第四章上机习题C4.1 如下模型可以用来研究竞选支出如何影响选举结果：()()u prtystrA endB endA voteA ++++=3210ex p ln ex p ln ββββ其中，voteA 表示候选人A 得到的选票百分数，endA exp 和endB exp 表示候选人A 和B 的竞选支出，而则是对A 所在党派实力的一种度量（A 所在党派在最近一次总统选举中获得的选票百分比）。

（1）如何解释1β？解 在回归方程()()u prtystrA endB endA voteA ++++=3210ex p ln ex p ln ββββ中，保持()endB ex p ln 、prtystrA 不变，可得：().ex p ln 1endA voteA ∆=∆β因为()endA endA ex p %ex p ln 100∆≈∆⋅，所以()()()()()()endA endA endA voteA exp %100exp ln 100100exp ln 111∆⋅≈∆⋅⋅=∆=∆βββ 所以1001β表示当endA exp 变动%1时vote 变动多少个百分点。

注意：100%112⋅-=∆x x x x ，x ∆%表示x 的百分数变化。

（2）用参数表示如下虚拟假设：A 的竞选支出提高%1被B 的竞选支出提高%1所抵消。

解 虚拟假设可以表示为210:ββ-=H 或者0:210=+ββH（3）利用RAW VOTE .1中的数据估计上述模型，并以通常的方式报告结论。

A 的竞选支出或影响结果吗？B 的竞选支出呢？你能用这些结论来检验第（2）部分中的假设吗？解 估计方程为()()()()793.0,14.10052,173062.0379.0382.0926.3152.0)ln(exp 615.6)ln(exp 083.6079.452===+-+=∧R SSR n prtystrA endB endA voteA从回归结果可知，()endA ex p ln 的系数估计值等于6.083，标准误等于0.382，t 统计量为15.919，p 值为0.0000。

()endB ex p ln 的系数估计值等于-6.615，标准误等于0.379，t 统计量为-17.463，p 值为0.0000。

由此可以看出()endA ex p ln 和()endB ex p ln 的斜率系数在非常小的显著性水平下都是统计上显著异于零，所以A 的竞选支出和B 的竞选支出都会影响竞选结果。

在保持其他因素不变的情况下，若A 的竞选支出增加%10，则A 得到的选票百分数将提高约0.608个百分点；若B 的竞选支出增加%10，则A 得到的选票百分数将下降约0.662个百分点.从以上叙述中我们知道，∧1β和∧2β的符号相反且都符合预期，重要程度相当，但是我们不能根据这些结论得出∧∧+21ββ的标准误差，也就不能计算相应的t 统计量，所以不能用这些结论来检验（2）中的假设。

（4）估计一个模型，使之能直接给出检验第（2）部分中假设所需要的t 统计量。

你有什么结论？（使用双侧对立假设）解 令21ββθ+=，则21βθβ-=，把它代入原始的回归方程可得： ()()()()u prtystrA endA endB endA voteA ++-++=320ex p ln ex p ln ex p ln ββθβ 利用RAW VOTE .1的数据重新估计以上方程，得到的估计方程为()()()()()()()()793.0,14.10052,173062.0379.0533.0926.3152.0exp ln exp ln 615.6exp ln 532.0079.452===+---=∧R SSR n prtystrAendA endB endA voteA 从回归结果可知，532.0-=∧θ，533.0=⎪⎭⎫ ⎝⎛∧θse ，∧θ的t 统计量为-0.998，p 值为0.3196，所以对θ所做的估计在%5的显著性水平下是不显著的，我们不能在%5的显著性水平上拒绝虚拟假设0:210=+ββH 。

比较（3）和（4）可以看到：两估计方程截距、prtystrA 的斜率估计值及其标准误都是相同的，（4）中新变量()endB ex p ln -()endA ex p ln 的系数和标准误与（3）中()endB ex p ln 的系数和标准误相同，两估计方程的SSR ，2R 都是相同的。

此外，（3）中的∧1β也可以根据∧2β和∧θ计算得出。

C4.2 本题要用到RAW LAWSCH .85中的数据。

（1）使用与习题3.4一样的模型，表述并检验虚拟假设：在其他条件不变的情况下，法学院排名对起薪中位数没有影响。

解 由题意可知，我们构造回归模型如下()()()u t libvol gpa lsat rank salary ++++++=cos ln ln ln 543210ββββββ则虚拟假设可以表述为0:10=βH利用RAW LAWSCH .85的数据可得估计方程为()()()()()()()()()842.0,1360321.00333.0cos ln 0376.0ln 0950.0090.000401.0000348.0533.0248.000470.000333.0343.8ln 2==++++-=∧R n t libvol gpa lsat rank salary从回归结果可以看出，rank 斜率估计值00333.01-=∧β，000348.01=⎪⎭⎫ ⎝⎛∧βse ，t 统计量为-9.541，p 值等于0.0000，由此可知rank 即使是在很小的显著性水平上也是统计显著的，所以我们完全有理由拒绝0H 。

