课时作业15　均值不等式时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．已知＋＝1(x >0，y >0)，则xy 的最小值是( )5x 3y A ．15 B ．6C ．60 D ．1【答案】　C【解析】　∵＋＝1≥2，5x 3y 15xy ∴xy ≥60，当且仅当3x ＝5y 时取等号．2．函数f (x )＝x ＋＋3在(－∞，－2]上( )4x A ．无最大值，有最小值7B ．无最大值，有最小值－1C ．有最大值7，有最小值－1D ．有最大值－1，无最小值【答案】　D【解析】　∵x ≤－2，∴f (x )＝x ＋＋34x ＝－＋3≤－2＋3[(－x )＋(－4x )](－x )(－4x )＝－1，当且仅当－x ＝－，即x ＝－2时，取等号，4x∴f (x )有最大值－1，无最小值．3．已知两个正实数x ，y 满足x ＋y ＝4，则使不等式＋≥m 恒1x 4y 成立的实数m 的取值范围是____________．【答案】　(－∞，94]【解析】　＋＝＝＋＋≥＋2＝.1x 4y (x ＋y 4)(1x ＋4y )54y 4x x y 5414944．求函数y ＝(x >－1)的最小值．x 2＋7x ＋10x ＋1【分析】　对于本题中的函数，可把x ＋1看成一个整体，然后将函数用x ＋1来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的形式特点，从而能用均值定理来处理．【解析】　因为x >－1，所以x ＋1>0.所以y ＝＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋＋5≥2＋5＝94x ＋1(x ＋1)·4x ＋1当且仅当x ＋1＝，即x ＝1时，等号成立．4x ＋1∴当x ＝1时，函数y ＝(x >－1)，取得最小值为9.x 2＋7x ＋10x ＋1【规律方法】　形如f (x )＝(m ≠0，a ≠0)或者g (x )＝ax 2＋bx ＋c mx ＋n(m ≠0，a ≠0)的函数，可以把mx ＋n 看成一个整体，设mx ＋nax 2＋bx ＋cmx ＋n ＝t ，那么f (x )与g (x )都可以转化为关于t 的函数．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．设x >0，则y ＝3－3x －的最大值是( )1x A ．3 B ．3－32C ．3－2 D ．－13【答案】　C【解析】　y ＝3－3x －＝3－(3x ＋)≤3－21x 1x 3x ·1x＝3－2.3当且仅当3x ＝，即x ＝时取“＝”．1x 332．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋≥21lg x B ．当x >0时，＋≥2x 1x C ．当x ≥2时，x ＋的最小值为21x D ．当0<x ≤2时，x －无最大值1x 【答案】　B【解析】　A 中，当x >0且x ≠1时，lg x 的正负不确定，∴lg x ＋≥2或lg x ＋≤－2；C 中，当x ≥2时，(x ＋)min ＝；D 中当1lg x 1lg x 1x 520<x ≤2时，y ＝x －在(0,2]上递增，(x －)max ＝.1x 1x 323．如果a ，b 满足0<a <b ，a ＋b ＝1，则，a,2ab ，a 2＋b 2中值12最大的是( )A. B ．a 12C ．2ab D ．a 2＋b 2【答案】　D【解析】　方法一：∵0<a <b ，∴1＝a ＋b >2a ，∴a <，12又a 2＋b 2≥2ab ，∴最大数一定不是a 和2ab ，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ，∵1＝a ＋b >2，∴ab <，ab 14∴1－2ab >1－＝，即a 2＋b 2>.121212方法二：特值检验法：取a ＝，b ＝，则13232ab ＝，a 2＋b 2＝，∵>>>，∴a 2＋b 2最大．4959591249134．已知a >b >c >0，则下列不等式成立的是( )A.＋>1a －b 1b －c 2a －cB.＋<1a －b 1b －c 2a －cC.＋≥1a －b 1b －c 2a －cD.＋≤1a －b 1b －c 2a －c 【答案】　A【解析】　∵a >b >c >0，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0，∴(a －c )(1a －b ＋1b －c)＝[(a －b )＋(b －c )]·(1a －b ＋1b －c)＝2＋＋b －ca －b a －bb －c ≥2＋2＝4.b －c a －b ·a －bb －c ∴＋≥>.1a －b 1b －c 4a －c 2a －c 5．下列函数中，最小值为4的是( )A ．f (x )＝x ＋B ．f (x )＝2×4x x 2＋5x 2＋4C ．f (x )＝3x ＋4×3－x D ．f (x )＝lg x ＋log x 10【答案】　C【解析】　A 、D 选项中，不能保证两数为正，排除；B 选项不能取等号，f (x )＝2×＝2×＝2×(＋)≥4，x 2＋5x 2＋4x 2＋4＋1x 2＋4x 2＋41x 2＋4要取等号，必须＝，即x 2＋4＝1，这是不可能的，排x 2＋41x 2＋4除．