3n n 4 3一、选择题《数列》单元练习试题1.已知数列{a } 的通项公式a = n 2- 3n - 4 （ n ∈N *），则a 等于（）（A ）1（B ）2 （C ）3 （D ）02. 一个等差数列的第 5 项等于 10，前 3 项的和等于 3，那么（ ） （A ）它的首项是- 2 ，公差是3 （C ）它的首项是- 3 ，公差是2（B ）它的首项是2 ，公差是- 3 （D ）它的首项是3 ，公差是- 23.设等比数列{a n } 的公比q = 2 ，前n 项和为S n ，则 S 4a = （）（A ） 2（B ） 4（C ） 1522（D ） 1724.设数列{a n }是等差数列，且a 2 = -6 ， a 8 = 6 ， S n 是数列{a n }的前n 项和，则（ ）（A ） S 4 < S 5（B ） S 4 = S 5（C ） S 6 < S 5 （D ） S 6 = S 55.已知数列{a } 满足a = 0 ， a = a n -3 （ n ∈N *），则a = （）n（A ） 01（B ） -n +120（C ） （D ） 326.等差数列{a n }的前m 项和为 30，前2m 项和为 100，则它的前3m 项和为（ ）（A ）130（B ）170（C ）210（D ）2607.已知a 1 ， a 2 ，…， a 8 为各项都大于零的等比数列，公比q ≠ 1 ，则（ ）（A ） a 1 + a 8 > a 4 + a 5（C ） a 1 + a 8 = a 4 + a 5（B ） a 1 + a 8 < a 4 + a 5（D ） a 1 + a 8 和a 4 + a 5 的大小关系不能由已知条件确定8.若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列有（ ） （A ）13 项 （B ）12 项 （C ）11 项 （D ）10 项 9. 设{a } 是由正数组成的等比数列，公比q = 2 ，且a ⋅ a ⋅ a ⋅ ⋅ a = 230 ，那么na 3 ⋅ a 6 ⋅ a 9 ⋅⋅ a 30 等于（）1 2 3 30（A ）210 （B ）220 （C ）216 （D ）21510.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：3a n + 1他们研究过图 1 中的 1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 2 中的 1，4，9，16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） （A ）289 （B ）1024 （C ）1225 （D ）1378二、填空题1.． 已知等差数列{a n } 的公差 d ≠ 0 ， 且 a 1 ， a 3 ， a 9 成等比数列， 则a 1 + a 3 + a 9 的值a 2 + a 4 + a 10是．12 ． 等比数列 {a n } 的公比 q > 0 ． 已知 a 2 = 1， a n +2 + a n +1 = 6a n ， 则 {a n } 的前 4 项和S 4 = ．13. 在通常情况下，从地面到 10km 高空，高度每增加 1km ，气温就下降某一固定值．如果 1km高度的气温是 8.5℃，5km 高度的气温是－17.5℃，那么 3km 高度的气温是 ℃．14.设a = 2 ， a = 2， b= ， n ∈N *，则数列{b }的通项公式b = ． 1 n +1 a n + 1n n15.设等差数列{a n } 的前n 项和为S n ，则S 4 ， S 8 - S 4 ， S 12 - S 8 ， S 16 - S 12 成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b }的前n 项积为T，则T ，，， T16 成等比数列．三、解答题nn4T 1216.已知{a n } 是一个等差数列，且a 2 = 1， a 5 = -5 ． （Ⅰ）求{a n } 的通项a n ；（Ⅱ）求{a n } 的前n 项和S n 的最大值．a n+ 2 a n -1 n3a17.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1 ， S 3 ， S 2 成等差数列．（Ⅰ）求{a n }的公比q ；（Ⅱ）若a 1 - a 3 = 3 ，求S n ．18.甲、乙两物体分别从相距 70m 的两处同时相向运动．甲第 1 分钟走 2m ，以后每分钟比前 1 分钟多走 1m ，乙每分钟走 5m ． （Ⅰ）甲、乙开始运动后几分钟相遇？（Ⅱ）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1m ，乙继续每分钟走 5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？19. 设数列{a n }满足a 1 + 3a 2 + 32 a + + 3n -1 a = n ， n ∈N *． 3（Ⅰ）求数列{a n }的通项；（Ⅱ）设b = n，求数列{b }的前n 项和S ．n n nnnn n +1 n20. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1 = 1 ， S n +1 = 4a n + 2 ．（Ⅰ）设b n = a n +1 - 2a n ，证明数列{b n }是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n } 的通项公式．21 ． 