函数y xx2e e4. 求由曲线 3x ,y1,x 0所围成的平面图形的面积（要画图）.5. 求由曲线4x, xy 1,x 2及X 轴所围平面图形的面积 （要画图）.6. 求由曲线2 1 x 2x 2所围平面图形的面积.七、 证明题1.已知(x) af (x)(x)一1——，证明：（X ）f （x ）ln a (x)2.证明：aaf(x)dxao[f(x)f ( x)]dx .第二部分 答案1.( 1,1)2. 1, In In x12.— dx 2j x(1 x)22x四、计算题 1.求下列极限(1)-,⑵ |'/2 , (3) 1 ,(4) 3 , ⑸e 2，⑹e 2 , (7) 1 ,(8) 1 ,1(9)-,1(10)-, 2(11)2(l n2).(12) 1 , (13) 2 , (14) 1 ,(15) 0,(16) 1 ,13.2e 2x14. arctgxc ,1~~2,x(12x x ) 17. xf (x) f (x) c 18. xf (x)19. 15x 2, 20.f(x )21. 23.x 0 Wdt1[f (x 2) xf(x) f ⑼] 22. 24.25. 26.27. 2 28. 29.2 2y Xz 22、2(x y )30. —f (u)du ab f(x)dx ,a(xy)x[1 In (xy)]1dx v'xf(x,y)dy3. 2,x 0 4. 2* xx 1 x9. 2 5. 7.6. 4 8. e210. y x 11. 115.16.-(11（17）-2 2.求导数或微分(18) 1(1)22(1 X ) cos2x 2xsin2x“ 2、2(1 X )(2)1yin2(8)(10)(11)(13)(15)(16)(17) ddx1~2X (12x_ 1X2)2 2X（X）2（X）,3x21 3y2e y1 xe y(5) dyycos(xy) dx1 X cos(xy)(7) dy 22X1dX,X y 1(2y、 2yxe )e(1 xe y)3(ln x)X[lnln xx X[In X 1]dt>Xcos(ye xxyyeyy e x一eX&]，sinXX12ZXeXx)(ye(12xy ,[cos xInXsinX]X(12)(14)1),yy)e x—)eXdx nP(X)2 ln Xxln 3X2xTT?e x cos(ye xye xxy 2 xeXX)z 2(18)F x FZF y Fy(z x)(1) --------- C cosx sin x⑵ 1dx 1 sin x⑶ 1 — dx X G In x⑷1 x arctgx1 x2 —— dx X 2 打 x 2 (6) x 2 In xdx (7)T x In xdx (8) xcos2xdx (9) xsin 2xdx (10) 3.计算下列各积分 cos2x sin x cosx c tgx ---- cosx 2 J l Inx dx 1-x 3 (11) (12) (13) (14) (15)arcs inxdxsin V xdx. x1 e .—dxe 01arctg x 12ln(12)1 -(arctgx)I n 4 -x 2 c 9 1 -xsin 2x 2 1 2 —x4 1 —cos2x 4 1 1 -xsin 2x - cos2x c 4 8 xarcs inx J 1 x 2c 2JxcosJx 2sinJx cln(1 e) In 2 务Z dxJ 2x 1 22x 2 dx=121f(x)dx1」g^dx 0.12 si nxA—dx 1,则常数A x 2 \2x )(16)~4sin xdx 3(17)t0xf (x)dx = tf(t ) f(t) f(0)(18)x 2e x dx 02e(19)x 2ydxdy |(20)1bV dxdyIn 2五、 判断下列级数的收敛性 1.发散， 2.发散， 6.条件收敛， 7.绝对收敛，六、 应用题 若收敛，指出绝对收敛还是条件收敛. 4.绝对收敛, 9.绝对收敛, 3.绝对收敛， 8.条件收敛， 5.发散， 10.绝对收敛. 1. M 点的坐标为(丄，1 ln2) 2 2. 在(一8,0), (1,+ S)内单调增, 在(0, 1)内单调减, 有极大值y(0) 0，极小值y(1) 1. 3. y( 4. 5. 1 —ln2) 2^2为极小值。