Xn
Xn
jri
2
j
D
jaij
2
j
;
i D1
i;j D1
其中 ri 为 A 的特征值.
考试科目：高等代数
微信公众号：Xionger 的数学小屋
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8. n 维实线性空间 V , 对于线性变换 T , 有 kerT n 2 ¤ kerT n 1, 证明: T 至多有 2 个不同 的特征值.
9. 复数域上 An n 的特征值全为 1, 证明: As A.s 1/.
10. 如果 AA D A A, A 为 A 的共轭转置, 证明: A 为正规矩阵等价于
1. 设 n n 矩阵 A D .aij / 满足: aii D i.1 Ä i Ä n/; aj;j C1 D j.1 Ä j Ä n 1/; ak;k 1 D
1.2 Ä k Ä n/, 其余元素均为 0, 求 jAj.
2. 设 B 为 m
n
Hale Waihona Puke 矩阵,且Null.B /
D
fX jBX
D 0; X
2
Rng ; Range.B/
(2) 若
jaii j Ä Xn ˇˇaij ˇˇ;
j D1,i ¤j
则 A 可逆.
4. a1; a2; ; an 为不相同的整数, a1a2 an C 1 不是某个整数的平方, 证明:
f .x/ D .x C a1/ .x C an/ C 1
不能表示成 Q 上两个次数 1 的多项式的乘积.
5. 设 A D .aij / 为 n
浙江大学
2019 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称：高等代数
微信公众号：Xionger 的数学小屋 提供者: 翟汉硕, 董欢
考生须知： 1. 本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟； 2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 ————————————————————————————————————————
n
矩阵,
定义
eA
D
X 1
Ak ; A0 kŠ
D
I,
证明:
ˇˇeAˇˇ
D
etr.A/.
kD0
6. 设 V 为复线性空间, T W V ! V 为自伴随线性变换, b2 < 4c, 证明: T 2 C bT C cT 可逆.
7. 设 A 为负定矩阵, 证明: A 的行列式的绝对值小于等于 A 的主对角元元素绝对值的乘积.
D
˚ B
T
Y
jY
2
Rm«.
证明: Rn D Null.B/ ˚ Range.B/.
3. 设 A D .aij /n n 且 证明:
Di
D
8 < :x
ˇˇˇˇˇˇjx
9
aii j Ä
Xn
ˇˇaij
ˇˇ
= ;
:
j D1,i ¤j
(1) 若 r 为 A 的特征值, 则 r 2 D1 [ D2 [ [ Dn;