（2）新生年级的学生特征（gpa lsat ,）对解释salary 而言是个别或者联合显著的吗？解 从（1）的估计方程可知，lsat 的t 统计量为1.171，p 值等于0.2437；gpa 的t 统计量为2.749，p 值等于0.0068。

所以在%5的显著性水平上只有gpa 是个别显著的。

为了说明gpa lsat ,是不是联合显著的，我们做如下的虚拟假设：0,0:320==ββH其对立假设为不全为零321,:ββH 。

（1）已经给出了不受约束模型的估计方程，受约束模型的估计方程如下：()()()()()()()822.0,1410295.00325.0000298.0343.0cos ln 0265.0ln 129.000417.0880.9ln 2==++-=∧R n t libvol rank salary两个模型的样本容量不同，是由gpa lsat ,的数据缺失造成的。

不受约束模型中841.02=ur R ，受约束模型的822.02=r R ，136=n ，5=k ，2=q ，由此可得： ()()()767.72130841.01822.0841.011222≈⋅--=----=k n R q R R F ur r ur 分子自由度为2，分母自由度为130，显著性水平为%5的F 统计量的临界值为 3.00,，所以gpa lsat ,在%5的显著性水平上是联合显著的。

（3）检验要不要在方程中引入入学年级的规模（clsize ）和教职工的规模（faculty ）；只进行一个检验。

解 回归模型如下()()()u faculty clsize t libvol gpa lsat rank salary ++++++++=76543210cos ln ln ln ββββββββ再次利用RAW LAWSCH .85的数据得到其估计模型为()()()()()()()()()()()844.0,13100040.0000154.00347.00404.00000675.0000134.0cos ln 0296.0ln 0552.00932.000418.0000357.0552.0266.000558.000343.0416.8ln 2==++++++-=∧R n faculty clsize t libvol gpa lsat rank salary 回归样本容量为131，这是受到clsize 和faculty 数据缺失的影响。

从回归结果可知，clsize 和faculty 的t 统计量的值分别为0.875、0.169，p 值分别为0.383、0.866。

由此可知，在%5，甚至是%10的显著性水平上clsize 和faculty 在统计上都不显著。

以（1）中的模型为受约束模型，本题中的模型为不受约束模型，就可以检验clsize 和faculty 的联合显著性了。

844.02=ur R ，受约束模型的842.02=r R ，131=n ，7=k ，2=q ，由此可得： ()()()788.02123844.01842.0844.011222≈⋅--=----=k n R q R R F ur r ur 分子自由度为2，分母自由度为123，显著性水平为%5的F 统计量的临界值为3.00,，gpa lsat ,在%5的显著性水平上是联合显著的，所以不应该把clsize 和faculty 放进模型中。

（4）还有哪些因素可能影响到法学院排名，但又没有被包括在薪水回归中？解 教师质量、性别差异、种族差异、学生能力测试成绩等。

C4.3 参考习题3.14，现在我们使用住房价格的对数作为因变量：()u bdrms sqrft price +++=210ln βββ（1）你想在住房增加一个150平方英尺的卧室的情况下，估计并得到price 变化百分比的一个置信区间。

以小数形式表示就是211150ββθ+=。

使用RAW HPRICE .1中的数据去估计1θ。

解 使用RAW HPRICE .1中的数据得到估计方程为()()()()588.0,3.3,880296.00000432.0097.00289.0000379.0766.4ln 2===++=∧R SSR n bdrms sqrft price 由以上回归结果可知，000379.01=∧β，0289.02=∧β，所以08575.0289.0000379.01501=+⨯=∧θ 这意味着增加一个150平方英尺的卧室的情况下，price 预期大约增长%6.8。

（2）用1θ和1β表达2β，并代入()price ln 的方程。

解 112211150150βθβββθ-=⇒+=，代入方程可得：()()()ubdrms bdrms sqrft ubdrms sqrft price ++-+=+-++=1101110150150ln θβββθββ（3）利用第（2）步中的结果得到∧1θ的标准误，并使用这个标准误构造一个%95的置信区间。