P( A1 | B)

P( A1 )P( B | A1 )
P( A1 )P( B | A1 ) P( A2 )P( B | A2 ) P( A3 )P( B | A3 )

0.25 0.05
0.25 0.05 0.35 0.04 0.4 0.02
0.3623
24. 播种时用的一等小麦种子中，混有2%的二等种子、1.5%的 三等种子、1%的四等种子，用一二三四等种子长出的麦穗含有 50颗以上的麦粒的概率分别是0.5、0.15、0.1、0.05，求这批种 子结穗含有50颗麦粒以上的概率。
P(敌 军 阵 地 被 击 中) 1 - P(敌 军 阵 地 没 有 被 击 中) 1 0.421952 0.578
26. 设有5个袋子，有两个内装有2个白球1个黑球，一个内装10 个黑球，另外两个内装3个白球1个黑球。现任选一个袋子，由 其中任取1个球，求取得白球的概率。
解：用 Ai 表示选到第 i 个袋子，B 表示取得白球。
（2）( A B) ( A B ) 解：原式 AA AB AB BB
A AB AB
A AB A
（3）( A B) ( A B ) ( A B) 解：原式 A ( A B)
AA AB AB
4. 一套书分4册，按任意顺序放到书架上，问各书自左到右恰好 按照1234顺序排列的概率是多少？
第4 章 概率论基本概念 习题
1. 试将下列事件用A、B、C间的运算关系表出。
（1）A 出现，B、C不出现：ABC （2）A 、B、C都出现：ABC （3）A 、B、C至少一个出现：A B C （4）A 、B、C都不出现：ABC （5）不多于一个事件出现：ABC ABC ABC ABC （6）不多于两个事件出现：即至少有一个事件不出现 A B C （7）A、B、C中至少二个出现：AB BC AC
分析得下图：
敌 军
主机被高 射炮击落
阵
地 P 0.2
没
有
被 击 中
主机没有 被击落
P 0.8
只有主机到达目 P 0.2 0.2 0.6
的地，没有击中
目标
0.024
主机和僚机1到 P 0.8 0.2 0.6 0.6
达目的，都没有
击中目标
0.0576
主机和僚机2到 P 0.8 0.2 0.6 0.6
不同数字的可能组合为 C150 ，
因此
P

C150 105
0.25%
10. 电报的密码由0,1,…,9十个数字可重复任意4个数字组成，试 求密码最右边的一个数是偶数的概率。 解：在密码的所有组合中，出现偶数和奇数的概率是相同且均 等的，都是 50% 。
11. 设事件 A、B、AB的概率分别为p、q、r，求：
解：设 A=“第一次取得黑球”，则 A =“第一次取得红球” 设B=“第二次取得黑球”，则 B =“第二次取得红球”
（1）第一次取出黑球。P( A) n nr
（2）第二次取出黑球。 P(B) P( A)P(B | A) P( A)P(B | A)
解：根据全概率公式，
n nc r n nr nrc nr nrc
个发生的概率。
解： P( A, B,C至 少 一 个 发 生) 1 P(ABC )
1 P(A B C) P(A B C) P( A) P(B) P(C ) P( AC ) 13 1
48 0.625
16. 设有M只晶体管，其中有m只废品，从中任取2只，求所取 晶体管有1只正品的条件下，另1只是废品的概率。
解：令 A1, A2 , A3 , A4 分别表示一二三四等种子，B 表示结穗含
有50颗麦粒以上，根据全概率公式：
P (这 批 种 子 结 穗 含 有50颗 麦 粒 以 上) P(B)
4
P( Ai )P(B | Ai )
i 1
(1 0.02 0.015 0.01) 0.5 0.02 0.15 0.015 0.1 0.01 0.05 0.4825
由全概率公式，
5
P(B) P( Ai )P(B | Ai ) i 1

1 5

2 3

1 5

2 3

1 5
0
1 5

3 4

1 5

3 4
0.567
27. 罐中装有 n 个黑球 r 个红球，随机取出1个球观察颜色，将 球放回后，另外再装入 c 个与取出颜色相同的球，第二次再从 罐中取出1球，求下列诸事件的概率。
的各占一半。现随机地从中抽取3只，求其中恰有一只是甲厂生
产的概率。
解：
P