已知数列 {a n }中， a 1 = 2 ， a 2 = 3 ， 其前 n 项和 S n 满足 S n +1 + S n -1 = 2S n +1（ n ≥ 2 ，n ∈ N * ）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b = 4n + (-1)n -1⋅ 2a n （为非零整数， n ∈ N * ），试确定的值，使得对任 意n ∈ N * ，都有b > b 成立．1一、选择题《数列》单元测试题 参考答案1．D 2．A 3．C 4．B 5．B 6．C 7．A 8．A9．B10．C二、填空题1311．15 12．13．－4.514． 2n +115． T 8 ， T12162三、解答题⎧a 1 + d = 1 , T 4 T 8⎧a 1 = 3 ,16．（Ⅰ）设{a n } 的公差为 d ，则⎨a + 4d = -5 .解得⎨d = -2 . ⎩ 1 ⎩∴ a n = 3 + (n - 1) ⨯ (-2) = -2n + 5 ．（Ⅱ） S n = 3n +n (n - 1) 2⨯ (-2) = -n 2 + 4n = -(n - 2)2+ 4 ． ∴当 n = 2 时， S n 取得最大值 4． 17．（Ⅰ）依题意，有 S 1 + S 2 = 2S 3 ，∴ a + (a + a q ) = 2(a + a q + a q 2) ，111111 由于 a 1 ≠ 0 ，故2q + q = 0 ， 21 又 q ≠ 0 ，从而 q = - ．2 （Ⅱ）由已知，得 a - a (- 1 )2= 3 ，故 a = 4 ，1 1 21从而 S 4 ⨯[1 - (- 1 )n] = 2 = 8 [1 - (- 1 )n ] ． 1 - (- )3 2 218．（Ⅰ）设n 分钟后第 1 次相遇，依题意，有n (n - 1)2n ++ 5n = 70 ， 2整理，得 n 2+ 13n - 140 = 0 ， 解得 n = 7 ， n = -20 （舍去）． 第 1 次相遇是在开始运动后 7 分钟． （Ⅱ）设n 分钟后第 2 次相遇，依题意，有nn n n 3a 2n +n (n - 1)2+ 5n = 3 ⨯ 70 ， 整理，得 n 2+ 13n - 420 = 0 ， 解得 n = 15 ， n = -28 （舍去）．第 2 次相遇是在开始运动后 15 分钟．19．（Ⅰ）∵ a 1 + 3a 2 + 32 a + + 3n -1a = n ， ①3∴当 n ≥ 2 时， a 1 + 3a 2 + 3 a 3 + + 3n -2a n -1 =n - 1 ． ②3由①－②，得3n -1a = 1 ， a = 1 ． 3 n3n1在①中，令 n = 1，得 a 1 =3． 1 ∴ a n = 3 ， n ∈N ． *（Ⅱ）∵ b = n，∴ b = n ⋅ 3n ，n nn∴ S = 3 + 2⨯ 32 + 3 ⨯ 33+ + n ⋅ 3n ，③∴ 3S = 32+ 2 ⨯ 33+ 3 ⨯ 34+ 由④－③，得2S = n ⋅ 3n +1 - (3 + 32 + 33 ++ n ⋅ 3n +1 ． ④+ 3n ) ，即2S n = n ⋅ 3n +13(1 - 3n) ， 1 - 3∴ S n = (2n - 1)3n +1 4 +3．420．（Ⅰ）由 a 1 = 1 ， S n +1 = 4a n + 2 ，有a 1 + a 2 = 4a 1 + 2 ，∴ a 2 = 3a 1 + 2 = 5 ，∴b 1 = a 2 - 2a 1 = 3 ．∵ S n +1 = 4a n + 2 ，①∴ S n = 4a n -1 + 2 （ n ≥ 2 ），②由①－②，得 a n +1 = 4a n - 4a n -1 ，∴ a n +1 - 2a n = 2(a n - 2a n -1 ) ，∵ b n = a n +1 - 2a n ，∴ b n = 2b n -1 ，n n2 n -n n +1 n 3 1 3 3 1 n n +1 n n n -1 n∴数列{b n }是首项为3 ，公比为2 的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ），得b = a - 2a = 3⋅ 2n -1，∴a n +1 - a n = ，2n +1∴数列 2n 4a1 3 是首项为，公差为 的等差数列， {2n}2 4∴a n = + (n - 1) ⨯ = n - ，2n 2 4 4 4∴ a = (3n - 1) ⋅ 2n -2．21．（Ⅰ）由已知，得(S - S ) - (S - S ) =1 （ n ≥2 ， n ∈ N * ）， 即 a- a = 1 （ n ≥ 2 ， n ∈ N * ），且 a - a = 1，n +1n21∴数列{a n }是以 a 1 = 2 为首项，1为公差的等差数列， ∴ a n = n +1．（Ⅱ）∵ a = n +1，∴ b = 4n+ (-1)n -1⋅ 2n +1 ，要使b> b 恒成立，nnn +1n∴ b n +1 - b n = 4n +1 - 4n + (-1)n⋅ 2n +2 - (-1)n -1⋅ 2n +1 > 0 恒成立，∴ 3⋅ 4n - 3⋅ (-1)n -12n +1 > 0 恒成立，∴ (-1)n -1< 2n -1 恒成立．（ⅰ）当 n 为奇数时，即< 2n -1 恒成立，当且仅当 n = 1时， 2n -1有最小值为1，∴< 1 ．（ⅱ）当 n 为偶数时，即> -2n -1 恒成立，当且仅当 n = 2 时， -2n -1有最大值-2 ，∴> -2 ． ∴ -2 << 1，又为非零整数，则= -1 ．综上所述，存在= -1 ，使得对任意 n ∈ N * ，都有b> b n ．n +1。