hj(X)0
X(x1,x2,...x.n), 为决策变量
如对于求极大(max)型，其各种解定义如下： 绝对最优解：若对于任意的X，都有F(X*)≥F(X) 有效解：若不存在X，使得F(X*)≤ F(X)
弱有效解：若不存在X，使得F(X*)<F(X)
2、多目标优选问题的模型结构
可用效用函数来表示。设方案的效用是目标属 性的函数： U (x)U (f1,f2,..f.p),
并设
aij fi(xj )
且各个方案的效用函数分别为
U (xj)U (a1j,a2j,.a .p .)j,
则多目标优选模型的结构可表示如下：
ord(U X)(U(X1)U , (X2),..U ..(,Xp))T s.t. gi(X)0
hj(X)0
§10.2 多目标规划问题的求解
1、主要目标法
在有些多目标决策问题中，各种目标的重要性程
甲
资源A单位消耗
9
资源B单位消耗
4
资源C单位消耗
3
单位产品的价格
400
单位产品的利润
70
单位产品的污染
3
乙
资源限量
4
240
5
200
10
300
600
120
2
解：问题的多目标模型如下
max f 1 ( X ) 70 x 1 120 x 2 max f 2 ( X ) 400 x 1 600 x 2
f2 1
56
3
7
24
8
f
二、模型结构
多目标决策问题包含有三大要素：目标、方案和决 策者。
在多目标决策问题中，目标有多层次的含义。从最高层次 来看，目标代表了问题要达到的总目标。如确定最满意的 投资项目、选择最满意的食品。从较低层次来看，目标可 看成是体现总目标得以实现的各个具体的目标，如投资项 目的盈利要大、成本要低、风险要小；目标也可看成衡量 总目标得以实现的各个准则，如食品的味道要好，质量要 好，花费要少。
对于上述模型的三个目标，工厂 确定利润最大为主要目标。另两 个目标则通过预测预先给定的希
max( f 3 ( X )) 3 x 1 2 x 2
9 x1 4 x 2 240
4 3
x1 x1
5x2 10 x
200 2 300
x 1 , x 2 0源自望达到的目标值转化为约束条件。 经研究，工厂认为总产值至少应 达到20000个单位，而污染控制 在90个单位以下，即
其余的目标满足一定的条件，即 maxf1(X)
s.t.hgji
( (
X X
) )
0, 0,
i 1,2,...,n j 1,2,...,m
fk
(X)
k
,k
1,2,..., p
1
例题1 某工厂在一个计划期内生产甲、乙两种产品，各产品 都要消耗A，B，C三种不同的资源。每件产品对资源的单位消 耗、各种资源的限量以及各产品的单位价格、单位利润和所 造成的单位污染如下表。假定产品能全部销售出去，问每期 怎样安排生产，才能使利润和产值都最大，且造成的污染最 小？
化多目标问题为单目标问题的方法大致可分为 两类,一类是转化为一个单目标问题,另一类是转化 为多个单目标问题,关键是如何转化.
下面,我们介绍几种主要的转化方法:主要目标 法、线性加权和法、字典序法、步骤法。
§10.1多目标决策问题的特征
一、解的特点
在解决单目标问题时，我们的任务是选择一个或一组
变量X，使目标函数f(X)取得最大（或最小）。对于任意两方
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1
多目标规划模型
在现实生活中,决策的目标往往有多个,例如,对企业产品的 生产管理,既希望达到高利润,又希望优质和低消耗,还希望减少对 环境的污染等.这就是一个多目标决策的问题.又如选购一个好的计 算机系统,似乎只有一个目标,但由于要从多方面去反映,要用多个 不同的准则来衡量,比如,性能要好,维护要容易,费用要省.这些准 则自然构成了多个目标,故也是一个多目标决策问题.
案所对应的解，只要比较它们相应的目标值，就可以判断谁 优谁劣。但在多目标情况下，问题却不那么单纯了。例如，
有两个目标f1(X)，f2(X),希望它们都越大越好。下图列出在
这两个目标下共有8个解的方案。其中方案1，2，3，4称为劣 解，因为它们在两个目标值上都比方案5差，是可以淘汰的解 。而方案5，6，7，8是非劣解（或称为有效解，满意解）， 因为这些解都不能轻易被淘汰掉，它们中间的一个与其余任 何一个相比，总有一个指标更优越，而另一个指标却更差。
f2(X)40x0160x02 20000 f3(X)3x12x2 90
由主要目标法化为单目标问题
max f 1 ( X ) 70 x 1 120 x 2
用单纯形法求得其最优解为
x1 12.5,x2 26.25, f1(x) 4025, f2(x) 2075,0f3(x) 90
400 x 1 600 x 2 20000
度往往不一样。其中一个重要性程度最高和最为关键
的目标，称之为主要目标法。其余的目标则称为非主
要目标。 opt(FX)(f1(X),f2(X),...f.p,(X))T
s.t. gi(X)0
hj(X)0
例如，在上述多目标问题中，假定f1(X)为主要目标，其余p-1
个为非主要目标。这时，希望主要目标达到极大值，并要求
多目标决策问题中的方案即为决策变量，也称为 多目标问题的解。备选方案即决策问题的可行解。在多目 标决策中，有些问题的方案是有限的，有些问题 的方案是 无限的。方案有其特征或特性，称之为属性。
1、多目标规划问题的模型结构
opt(FX)(f1(X),f2(X),...f.p,(X))T s.t. gi(X)0
矛盾性、不可公度性。
一般来说,多目标决策问题有两类.一类是多目标规划问题,其 对象是在管理决策过程中求解使多个目标都达到满意结果的最优方 案.另一类是多目标优选问题,其对象是在管理决策过程中根据多个 目标或多个准则衡量和得出各种备选方案的优先等级与排序.
多目标决策由于考虑的目标多,有些目标之 间又彼此有矛盾,这就使多目标问题成为一个复杂而 困难的问题.但由于客观实际的需要,多目标决策问 题越来越受到重视,因而出现了许多解决此决策问题 的方法.一般来说,其基本途径是,把求解多目标问题 转化为求解单目标问题.其主要步骤是,先转化为单 目标问题,然后利用单目标模型的方法,求出单目标 模型的最优解,以此作为多目标问题的解.