第五章灰色关联度分析目录壹、何谓灰色关联度分析 ------------------------- 5-2 贰、灰色联度分析实例详说与练习 ----------------- 5-8第五章灰色关联度分析壹、何谓灰色关联度分析一.关联度分析灰色系统分析方法针对不同问题性质有几种不同做法，灰色关联度分析(Grey Relational Analysis)是其中的一种。

基本上灰色关联度分析是依据各因素数列曲线形状的接近程度做发展态势的分析。

灰色系统理论提出了对各子系统进行灰色关联度分析的概念，意图透过一定的方法，去寻求系统中各子系统(或因素)之间的数值关系。

简言之，灰色关联度分析的意义是指在系统发展过程中，如果两个因素变化的态势是一致的，即同步变化程度较高，则可以认为两者关联较大；反之，则两者关联度较小。

因此，灰色关联度分析对于一个系统发展变化态势提供了量化的度量，非常适合动态(Dynamic)的历程分析。

灰色关联度可分成「局部性灰色关联度」与「整体性灰色关联度」两类。

主要的差别在于「局部性灰色关联度」有一参考序列，而「整体性灰色关联度」是任一序列均可为参考序列。

二.直观分析依据因素数列绘制曲线图，由曲线图直接观察因素列间的接近程度及数值关系，表一某老师给学生的评分表数据数据为例，绘制曲线图如图一所示，由曲线图大约可直接观察出该老师给分总成绩主要与考试成绩关联度较高。

表一某一老师给学生的评分表单位：分/ %由曲线图直观分析，是可大略分析因素数列关联度，可看出考试成绩与总成绩曲线形状较接近，故较具关联度，但若能以量化分析予以左证，将使分析结果更具有说服力。

三.量化分析量化分析四步曲：1.标准化(无量纲化)：以参照数列(取最大数的数列)为基准点，将各数据标准化成介于0至1之间的数据最佳。

2.应公式需要值，产生对应差数列表，内容包括：与参考数列值差(绝对值)、最大差、最小差、ζ（Zeta）为分辨系数，0＜ζ＜1，可设ζ = 0.5(采取数字最终务必使关联系数计算：ξi（k）小于1为原则，至于分辨系数之设定值对关联度并没影响，请参考p14例) 3. 关联系数ξi （k ）计算：应用公式 maxoi(k)maxmin )(∆+∆∆+∆=ζζξk i 计算比较数列X i 上各点k 与参考数列X 0 参照点的关联系数，最后求各系数的平均值即是X i 与X 0 的关联度r i 。

4. 比较各关联度大小，值愈大，关联度越高。

实例参考(一)：根据某一老师给学生成绩的数据数据，依灰色关联度分析法，计算出考试成绩及出席率与学生成绩的关联度。

设分辨系数：ζ=0.5表一 某一老师成绩表 单位：分/%1、标准化2、对应差数列表3、关联系数计算：ξi （k ）ζ=0.5、最大差 0.20、 最小差0(一)、求比较数列X 1对参考数列X 0之关联系数ξ1（k ）625.02.05.006.02.05.00m ax )2(m ax m in )2(011=⨯+⨯+=∆+∆∆+∆=ζζξ12.05.002.05.00m ax )1(m ax m in )1(011=⨯+⨯+=∆+∆∆+∆=ζζξ5.02.05.01.02.05.00m ax )3(m ax m in )3(011=⨯+⨯+=∆+∆∆+∆=ζζξ()k Nr iN k iξ11=∑=()708.035.0625.01311311=++=∑==k r k ξ()667.03333.0667.01312312=++=∑==k r k ξ1r 2r(二)、求比较数列X 2对参考数列X 0之关联系数ξ2（k ）4、求关联度 ：即求比较数列所有数关联度的平均值 (一)、比较数列X 1对参考数列X 0之关联度(二)、比较数列X 2对参考数列X 0之关联度＞ 故该教授给的总成绩主要与考试成绩关联度较高。

量化分析公式内容说明：(一)、标准化（无量纲化）由于系统中各因素列中的数据，可能因计算单位的不同，不便于比较，或在比较时难以得到正确的结论。

因此667.02.05.005.02.05.00m ax )2(m ax m in )2(022=⨯+⨯+=∆+∆∆+∆=ζζξ333.02.05.02.02.05.00m ax )3(m ax m in )3(022=⨯+⨯+=∆+∆∆+∆=ζζξ12.05.002.05.00m ax )1(m ax m in )1(022=⨯+⨯+=∆+∆∆+∆=ζζξ在进行灰色关联度分析时，一般都要进行标准化（无量纲化）的数据处理。

(二)、关联系数：ξ（Xi ）所谓关联程度，实质上是曲线间几何形状的差别程度。

因此曲线间差值大小，可做为关联程度的衡量尺度。

对于一个参考数列X 0有若干个比较数列X 1, X 2,…, X n 。

各比较数列与参考数列在各个时刻（即曲线中的各点）的关联系数ξ（Xi ）可由下列公式算出：()()()()()()()()()||max max ||||max max ||min min 0000k X k X k X k X k X k X k X k X k i kii i kii kii -+--+-=ζζξ其中 ζ（Zeta ）为分辨系数，0＜ζ＜1()()||min min 0k X k X i ki- 为两层式取绝对差值中最小值计算，第一层为先分别由各比较数列X i 曲线上的每一个点与参考数列X 0曲线上的每一个点之绝对差值中取最小值，再由这些最小值当中选取最小值。

