《二次函数》知识点总结一. 二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数.这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c=++的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二. 二次函数的图像和性质表达式(a≠0) a值图像开口方向对称轴顶点坐标增减性最值①y=ax2a＞0 向上y轴（0，0）①当x＞0时，y随x的增大而增大②当x＜0时，y随x的增大而减小当x=0时，y有最小值，即最小值y=0 a＜0 向下y轴（0，0）①当x＞0时，y随x的增大而减小②当x＜0时，y随x的增大而增大当x=0时，y有最大值，即最大值y=0②y=ax2+k a＞0 向上y轴（0，k）①当x＞0时，y随x的增大而增大②当x＜0时，y随x的增大而减小当x=0时，y有最小值，即最小值y=k a＜0 向下y轴（0，k）①当x＞0时，y随x的增大而减小②当x＜0时，y随x的增大而增大当x=0时，y有最大值，即最大值y=k③y=a(x-h)2a＞0 向上直线x=h （h，0）①当x＞h时，y随x的增大而增大②当x＜0时，y随x的增大而减小当x=h时，y有最小值，即最小值y=0 a＜0 向下直线x=h （h，0）①当x＞h时，y随x的增大而减小②当x＜0时，y随x的增大而增大当x=h时，y有最大值，即最大值y=0④y=a(x-h)2+k a＞0 向上直线x=h （h，k）①当x＞h时，y随x的增大而增大②当x＜h时，y随x的增大而减小当x=h时，y有最小值，即最小值y=k a＜0 向下直线x=h （h，k）①当x＞h时，y随x的增大而减小②当x＜h时，y随x的增大而增大当x=h时，y有最大值，即最大值y=k⑤ y=ax 2+bx+c 可化为： y=a(x+)2ab 2+a ＞0 向上直线x=-ab 2（-ab 2，ab ac 442−） ①当x ＞-ab 2时，y随x 的增大而增大②当x ＜-ab 2时，y随x 的增大而减小当x=-ab 2时，y 有最小值，最小值y =a b ac 442−a ＜0向下直线x=-ab2（-ab 2，ab ac 442−） ①当x ＞-a b 2时，y随x 的增大而减小②当x ＜-a b2时，y随x 的增大而增大当x=-ab 2时，y 有最大值，即 y 最大值=ab ac 442−三. 二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =−+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减（自变量），上加下减（常数项）” 温馨提示二次函数图像间的平移可看作是顶点间的平移，因此只要掌握了顶点是如何平移的，就掌握了二次函数图像间的平移.四.二次函数()2y a x h k =−+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =−+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a −⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a −=−=，． 五．二次函数解析式的三种表示方法名称解析式使用范围一般式 )0(2≠++=a c bx ax y已知任意三个点顶点式 )0()(2≠+−=a k h x a y已知顶点（h ，k ）及另一点 交点式)0)()((21≠−−=a x x x x a y 已知与x 轴的两个交点及另一个点温馨提示任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac −≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化，将顶点式、交点式去括号、合并同类项就可转化为一般式，把一般式配方、因式分解就可转化为顶点式、交点式.六．二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a 【a 决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线开口的大小】⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越大，开口越大，a 的值越大，开口越大． 注：|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线开口越大 抛物线的形状相同，即|a|相同.2. 一次项系数b 【由a 和对称轴共同决定】对称轴在y 轴的左侧，a ，b 同号；对称轴在y 轴的右侧，a ，b 异号. （左同右异 b 为0时，对称轴为y 轴） 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．七．二次函数图象（抛物线）与x 轴交点情况的判断：y ＝ax 2+bx+c （a ≠0，a 、b 、c 都是常数）1.△=b ²-4ac ＞0⇔抛物线与x 轴有两个交点2.△=b ²-4ac=0⇔抛物线与x 轴有一个交点3.△=b ²-4ac ＜0⇔抛物线与x 轴没有交点① 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； ②当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．八.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解之间的关系：1.二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象与x 轴交点的横坐标是一元二次方程ax 2+bx+c=0的解.因此利用二次函数图象可求以x 为未知数的一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的解（从图象上进行判断）.2.二次函数y ＝ax 2+bx+c 在x 轴上方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式ax 2+bx+c ＞0的解；在x 轴下方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式ax 2+bx+c ＜0的解.九.二次函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少☆☆二次函数抛物线简单的图形变换☆☆（1）顶点式【k h x a y +−=2)(（a ≠0）】名称 a 顶点（h ，k ） 平移a(h ， k) ↓ ↓左加右减 上加下减对 称关于x 轴对称 -a (h ，-k) 关于y 轴对称 a (-h ，k) 关于原点对称-a (-h ，-k) 旋转（绕顶点旋转180°）-a(h ，k)（2）一般式【c bx ax y ++=2（a ≠0）】①平移：如将二次函数c bx ax y ++=2向右平移m(m ＞0)个单位，再向下平移n （n ＞0）个单位，得到n c bm am x b am ax n c m x b m x a −+−+−−=−+−+−=222)2()()(y ②对称名称 a 、b 、c 的变化 解析式变化关于x 轴对称 a →-a; b →-b; c →-c y=ax ²+bx+c →y=-ax ²-bx-c 关于y 轴对称 a →不变；b →-b ；c →不变 y=ax ²+bx+c →y=ax ²-bx+c关于原点对称a →-a ；b →不变；c →-cy=ax ²+bx+c →y=-ax ²+bx-c注：无论是平移、轴对称还是旋转，最好先把二次函数化成顶点式，然后再根据需要进行求解.二次函数对应练习试题一.选择题1.二次函数247y x x =−−的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2.把抛物线22y x =−向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A.22(1)y x =−+ B.22(1)y x =−− C.221y x =−+ D.221y x =−−3.函数2y kx k =−和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =−时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个 5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ）A.-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 6. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.方程222x x x−=的正根的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为 A. 22y x x =−− B. 22y x x =−++C. 22y x x =−−或22y x x =−++ D. 22y x x =−−−或22y x x =++ 二．填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______.10．已知抛物线y=-2（x+3）²+5，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是_______.11．一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当x ＜0时，函数值y 随自变量x 的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）.12．抛物线22(2)6y x =−−的顶点为C ，已知直线3y kx =−+过点C ，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 .13. 二次函数2241y x x =−−的图象是由22y x bx c =++的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= .14．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB 上离中心M 处5米的地方，桥的高度是 (π取3.14). 三．解答题：15.已知二次函数图象的对称轴是30x +=,图象经过(1,-6),且与y 轴的交点为(0,52−). (1)求这个二次函数的解析式;(2)当x 为何值时,这个函数的函数值为0?(3)当x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大?16.某种爆竹点燃后，其上升高度h （米）和时间t （秒）符合关系式2012h v t gt =−（0<t ≤2），其中重力加速度g 以10米/秒2计算．这种爆竹点燃后以v 0=20米/秒的初速度上升，（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？（2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.第15题图17.如图，抛物线2y x bx c =+−经过直线3y x =−与坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线顶点为D. （1）求此抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上的一个动点，求使APC S ∆：ACD S ∆=5 ：4的点P的坐标。