故选C.6．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确．有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左、右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量．设物体放在左右托盘称得的重量分别为a ，b (a ≠b )，则物体的实际重量为多少？实际重量比两次称量的结果的一半大了还是小了？( )A.；大B.；小a ＋b 2a ＋b 2C.；大 D.；小ab ab 【答案】　D【解析】　设物体真实重量为m ，天平左、右两臂长分别为l 1，l 2，则ml 1＝al 2①ml 2＝bl 1②①×②得m 2l 1l 2＝abl 1l 2∴m ＝ab又∵≥且a ≠b ，∴等号不能取得，故m <.a ＋b2ab a ＋b27．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3 B ．4C.D.92112【答案】　B【解析】　∵x ＋2y ＋2xy ＝8，∴y ＝>0，8－x2x ＋2∴－1<x <8，∴x ＋2y ＝x ＋2·＝(x ＋1)＋－2≥2－2＝4，8－x 2x ＋29x ＋1(x ＋1)·9x ＋1当且仅当x ＋1＝时“＝”成立，此时x ＝2，y ＝1，故选B.9x ＋18．在区间[，2]上，函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b 、c ∈R )与g (x )＝12在同一点取得相同的最小值，那么f (x )在区间[，2]上的最x 2＋x ＋1x12大值是( )A. B ．4134C ．8 D.54【答案】　B【解析】　∵g (x )＝＝x ＋＋1≥3，当x ＝1时取等号，x 2＋x ＋1x1x 即当x ＝1时取最小值3，∴f (x )的对称轴是x ＝1，∴b ＝－2，将(1,3)代入即得c ＝4，∴f (x )＝x 2－2x ＋4，易得在[，2]上的最大值是4.12二、填空题(每小题10分，共20分)9．比较大小：________2(填“>”“<”“≥”或“≤”)．x 2＋2x 2＋1【答案】　≥【解析】＝＋≥2.x 2＋2x 2＋1x 2＋11x 2＋110．当x >1时，不等式x ＋≥a 恒成立，则实数a 的取值范1x －1围是________．【答案】　(－∞，3]【解析】　∵x >1，∴x ＋>0，1x －1要使x ＋≥a 恒成立，设f (x )＝x ＋(x >1)，则a ≤f (x )min 对1x －11x －1x >1恒成立．又f (x )＝x ＋＝x －1＋＋1≥2＋1＝3，1x －11x －1(x －1)×1x －1当且仅当x －1＝即x ＝2时取“＝”．1x －1∴a ≤3.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．设x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＋xy ＝2，(1)求x ＋y 的取值范围；(2)求xy 的取值范围．【解析】　(1)2＝x ＋y ＋xy ≤x ＋y ＋()2，x ＋y2当且仅当x ＝y 时取“＝”．∴(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0.∴[(x ＋y )＋2]2≥12.∵x ＋y >0，∴x ＋y ＋2≥.12∴x ＋y ≥2－2，当且仅当x ＝y ＝－1时取“＝”．33故x ＋y 的取值范围是[2－2，＋∞)．3(2)2＝x ＋y ＋xy ≥2＋xy ，当且仅当x ＝y ＝－1时取“＝”．xy 3∴()2＋2≤2.∴(＋1)2≤3.xy xy xy 又x 、y >0，∴＋1>0.∴＋1≤.xy xy 3∴0<≤－1.xy 3∴0<xy ≤4－2，即xy 的取值范围是(0,4－2]．3312．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，每一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？【解析】　(1)设船捕捞n 年后的总盈利y 万元．则y ＝50n －98－[12×n ＋×4]n (n －1)2＝－2n 2＋40n －98＝－2(n －10)2＋102∴捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．(2)年平均利润为＝－2yn (n ＋49n －20)≤－2＝12(2n ·49n －20)当且仅当n ＝，即n ＝7时上式取等号．49n 所以，捕捞7年后的平均利润最大，最大是12万元．【规律方法】　在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量 ，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案．。