简记为Δmin 。

()()||max max 0k X k X i ki-为两层式取绝对差值中最大值计算，第一层为先分别由各比较数列X i 曲线上的每一个点与参考数列X 0曲线上的每一个点之绝对差值取最大值，再由这些最大值当中选取最大值。

简记为Δmax 。

()()||0k X k X i -为各比较数列X i 曲线上的每一个点与参考数列X 0曲线上的每一个点之绝对差值。

记为Δoi(k)。

所以关联系数ξ（Xi ）也可简化如下列公式：m axoi(k)m axm in )(∆+∆∆+∆=ζζξk i(三)、关联度 ：r i因为关联系数是比较数列与参考数列在各个时刻（即曲线中的各点）的关联程度值，所以它的数不止一个，而讯息过于分散不便于进行整体性比较。

因此有必要将各个时刻（即曲线中的各点）的关联系数集中为一个值，也就是求其平均值，做为比较数列与参考数列间关联程度的数量表示，关联度r i 公式如下：()k N r i Nk i ξ11=∑=貳、 灰色联度分析实例详说如表一某家庭收入来源数据数据为例：表一 某家庭 1998 ~ 2000年收入 单位：十万元绘制曲线图如图二所示：【关联度分析】一. 标准化（无量纲化）以1998年收入为基准，将表一进行标准化（无量纲化）处理后得表二：表二 标准化后的数列表二. 求最大差值()()||max max 0k X k X i ki-与最小差值()()||min min 0k X k X i ki-为求得()()||min min 0k X k X i ki-及()()||max max 0k X k X i ki-值，必须先求出各比较数列与参考数列之「对应差数列表」如表三： 表三 对应差数列表由表三对应差数列表得知各比较数列对参考数列各点对应差值中之最小值：()()0||min min 0=-k X k X i ki，即Δmin=0各比较数列对参考数列各点对应差值中之最大值：()()3.0||max max 0=-k X k X i ki，即Δmax=0.3三. 关联系数计算：ξi （k ） 设分辨系数：ζ=0.5(一)、求比较数列X 1对参考数列X 0之关联系数ξ1（k ）1、13.05.003.05.00m ax )1(m ax m in )1(011=⨯+⨯+=∆+∆∆+∆=ζζξ2、375.03.05.025.03.05.00m ax )2(m ax m in )2(011=⨯+⨯+=∆+∆∆+∆=ζζξ3、667.03.05.0075.03.05.00m ax )3(m ax m in )3(011=⨯+⨯+=∆+∆∆+∆=ζζξ(二)、求比较数列X 2对参考数列X 0之关联系数ξ2（k ）1、13.05.003.05.00m ax )1(m ax m in )1(022=⨯+⨯+=∆+∆∆+∆=ζζξ2、333.03.05.03.03.05.00m ax )2(m ax m in )2(022=⨯+⨯+=∆+∆∆+∆=ζζξ3、429.03.05.02.03.05.00m ax )3(m ax m in )3(022=⨯+⨯+=∆+∆∆+∆=ζζξ四. 求关联度 ：()k N r i Nk i ξ11=∑= (一)、比较数列X 1对参考数列X 0之关联度()68.03667.0375.01311311=++=∑==k r k ξ(二)、比较数列X 2对参考数列X 0之关联度()587.03429.0333.01312312=++=∑==k r k ξ五. 结论由上列运算得知：比较数列X 1对参考数列X 0之关联度68.01=r 比较数列X 2对参考数列X 0之关联度587.02=r1r ＞2r故该家庭总收入主要与薪资收入关联度较高。

六、练习：公路建设招标中取最接近标准者得标，请问何者得标？设分辨系数：ζ=0.5厂商及指标标准标Ｘ０A 厂 Ｘ１B 厂 Ｘ２C 厂 Ｘ３造价(亿) 1.1 1.1 1.2 1.5 建设期限(年) 1.3 1.8 1.5 1.3 车流(百辆) 5 4 3 5 车速(公里/时)11080110100解题： 一、标准化厂商及指标 标准标Ｘ０A 厂 Ｘ１B 厂 Ｘ２C 厂 Ｘ３ 造价 11.00 1.09 1.36 建设期限 1 1.38 1.15 1.00 车流 1 0.80 0.60 1.00 车速10.731.000.91二、对应差数列表指标 ()()||10k X k X - ()()||20k X k X - ()()||30k X k X -kminkmax造价 0.00 0.09 0.36 0.00 0.36 建设期限0.380.150.000.000.38车流0.20 0.40 0.00 0.00 0.40 车速0.27 0.00 0.09 0.00 0.27三、关联系数与关联度关联系数ξi（k）ξ1（k）ξ2（k）ξ3（k）造价 1.00 0.69 0.35建设期限0.34 0.57 1.00车流0.50 0.33 1.00车速0.42 1.00 0.69关联度 r i0.57 0.65 0.76r3＞r2＞r1答： C 厂得标为暸解分辨系数的设定对关联度是否造成影响？以下将分辨系数分别以0.2、0.4、0.6、0.8来计算，由以下的结果得知：分辨系数并不影响关联度的判别，但以分辨系数为 0.2 时关联度曲线倾斜角最大最具判断性。