1= − 1 1 a +b ln 2aδ 1 1+ 1− a 1− 1−
1 1 a +b ln 2 aδ 1 1+ 1− a 1− 1−
和
−1 =
两式相减并整理得： 两式相减并整理得：
δ =
1 1 − 1 −1/ a 2 (ln ) 2a 1 + 1 −1/ a
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9
8.59 2.27
1000 / Ta ,cr
以 1000 / Ta ,cr
为横轴， 为横轴，
2 以ln(2.52T 2 a ,cr / x0 )
为纵轴作坐标系
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12
《燃烧学》--第三章
2 ln(2.52T 2 a ,cr / x0 )
1000 273 + 40
1000 / Ta ,cr
1 298
1 Ta,cr
从而求得298K时 自燃的临界尺寸x0C
11
y
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《燃烧学》--第三章
例题3-1：经实验得到立方堆活性炭的数据如下。 例题 ：经实验得到立方堆活性炭的数据如下。由外推 法计算，该材料以无限大平板形式堆放时， 40℃ 法计算，该材料以无限大平板形式堆放时，在40℃有自 燃着火危险的最小堆积厚度。 燃着火危险的最小堆积厚度。
x0（立方堆半边长 立方堆半边长 立方堆半边长mm） Ta，cr（临界温度K） 25.40 408 18.60 418 16.00 426 12.5 432 9.53 441
解：根据提供的实验数据作下表
2 ln( .52Ta2,cr / x0 ) 2
6.47 2.45
7.15 2.39
8.01 2.35
=e
−(
(T−T0 ) −1 E )[1+ ] RT T0 0
≈e
−(
(T−T0 ) E )[1− ] RT T0 0
T−T0
=⋅e
−E/ RT 0
⋅e
(RT2 / E) 0
= e−E/ RT0 ⋅ eθ
代入上式得
∂ 2θ x 0 2 ∂ 2θ x 0 2 ∂ 2θ +( ) +( ) = − δ exp( θ ) 2 2 2 y0 z0 ∂ x1 ∂ y1 ∂ z1
ln(
δ cr ⋅ Ta2,cr
2 xoc
n E∆H c K n C AO E ) = ln( )− KR RTa ,cr
2 ln(δ crT 2 a ,cr / x0C ) 与
1 成线性关系 Ta,cr
2 ln(δ crT 2 a ,cr / x0C )
2 y = ln(δ cr 2982 /x0C )
1 1 − 1 − eθ / a ln +b θ 2 aδ 1+ 1− e / a
x1 < 0 ,
x1 =
边界条件: 边界条件 x1=1 θ＝0 ; x1=－1时θ＝0 ＝ － 时 ＝
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《燃烧学》--第三章
应用边界条件式（ ）、（3-31）分别得 应用边界条件式（3-30）、（ ）、（ ）
《燃烧学》--第三章
0.880 0.879 0.878 0.877 0.876 0.875 3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
图3-7 δ随a的变化关系 随 的变化关系
从图中可以看出，存在一个δ的最大值0.88 从图中可以看出，存在一个δ的最大值0.88 大于此最大值时， 无解， 当δ大于此最大值时，a无解，相应地稳态导热方程也 无解 因此，此最大值即是所要求的自燃临界准则参数δ 因此，此最大值即是所要求的自燃临界准则参数δcr， 图中δ ≈0.88。 图中δcr≈0.88。
对于固体堆， 对于固体堆，其自燃延滞期可以是若干小时或者若干天甚至 若干月，这要看所贮存的材料多少和环境温度。 若干月，这要看所贮存的材料多少和环境温度。
实验表明，对于边长为1.2m的立方堆活性炭其自燃延滞期为 实验表明，对于边长为1.2m的立方堆活性炭其自燃延滞期为 1.2m 68小时 小时。 68小时。
弗兰克－ 弗兰克－卡门涅茨基热自燃理论
适用于比渥数Bi大的固体 适用于比渥数 大的固体
物质内部温度分布的不均匀性
以体系最终是否能得到稳态温度分布作为自燃着火的判断准 以体系最终是否能得到稳态温度分布作为自燃着火的判断准 则 稳态分析方法 自燃准则参数δ 自燃准则参数 自燃临界准则参数 δcr
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3.3.3 理论应用 n 2 ∆ H c K n C AO Ex 0 c − E / RT δ cr = e 2 KRT a , cr
δcr为常数。 x0c 增加，Ta,cr减小； 为常数。 增加， 减小；
《燃烧学》--第三章
a ,cr
