②如果 a1 ,a2 ,⋯,an 都是正实数,那么
a1
+ a2
+⋯ + an n
≥
n
a1a2 ⋯ an
,当且仅当 a1
= a2
= ⋯ = an 时,等
号成立.
( 2)常用性质
①若 a > 0,b > 0,则
a2 + b2 a +b
≥
≥
ab ≥
2；
2
2
11 +
ab
②若 a > 0, b > 0, c > 0 ,则 a2 + b2 + c2 ≥ a + b + c ≥ 3 abc ≥ 3 ；
a3
b3 +
+
c3
≥ a+b+c.
bc ca ab
3.已知 a > 0, b > 0, n ∈ N * ,求证: (a + b)(an + bn ) ≤ 2(an +1 + bn +1) .
4.已知 a,b, c 都是实数,求证: a2 + b2 + c2 ≥ 1 (a + b + c )2 ≥ ab + bc + ca . 3
(6)若 a > b > 0, c > d > 0, 则 ac > bd > 0 ；
(7)若 a > b, ab > 0, 则 1 < 1 ； ab
(9)若 a > b > 0 ,整数 n > 1,则 n a > n b ；
(8)若 a > b > 0 ,整数 n > 1 ,则 a n > b n ； (10) | a | − | b | ≤ a +b ≤ a + b .
⇔ (1+ b )2 < 4 < (1 + a )2 ( a > b > 0)
a
b
⇔
b <1<
a . 由 a > b > 0 知,此时显然成立.
a
b
例 4.证明:对于任意的 n ∈ N * ,都有1+ 1 + 1 +⋯ + 1 < 2 n .
23
n
提示:当 k ≥ 2 时,有 1 = 2 <
2
= 2( k − k −1) .
x3
+
y3 +
z3
≥ 3.
(1 + y)(1 + z) (1 + z)(1 + x) (1 + x)(1 + y) 4
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换元 法是指对 结构较为 复杂 ,量与 量之间关 系不甚明 了的命题 ,通过 恰当引入 新变量 ,代换 原命题中 的部分式子,简化原有结构,使其转化为便于研究的形式.
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3.均值不等式及其性质
( 1)均值不等式
①如果 a,b 都是正实数,那么 a + b ≥ ab ,当且仅当 a = b 时,等号成立. 2
= r 2 | 3 cos 2θ − 4 sin 2θ | = 5r 2 | sin( 2θ + ϕ) | ≤ 5r 2 ≤ 20 ,得证！
例
8.已知正实数 a,b, c 满足 a2
+ b2
+ c2
= 1 ,求 S
=
1 a2
1 + b2
1 +c2
−
2(a3
+ b3 + c3 ) 的最小值. abc
提示 :由 a2
1
+
1
+
1
≤ 1.
a3 + b3 + abc b 3 + c 3 + abc c3 + a3 + abc abc
提示 : 由
a3
+ b3
≥
ab(a
+ b)
可得
a3
+ b3
+
abc
≥
ab(a
+b
+
c)
,故
a3
1 + b3 + abc
≤
1 abc
⋅
a
c +b
+
c
,
第3页共4页
同理有
b3
1 + c3 + abc
8.已知实数 x, y 满足 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2, z = x 2 + xy + y 2 ,求 z 的取值范围.
9.已知 a,b, c 是不全相等的正实数,求证: lg a + b + lg b + c + lg c + a > lg a + lg b + lg c .
2
2
2
10.已知正实数 x, y, z 满足 xyz =1 ,求证:
2.不等式的证明方法
( 1)比较法
①作差比较法: a ≥ b ⇔ a − b ≥ 0； ②作商比较法: a > 1, b > 0 ⇒ a > b . b
( 2)综合法 利用某些已经证明过的不等式作为基础,再运用不等式的性质推导出所求证的不等式 ,这种证明方法
叫做综合法.综合法的证明思路是:“由因导果”.
+ b2
+ c2
=1 ,可得
S
= 3+
b2 a2
+
c2 a2
c2 + b2
+
a2 b2
+
a2 c2
+
b2 c2
a2 − 2(
bc
+
b2 ca
+
c2 )
ab
,从而可得
S ≥3+2
c2
b2 +2
a2 +2
a2 − 2(
+
b2
+
c2
)
= 3 ,即 S 得最小值为 3 .
ab ca bc bc ca ab
例 9.求证:对任意正实数 a,b, c ,均有
例 3.已知 a > b > 0 ,求证: (a − b)2 < a + b − ab < (a − b)2 .
8a
2
8b
提示:原不等式 ⇔ (
a−
b)2(
a+
b)2 ( <
a−
b)2 ( <
a−
b)2(
a+
b)2
8a
2
8b
( a + b)2
( a + b)2
⇔
<1<
(a > b > 0)
4a
4b
第2页共4页
243
53
+ c)
≥
28
3
⋅
−
3
28
−
⋅ (abc) 28
243 159
≥
283
⋅
−
3
28
+
28
= ( 28)3 .
a2
b2
c2
3
三、及时巩固提高
A组 1.已知 x, y, z 满足 x + y + z = 1,求证: x 2 + y2 + z 2 ≥ 1 .
3
2.求证:对任意正实数 a,b, c ,均有
不等式(1)--不等式基础
一、基础知识点击
1.不等式的基本性质
(1)若 a > b, 则 a + c > b + c ；
(2)若 a > b, b > c ,则 a > c ；
(3)若 a > b, c > 0, 则 ac > bc ；
(4)若 a > b, c < 0, 则 ac < bc ；
(5)若 a > b, c > d ,则 a + c > b + d ；
+
1 27a2
+⋯+
1 27a2
+a
≥
1
28⋅ (27−27 ⋅ a−53 )28
81
53
−
−
= 28 ⋅ 3 28 ⋅ a 28 ,
同理,可得: 1 b2
+b≥
81 −
28⋅ 3 28
53
⋅ b− 28 ,
1 c2
+c
≥
81
53
−
−
28⋅ 3 28 ⋅ c 28
.
将以上三式相乘可得
(
1 a2
1 + a)( b2
k k + k k + k −1
例 5.已知 n, k 均为大于 1 的整数,求证:1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1 + 1 + ⋯ + 1 < 2.
2k 3k
nk
提示 :当
m
≥
2
时,有
1 mk
1 ≤
m2
< 1 = 1 −1. m(m −1) m −1 m
例 6.已知 a + b + c > 0,ab +bc + ca > 0,abc > 0 ,求证: a > 0,b > 0, c > 0 .