1利用基本不等式求最值的类型及方法1解析：y x2(x 1) (x2(x 1)1)芳 1(x 1)-1 〜」1(x1)2 2 2(x 1)、几个重要的基本不等式:① a 2 b 2 2aba 2b 2ab（a 、b R ）,当且仅当a = b 时，"=”号成立;2122(x 1)② a b 2 ab2a b ab（a 、b R ），当且仅当a = b 时，“=”号成立;2当且仅当1)即x 2时，“ 5”号成立，故此函数最小值是 -。

2③ a 3 b 3 c 33abc 3abc ―b 3 33c ( (a 、立；④ a b c 3v abc abc ab 3c (a abc3a 、b 、c R ），当且仅当a = b = c 时，“=”号成b 、c R ）,当且仅当a = b = c 时，“=”号成立• 注：①注意运用均值不等式求最值时的条件：一 “正”、二“定”、三“等”； 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。

通常 要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。

类型n ：求几个正数积的最大值。

例2、求下列函数的最大值：①yx 2(3 2x)(0 x2② y sin xcosx(0 x ) 2② 熟悉一个重要的不等式链: b 22解析：①Q 0x - ,• 32 2x•- y当且仅当 (3 2x)(0x 3 2x 即 x,•• sin x23x x (3 2x) 3 )x x (3 2x) [ ]1 ,231时，“=”号成立，故此函数最大值是 1。

0,cos x 0，则y 0 ,欲求y 的最大值，可先求y 2的最大值。

二、函数 f(x) ax Xb 0）图象及性质 （1）函数f(x) ax b a、 Xb 0图象如图： ⑵函数 f(x) ax ba 、 Xb 0性质： ①值域：（J 2 ab] [2 一ab,)；②单调递增区间：（ 2. 42y sin x cos x当且仅当 故此函数最大值是sin 2x sin 2x coSx 1 2 2 2(sin x sin x 2cosx)21 sin2 x sin 2x 2co^ x3 4「 -------- —)刃.2sin x 2cos x (0tan x 2，即x arctan^^ 时“=”号成立,）;单调递减区间:b ], a ，［(0,,0) •评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。

通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。

类型川：用均值不等式求最值等号不成立。

4x — x 例 3、若 x 、y R ，求 f （x ） （0 x 1）的最小值。

三、用均值不等式求最值的常见类型类型I ：求几个正数和的最小值。

解法一：（单调性法）由函数f(x) Kax - （a 、b 0）图象及性质知，当x （0,1］时，函数x例1、求函数y 1 x 2^（x 1）的最小值。

f （x ） x -是减函数。

证明:x 任取X 2 (0,1]且 0 禺 X 2 1，则f(xjf(X 2)(X 1X 2) (— —)(X 1 X 2)4 匹 为(X 1 X 2)4 ,x-1 X 2 X !X 2X 1X 2••• 0 x 1 x 2 1，二 x-i x 20,x-|X 2 4 X-|X 20,则 f(xj f(X 2) 0f (X i )f (X 2),f(x) X4在（0,1上是减函数。

x故当x 1时，f （x ） x -在（0,1上有最小值5。

X8 28 — sin x XX则有 ・ 2 sin x 12 cos X y 12ycos X解法三：（三角换元法）令解法 （配方法）0 x 1,则有 f(x)则：x 2y $2rsin x cos x 2 2 8csc x 2sec x2 2 28(1 cot x) 2(1 tan x) 10 8cot x22ta n x易知当0 X 1时,2 — 2r X 0且单调递减，则f(x)(X X X ）2 4在（0,1］上也是减函数, f(X )X 4 在（0,1上是减函数，当X 1时，f （X ）X 4 在（0,1上有最小值5。

X 解法三： （拆分法） 4 1 3f (x) x (0 x 1) (x ) 2x x x 10 2 (8cof x) (2tan 2 x)18,易求得x12,此时y 3时“='号成立，故最小值是1&评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法:8 18 1 ____x 2 y （ ）（x 2y ）2 x 2y 8。

原因就是等号成立的条件不一致。

x yY x y类型V:利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。

例5、已知正数x 、y 满足xy x y 3，试求xy 、x y 的范围。

当且仅当X 1时“=”号成立，故此函数最小值是 评析：求解此类问题， 也是较为简洁实用得方法。

类型W:条件最值问题。

要注意灵活选取方法，特别是单调性法具有一般性，配方法及拆分法 解法一：由 x 0, y 0 ,则 xy x y 3 xy 3 x y 2 xy ,即 C xy)22 xy3 0 解得xy 1(舍)或xy 3 ,例4、已知正数X 、y 满足 2y 的最小值。