x0c 减小，Ta,cr增加。 减小， 增加。 因此，可以用小试样 小试样， 高温下进行自燃试验 下进行自燃试验， 因此，可以用小试样，在高温下进行自燃试验，可以节约 成本，减少试验时间。并推导出试样在常温下的自燃情况。 成本，减少试验时间。并推导出试样在常温下的自燃情况。 常温下的自燃情况
d 2T β dT Q ''' + + =0 2 x dx K dx
对方程无量纲化可得
d 2θ dx1
2
+
β dθ
x1 dx1
= −δ exp(θ )
参数δ 参数 cr为： 对无限大平板， 对无限大平板，δcr＝0.88； ； 对无限长圆柱体， 对无限长圆柱体，δcr＝2； ； 对球体， 对球体，δcr＝3.32； ； 对立方体， 对立方体，δcr＝2.52。 。 当体系δ 的时，体系自燃着火。 当体系 > δcr的时，体系自燃着火。
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《燃烧学》--第三章
n 2 x0 2 ∂ 2θ x0 2 ∂ 2θ ∆H c K n C AO Ex0 − E / RT ∂ 2θ +( ) +( ) =− e 2 2 2 2 y 0 ∂y1 z 0 ∂z1 KRT0 ∂x1
e
E − RT
=e
−
E R(T+T0 −T0 )
讨论： 讨论：
∂ θ x ∂ θ x ∂ θ + ( 0 )2 + ( 0 )2 = − δ exp( θ ) 2 2 2 y0 z0 ∂ x1 ∂ y1 ∂ z1
2 2 2
《燃烧学》--第三章
1）方程的解完全受 0/y0，x0/z0和δ控制 ）方程的解完全受x 控制 2）当物体的形状确定后，其解，即稳态温度分布仅取决于 的值。 ）当物体的形状确定后，其解，即稳态温度分布仅取决于δ的值 的值。 n 2 ∆H c K nC AO Ex0 − E / RT δ= e 2 KRT0 3）δ表征物体内部化学放热和通过边界向外传热的相对大小。 表征物体内部化学放热和通过边界向外传热的相对大小。 ） 表征物体内部化学放热和通过边界向外传热的相对大小 4） x0、T0增加， δ增加 当δ大于某一临界值 时，方程无解， 增加， 增加 增加. 大于某一临界值δcr时 方程无解， ） 大于某一临界值 即物体内部不能得到稳态温度分布，就会自燃。 即物体内部不能得到稳态温度分布，就会自燃。 5）δcr仅取决于体系的外形 ） 仅取决于体系的外形
式中
n 2 ∆H c K n C AO Ex 0 − E / RT0 δ= e 2 KRT0
边界条件：在边界面 边界条件：在边界面z1＝f1（x1，y1）上θ＝0； ＝ ； 在最高温度处： 在最高温度处：
∂θ ∂θ ∂θ = 0, = 0, =0 ∂x1 ∂y1 ∂z1
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煤 植物、 植物、粮食 涂油布
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煤的自燃
煤炭自燃是煤矿井下的重大自燃灾害之一 煤炭自燃烧毁煤炭资源和设备、产生的CO造成人员 煤炭自燃烧毁煤炭资源和设备、产生的 造成人员 伤亡 我国煤矿中，有自燃发火危险的矿井约占47％ 我国煤矿中，有自燃发火危险的矿井约占 ％ 煤炭自燃存在于井下开采、运输、 煤炭自燃存在于井下开采、运输、储存过程中
因此，弗兰克－ 因此，弗兰克－卡门涅茨基自燃模型为人们提供了一种很好 的方法。 的方法。可以通过小规模实验来确定大量堆积固体发生自燃 的条件， 的条件，为预防堆积固体自燃和确定自燃火灾的原因提供坚 实的理论依据。 实的理论依据。
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《燃烧学》--第三章
自燃物质举例
β＝0，对厚度为 0的平板； ＝ ，对厚度为2x 的平板； β＝1，对半径为 0的无限长圆柱； ＝ ，对半径为x 的无限长圆柱； β＝2，对半径为x0的球体； ＝ ，对半径为 的球体； β＝3.28，对边长为 0的立方体。 ＝ ，对边长为2x 的立方体。
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-2.2 从图得出T 40℃ 从图得出Ta,cr＝40℃时， ln(2.52T a ,cr / x0 ) = −2.2 得出 半无限大平板”堆积方式， 88， 对“半无限大平板”堆积方式，δcr＝0.88，所以
2 2
2 ln(0.88 × 313 2 / x 0 ) = −2.2
得
xoc＝839（mm） 839（mm）
2
《燃烧学》--第三章
1. 理论分析
温 度 T
当体系不具备自燃条件时， 当体系不具备自燃条件时，得到稳态 温度分布方程
∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T Q '' ' + + + = 0 2 2 2 K ∂x ∂y ∂z