C320C310 C630
38.1%
9. 设有0,1,…,9十个数字，若在此十个数字中有放回陆续抽取5 个，每次抽到任意数字的概率都是相同的，问抽到5个不同的数 字的概率是多少？
解：抽取结果的可能组合为 10×10×10×10×10 ，抽取到5个
则 P(B | A) P( AB) 0.87 0.9255 P( A) 0.94
18. 五管收音机，每只电子管的寿命达到2000小时的概率为0.9， 问收音机的寿命达到2000小时的概率为多少。（假设只要有一 只电子管烧坏收音机就不能用，且每只电子管的寿命都是彼此 独立的。）
解： P 0.95 0.59
P(B )
P(B )
1 0.4
P(B | A) P( AB) P(B AB) 0.4 0.28 0.2
P(A)
P(A)
1 0.4
14. 设事件 A,B,C 满足 P( A) P(B) P(C) 1 4 ， P( AB) P(CB) 0 ，P( AC ) 1 8 ， 求事件A,B,C至少有一
13. 设 P( A) P(B) 0.4 ，P( AB) 0.28 ，求：
解：
P( A | B) P( AB) P(B AB) 0.4 0.28 0.3
P(B)
P(B)
0.4
P( A | B ) P( AB ) P( A AB) 0.4 0.28 0.2
P( A B ) P( AB) 1 r
P( AB) P(( S A)B) P(B AB) q r P( A B) P(( S A) B) P(S A B) 1 p r
P(AB) P(A B) 1 P(A B) 1 p q r
解：令 A=(取到1只正品)，B=(取到1只废品)
P(有 一 只 正 品 的 条 件 下 ，另 一 只 是 废 品) P(B | A) P( AB) P( A)
C
1 M
C1
m m

C
2 M
1

Cm2
C
2 M

C
1 M
C1
m m
CM2 - Cm2

(M m) m M ( M 1) m(m 1)
20. 设元件 E1均为0.3，且
各元件停止工作与否是相互独立的，求系统S停止工作的概率。
解： P(系 统S停 止 工 作) P(3条 支 路 均 停 止 工 作)
P(支 路1停 止 工 作)3
E1
E2
E3
E4
P(支 路1停止 工作)
达目的，都没有
击中目标
0.0576
主机和两架僚机 P 0.8 0.8 0.6 0.6 0.6
到达目的地，都
没有击中目标。 0.13824
P (敌 军 阵 地 没 有 被 击 中) 0.2 0.8 (0.024 0.0576 0.0576 0.13824) 0.421952
E5
E6
1 P(E1正 常 工 作) P(E2正 常 工 作) 1 0.7 0.7
0.51
P(系统S停止工作) 0.513 0.1327
21. 制造某种零件可以采取两种工艺，(1)三道工序，每道工序 出废品的概率分别为0.2，0.1，0.1；(2)两道工序，每道工序出 废品的概率分别为0.2，0.15 。问哪种工艺的废品率低？（两种 工艺中，每道工序是彼此独立的。）
23. 甲乙丙三机床所生产的螺丝钉，分别占总产量的25%、35% 和40%，而废品率分别为5%、4%、2%。从生产的螺丝钉中， 任取一个恰是废品，求它是甲机床生产的概率。
解：令 A1, A2, A3 分别表示甲乙丙三机床，B 表示废品，
根据 Bayes 公式：
P(该 废 品 是 甲 机 床 生 产)
n nr
27. 罐中装有 n 个黑球 r 个红球，随机取出1个球观察颜色，将 球放回后，另外再装入 c 个与取出颜色相同的球，第二次再从 罐中取出1球，求下列诸事件的概率。
解：设 A=“第一次取得黑球”，则 A =“第一次取得红球” 设B=“第二次取得黑球”，则 B =“第二次取得红球”
解：P

1 A44

1 24
5. 将正立方体的表面涂上颜色，然后锯成27个同样大小的正立 方体，混合后从中任取一块，问取得有两面涂上颜色的小立方 体的概率是多少？
解：有两面涂上颜色的小立方体共有12个
P

C112 C217

4 9

0.444
6. 号码锁一共三个圆盘，每一圆盘等分为10个带不同数字 0,1,…,9 的扇面。如果每一圆盘相对锁穴为一固定状态时，则 可打开。求在确定了任意的数字所构成的一个组合的情况下， 能打开锁的概率。