利用基本不等式求最值的技巧
在运用基本不等式ab b a 222≥+与2b a ab +≤
或其变式解题时,要注意如下技巧 1：配系数
【例1】已知2
30<<x ，求)23(x x y -=的最大值. 【分析】按照“和定积最大”的思路，由于)23(x x -+不是定值，所以应把x 配出系数2成为x 2，使得3)23(2=-+x x 为定值. 【解】由于2
30<
<x ，所以023>-x ,从而 8
9)2232(21)]23(2[21)23(2=-+⨯≤-=-=x x x x x x y ，当且仅当)23(2x x -=即43=x 时，8
9max =y . 说明:这里运用了2)2(b a ab +≤. 2:添加项
【例2】已知23>x ，求3
22-+=x x y 的最小值. 【分析】按照“积定和最小”的思路，由于322-⨯
x x 不是定值，所以应把x 变凑成23)32(21+-x ,使得13
22)32(21=-⨯-x x 为定值. 【解】由于2
3>x ,所以032>-x ,于是 2
723322)32(21223322)32(21322=+-⨯-≥+-+-=-+=x x x x x x y , 当且仅当322)32(21-=-x x 即25=x 时，2
7min =y . 3:分拆项
【例3】已知2>x ，求2
632-+-=x x x y 的最小值. 【分析】按照“积定和最小”的思路，必须把2
632-+-=x x x y 分拆成两项,再配凑适当的系数,使得其积为定值.
【解】由于2>x ,所以,
3124)2(2124)2(2)2(3)22(26322=+-⨯-≥+-+-=---+-=-+-=x x x x x x x x x x y 当且仅当2
42-=-x x 即4=x 时，3min =y . 4:巧用”1”代换
【例4】已知正数y x ,满足12=+y x ,求y
x 21+的最小值. 【解】注意到844244)21()2(21=+⨯≥++=+⨯+=+x
y y x x y y x y x y x y x ,当且仅当x y y x =4即2
1,41==y x 时，8)21(min =+y x . 一般地有,2)())((bd ac y
d x c by ax +≥++,其中d c b a y x ,,,,,都是正数.这里巧妙地利用”1”作出了整体换元,从而使问题获得巧解.
【例5】已知正数z y x ,,满足1=++z y x ，求z
y x 941++的最小值. 【解】注意到y z z y x z z x x y y x z y x z y x z y x 499414)941()(941++++++=++⨯++=++ 36492924214=⨯+⨯+⨯+≥y
z z y x z z x x y y x ,当且仅当x y y x =4,x z z x =9,y z z y 49=即2
1,31,61===z y x 时，36)941(min =++z y x . 5:换元
【例6】已知c b a >>,求c
b c a b a c a w --+--=的最小值. 【解】设c b y b a x -=-=,,则c a y x -=+,y x ,都是正数,所以42≥++=+++=x y y x y y x x y x w ,当且仅当x
y y x =即b c a 2=+时，
c
b c a b a c a w --+--=取到最小值是4. 说明:换元的目的是为了简单化与熟悉化,如果利用整体思想也可以不换元.
【例7】已知1->x ,求8
512+++=x x x y 的最大值. 【解】设t x =+1,则0>t ,713
4213418)1(5)1(2=+≤++=+-+-=
t t t t t y ,当且仅当t t 4=即1,2==x t 时，7
1max =y . 说明:这里如果不换元,则运算不是很方便.
6:利用对称性
【例8】已知正数z y x ,,满足1=++z y x ，求121212+++++z y x 的最大值.
【分析】由于条件式1=++z y x 与结论式121212+++++z y x 都是关于正数
z y x ,,轮换对称的,故最大值必然是当31=
==z y x 时取到,这时3
5121212=+=+=+z y x ,从而得到下面证明思路与方向 【解】利用基本不等式b a ab +≤2得351235)12(2++≤⨯
+x x , 351235)12(2++≤⨯+y y ,3
51235)12(2++≤⨯+z z ,以上三式同向相加得1053)(235
)121212(2=++++≤+++++z y x z y x ,所以化简得
15121212≤+++++z y x ,所以当且仅当31=
==z y x 时121212+++++z y x 取到最大值15.
一般地,如果条件式与结论式都是关于各个元素轮换对称的,则最值必定是在各个元素相等时取到.利用这一思想往往可给解题者提供解题的方向与思路.
7:直接运用化为其它
【例9】已知正数b a ,满足3++=b a ab ,求ab 的取值范围.
【分析】由于条件式3++=b a ab 含有b a ab +,,它们都在2b a ab +≤
式中出现,故可直接运用基本不等式转化为待求式的关系式后再求.
【解】利用基本不等式b a ab +≤2得323+≥++=ab b a ab ,令ab t =,则得0322≥--t t ,所以0)1)(3(≥+-t t ,由于0>t ,所以3≥t 即9≥ab ,故ab 的取值范围是),9[+∞.
（注：素材和资料部分来自网络，供参考。

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