第十三章《轴对称》一、知识点归纳（一）轴对称和轴对称图形1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
（对称轴必须是直线）3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
5．画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。
（二）、轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．联系：1：都是折叠重合2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。
（三）线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．（证明是必须有两个点）因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．（四）用坐标表示轴对称1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（-x，y）；2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）；(五）关于坐标轴夹角平分线对称点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y＝x对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y＝－x对称的点的坐标是（－y，－x）（六）关于平行于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）；(七）等腰三角形1、等腰三角形性质：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
（三线合一）2、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）. （八）等边三角形1、定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。
它是特殊的等腰三角形。
2、性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。
（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（九）其他结论（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。
（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线二、专题训练考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识1．下列几何图形中，○1线段○2角○3直角三角形○4半圆，其中一定是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．图9-19中，轴对称图形的EDCBA个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 3．正n 边形有___________条对称轴，圆有_____________条对称轴考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称1. 在平面镜里看到背后墙上电子钟示数为12:50这时的实际时间应该是：2. 一辆小汽车在水面上的倒影如图，那么从倒影中看出这个小车的车牌号是3、在健美操训练房的墙壁上有一面大镜,小明、小颖、珍珍三人正在训练, 从镜中看,小明在小颖的右后方,而珍珍在小颖的左前方，你能说出他们实际所站的方位吗?4、已知点P （－2，3）关于y 轴的对称点为Q （a ，b ），则a+b 的值是。
5、将点A （3,2）沿x 轴向左平移4个单位长度得到点A ’,点A ’关于y 轴对称点的坐标是。
6、已知点P （3，-1）关于x 轴对称点Q 的坐标是（a+b ，1-b ），则a b=.7、已知点A （-1，-2）和B （5,2），将点A 向平移个单位长度后得到的点与B 点关于x 轴对称。
8、点A(-2，6)关于直线y=3对称的点A ’的坐标是。
考点三、作一个图形关于某条直线的轴对称图形典例：1、如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用两种方法分别在下图方格内涂黑两个小正方形，使它们成为轴对称图形．2、如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有 ____个．3、如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰三角形，则点C 的个数是。
考点四、线段垂直平分线的性质典例1、如图,DE 是∆ABC 中AC 边的垂直平分线。
（1）若BC=8厘米，AB=10厘米，则∆EBC 的周长为；（2）若△ABC 的周长=20cm ，AC=8cm ，则△EBC 的周长为。
2、如图，△ABC 的边BC 的垂直平分线与边BA 的垂直平分线的交点M 恰好在AC 上，且AC=16cm ，则BM=;△CPM 的面积=△ABC 面积。
3、如图，△ABC 中，∠A=90°，BD 为∠ABC 平分线，DE ⊥BC ，E 是BC 的中点，（1）求∠C 的度数。
