中国矿业大学徐海学院2009－2010学年第二学期
《高等数学》（经管类）期末试卷
考试时间：120分钟 考试方式：闭卷
、班级： 姓名： 学号：___________
题 号 一 二 三 四 总分 阅卷
人 题 分 15 15 48 22 100
得 分
考生注意：本试卷共7页，四大题，草稿纸附两张，不得在草稿纸上答题。

一、填空题（每小题3分，共15分） 1.
二
元
函
数
)
ln(y x z +=的定义域为
__________________.
2. 级数∑∞
=-1
)5(n n n x 的收敛域为 .
3. 通解为x
x e
c e c y 221-+=的二阶常系数线性齐次微分方程是 ____
4. 设)ln(),,(z xy z y x f +=，则(1,2,0)
df = .
5. 1
93lim
0-+-→→xy y x e xy
= . 二、选择题（每小题3分，共15分）
1. 若|a r |=|b r |=2，且∠(a r ,b r )=3
π，则a r •b r
= ( )
A. 2
B. 4
C. 0
D. 6 2. 设函数z x y =-232
2
，则（ ）
A ．函数z 在点(,)00处取得极大值
B ．函数z 在点(,)00处取得极小值
C ．点(,)00是函数z 的最大值点或最小值点，但不是极值点
D ．点(,)00非函数z 的极值点 3.将极坐标下的二次积分⎰⎰
=
24
sin 20
)sin ,cos (π
π
θ
θθθdr r r rf d I 化为直角坐
标系下的二次积分，则=I （ ）. A ．⎰⎰
-1
12
),(x x
dy y x f dx ；
B ．⎰
⎰
--1
0112),(x
x dy y x f dx ；
C ．⎰⎰
⎰⎰
-+2
1
20
1
00
2
),(),(y y y
dx y x f dy dx y x f dy
D ．
⎰⎰
-10
22
),(y y y
dx y x f dy ；
4. 设二重积分的积分区域D 是2
2
2x y ax +≤（0>a ），则⎰⎰=
D
d σ3（ ）.
A. 0
B. 2a π
C. 2
3a π D. 3
5. 曲线2221
:1
2
x y z C z ⎧++=⎪
⎨=⎪⎩ 在xoy 面上的投影方程为 ( ) ( A ) 221
0x y z ⎧+=⎨=⎩
( B )
22
340
x y z ⎧+=
⎪⎨
⎪=⎩ ( C ) 120
z x ⎧
=
⎪⎨⎪=⎩
||y ≤
( D ) 120
z y ⎧
=
⎪⎨
⎪=⎩
||x ≤
三、计算题（每小题8分，共48分）
1．设函数),(y x z z =由方程xy e z z
=+所确定，求22
,z z x x ∂∂∂∂.
2．设2
2
(,)z f xy x y =-具有连续二阶偏导数，求2,z z x x y
∂∂∂∂∂.
3．求222D
I a x y d σ=--⎰⎰
，其中D 是圆域22(0)x y ax a +≤>.
4．计算
σ
d xy D
⎰⎰ 其中D 是由直线y 1、x 2及y x 所围成的闭
区域.
5．将函数x
x f 431
)(+=展开为)2(+x 的幂级数并给出收敛域
6．求过点)1,1,2(且垂直于平面0532=+-+z y x 的直线方程.
四、综合题（共两题，第一题10分，第二题12分 共22分）） 1．求方程 '
3
220y xy x ++= 满足初始条件(0)2y =的特解.
2．经济学中有Cobb-Douglas 生产函数模型
1(,)a a f x y Cx y -=
其中，x 表示劳动力的数量；y 表示资本数量；C 与()01a a <<是常数，由不同企业的具体情形决定；函数值表示生产量.现已知某生产商的Cobb-Douglas 生产函数为
3144
(,)100f x y x y =，
其中每个劳动力与每单位资本的成本分别为150元及250元，该生产商的总预算是50 000元，问该如何分配这笔钱用于雇佣劳动力及投入资本，以使生产量最高。