当且仅当x y 且xy x y 3即x y 3时取“=”号，故xy 的取值范围是［9,）。

解法一：（利用均值不等式） 2y(◎ X1x 16y x 16y )(x 2y) 10 10 2y y xy18,x当且仅当 12,y 3时“=”号成立, 故此函数最小值是1&又 x y 3 xy Q y )2(x y)2 4(x y) 12 0 x y 2(舍)或x y 6,2c 2x x 2y x ■ x 8y X 8 1 X y 2(x 8) 16 8 1X X 由 得 1 yX 8解法二：（消元法） y 16y 1 x 8，则J 1610 2 (X 8)X 810 1& 当且仅当X16二即x 12,此时y 3时“=”号成立,故此函数最小值是18。

当且仅当X y 且xyx y 3 即 xy 3时取“=”号，故X y 的取值范围是［6,解法1二：由X 0,y 0 , xy xy 3(X 1)y x 3知x1 ,则：yX 3，由y 0x 3 0X 1 ,X 1x 1则： X 3 x 2 3x (x 1)2 5(x 1) 4 / 八 4「2 (X 1)45 9 ,xy x(x 1)5x 1 x 1 x 1 x 1x 1当且仅当X 1— （x 0）即X 3，并求得y 3时取“=”号，故xy 的取值范围是［9,）。

x 1x y x = x T x 二 1 （x 1）二 2 2（x 1）\ 2 6, X 1 X 1 X 1X 1耳X 1当且仅当X 1 — （x 0）即X 3，并求得y 3时取“=”号，故xy 的取值范围是［9,）。

x 1评析：解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧。

1x四、均值不等式易错例析： x 4 x 9的最值。

例1.求函数y例3.jx 、x 4R)的最小值。

错解：y 4x92x 13x 361336 xx13 2存乎25错解:因为yx—5Jx 2 4x 241 ■- x2 422 i x ll所以y min 2x 36即x 6时取等号。

所以当 x分析：上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了应用均值不等式求最值时的条件导致错误。

x 4 x 9 因为函数y % 4 % 9的定义域为 当且仅当 6时，y 的最小值为25,此函数没有最大值。

分析: 忽视了取最小值时须 成立的条件, 4而此式化解得x 23，无解，所，所以须对x 的正负加以分类讨论。

以原函数y 取不到最小值2。

正解: 1)当x 0时,y 1336132 x 36 25正解：令t . x 24 t2，则y1t -(t 2)例2. 错解: 分析: 当且仅当x又因为t1时，y)当x 0时,13 [( x)当且仅当 当x 0时，求6时取等号。

360, x所以当6 时，y min 25362.36 x ——12x例4.已知x, y蜀]13 12 x错解：1- xxy36，即x 6时取等号，所以当x7 4xx 29的最小值。

6时,y max 13 12 1.4X -92x 2 4x 92 \ x-x1」是递增的。

所以当t 2，即xt1，求u x y 的最小值、xy 4 , u x y 2 xy分析：解题时两次运用均值不等式，但取等号条件分别为时成立，故取不到最小值 8.正解：u (x y时,ymin8,u 的最小值为8.y ，而这两个式子不能同9 所以当且仅当4x 2即 x 39时' ■- 4 6¥ min23 18。

当且仅当3,y 6时等号成立. 的最小值为9.用均值不等式求“和”或“积” 9 而上述解法中4x 与- x 的最值时， 必须分别满足 “积为定值”或“和为定值”，的积不是定值，导致错误。

正解：因为x 0，y 4x 2x 2x 2x 9x 233 36综上所述，应用均值不等式求最值要注意：一要正：各项或各因式必须为正数；二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或 子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。

“积为定值”的式 9当且仅当2x时等号成立，所以当2严时，ymin33 36。

技巧一：凑项例1 ：已知x -，求函数y 4X 21的最大值。

44x 5解：因4x 5 0,所以首先要“调整”符号，又 (4x 2)J 不是常数，所以对4x 2要进行 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时， 要注意取等号的条件的一致性 否则就会出错。

拆、凑项，Q x -, 5 4x 0, y 4x 2 15 4 4x 5 1 1 ，即x 1时，上式等号成立，故当 5 4x 当且仅当5 4x 技巧二：凑系数 例2.当时，求y 解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值, 值，故只需将y x(8x(8 2x)的最大值。

2x)凑上一个系数即可。

4x 丄32 5 4x3 1,12:已知x 0, y 0，且一x -1，求 x yy 的最小值。

1时, 注意到 ymax 1。

2x (8 2x) 8为定当，即x = 2时取等号 技巧三：分离 x 27x 例3.求y -一竺x 1 当x =2时，y x(8 2x)的最大值为 2(x 1)的值域。

解：本题看似无法运用基本不等式, 不妨将分子配方凑出含有( 8。