（2）如果△ABD 面积为6，AB=4，求BD.(3)如果AC=16cm ，AD:DB=3：5，求AD 的长.4、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，∠BA C 的平分线交 BC 于D. 过C 点作CG⊥AB 于G ，交AD 于E.过D 点作DF⊥AB 于F.下列结论：CEB DAF E D CBAG ANBD C2题 M1题3题①∠CED=∠CDE；②AEC S ∆︰AC S AEG =∆︰AG ；③∠AD F =2∠ECD ； ④DFB CED S S ∆∆=；⑤CE=DF.其中正确结论的序号是( ) A ．①③④ B ．①②⑤ C ．③④⑤ D ．①③⑤考点五、等腰三角形的特征和识别典例1、如图所示，△ABC 中，AC=AD=BD ，∠DAC=80°，则∠B 的度数是。
2、 已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是_______．3、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的一个底角的度数是____________4、已知等腰三角形的两边为3cm 和4cm ，则周长为 。
若两边为3cm 和6cm ，则周长为cm 。
5、已知等腰三角形的周长为28cm ，一边长为8cm ，则这个三角形另两边的长为。
6、如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB ∠A 的度数7、在等腰△ABC 中，AB=AC ，其周长为20cm ，则AB 边的取值范围是（ ）A ． 1cm ＜AB ＜4cm B ． 5cm ＜AB ＜10cmC ． 4cm ＜AB ＜8cmD ． 4cm ＜AB ＜10cm8、如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（） A ．80° B ．90° C ．100° D ．108° 9、如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD ，则∠A 的度数（ ） A ．30° B.40° C.36° D.46° 10、如图,E 在△ABC 的AC 边的延长线上，D 点在AB 边上，DE 交BC 于点F ，DF=EF ，BD=CE.求证：△ABC 是等腰三角形. 11、如图，AF 是△ABC 的角平分线，BD ⊥AF 交AF 的延长线于D ，DE ∥AC•交AB 于E ，求证：AE=BE ．12、在图中，直线MN 与线段AB 相交于点O ，∠1 = ∠2 = 45°．（1） 如图，若AO = OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系；（2） 将图中的MN 绕点O 顺时针旋转得到下图，其中AO = OB ．求证：AC = BD ，AC ⊥ BD；考点六、等边三角形的特征和识别典例1、下列推理中，错误的是 ( )A ．∵∠A ＝∠B ＝∠C ，∴△ABC 是等边三角形B ．∵AB ＝AC ，且∠B ＝∠C ，∴△ABC 是等边三角形F E DC B A EDCABHFGAB CDE FEADBCEDCABF 1题6题 8题 9题 11题A BDC FECBAC ．∵∠A ＝60°，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形D ．∵AB ＝AC ，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形2、如图，等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。
求证：M 是BE 的中点。
3、已知：如图，△ABC 为正三角形，D 是BC 延长线上一点，连结AD ，以AD 为边作等边三角形ADE ，连结CE ，用你学过的知识探索AC 、CD 、CE 三条线段的长度有何关系?试写出探求过程．4、 如图，在等边△ABC 的顶点A 、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A 向B 和由C 向A 爬行，经过t 分钟后，它们分别爬行到D 、E 处，请问（1）在爬行过程中，CD 和BE 始终相等吗？（2）如果将原题中的“由A 向B 和由C 向A 爬行”，改为“沿着AB 和CA 的延长线爬行”，EB 与CD 交于点Q ，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中∠CQE 的大小保持不变．请利用图（2）情形，求证：∠ CQE =60°； （3）如果将原题中“由C 向A 爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE 交AC 于F”，其他条件不变，如图（3），则爬行过程中，DF 始终等于EF 是否正确．考点七、30°所对的直角边是斜边的一半1、如图：△ADC 中，∠A = 15°，∠D=90°，B 在AC 的垂直平分线上，AB =34，则CD =( )A. 15 B . 17 C. 16 D. 以上全不对2、 如图，∠BAC=30°，P 是∠BAC 平分线上一点，PM ∥AC ，PD ⊥AC ，PD=28 ,则AM=3、 如图，AB=AC ，DE⊥AB 于E ，DF⊥AC 于F ，∠BAC=120o，BC=6，则DE+DF= 4、 在ABC △中，120AB AC A =∠=︒，，AB 的垂直平分线交BC 于点F,交AB 于点E ．如果 EF=1，求BC 的长考点八、折纸问题1、有一本书折了其中一页的一角，如图：测得AD =30cm,BE =20cm ，M D AP BABCDEM FECB第3题E DCBA3题图 1DCBA∠BEG=60°，折痕EF的长．2、如图1，将矩形沿对称轴折叠，在对称轴处剪下一块，余下部分的展开图为( )3、将一矩形纸片按如图方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后BEBA''与与在同一条直线上，则∠CBD的度数A. 大于90°B.等于90°C. 小于90°D.不能确定考点九、最短路径问题1、小明在牛头山A处到对面凤凰山市场处买菜，然后回钟楼B住处，请你给小明设计出他出行的最短路线图。