第23卷第4期 齐 齐 哈 尔 大 学 学 报 Vol.23,No.4 2007年7月 Journal of Qiqihar University July,2007n 阶幂零矩阵的判别及构建吴险峰（齐齐哈尔大学理学院，黑龙江 齐齐哈尔 161006）摘要：利用幂零矩阵的特征值、特征多项式、相似性等性质，给出构建幂零矩阵的几种方法。

关键词：幂零矩阵；严格三角形矩阵；主子式中图分类号：O151.21 文献标识码：A 文章编号：1007-984X(2007)04-0072-04对于有限维的线性空间，在给定基下线性变换与矩阵有着一一对应关系, 而线性变换是比较抽象的，不如矩阵容易理解，因此总是借助于矩阵来研究有限维线性空间的线性变换。

幂零变换是一种特殊的线性变换，有许多特殊的性质可以利用，但除了用定义外，怎样判定所给的线性变换是否为幂零变换，又如何构建幂零变换。

因为在有限维的线性空间中，幂零变换对应着幂零矩阵，由此幂零矩阵的判定和构建是解决这一问题的关键。

因此本文给出了n 阶幂零矩阵的判定方法和构建方法。

文中所指的矩阵均为数域F 上的矩阵，数均为数域F 上的数。

1 幂零矩阵的判别引理1 n 阶矩阵A 是幂零矩阵，当且仅当A 的所有特征根都是零。

引理2 设n 阶矩阵)(ij a A =的特征多项式为n n n n A b x b x b x A xI x f ++++=−=−−111)("则k b 为A 的一切k 阶主子式的和乘以k )1(−，n k ,,2,1"=，即∑≤<<≤−=ni i ii ii ii ii i i i i ii ii ii kk k kk k k kka a a a a a a a ab ""####""12122212121111)1(定理1 数域F 上n 阶矩阵A 为幂零矩阵，当且仅当A 的一切k (n k ,,2,1"=)阶主子式之和为零。

证必要性：设)(ij a A =，则由引理2有n n n n A b x b x b x A xI x f ++++=−=−−111)("其中系数k b 为A 的一切k 阶主子式的和乘以k )1(−，n k ,,2,1"=，即∑≤<<≤−=ni i ii ii ii ii i i ii ii ii ii kk k kk k k kka a a a a a a a ab ""####""12122212121111)1(收稿日期：2006-11-23基金项目：黑龙江省教育厅科研项目（11521313）作者简介：吴险峰（1970-），女，黑龙江省拜泉县人，副教授，大学本科，现主要从事李代数及李超代数，E-mail：wuxianfenglaoshi@。

第4期 n 阶幂零矩阵的判别及构建 ·７３·　已知A 为幂零矩阵，则n A x x f =)(，所以有021====n b b b "，从而A 的一切k (n k ,,2,1"=)阶主子式之和为零。

充分性：已知A 的一切k (n k ,,2,1"=)阶主子式的和为零，由引理2，021====n b b b ",于是, n A x x f =)(，则A 的特征根都为零，由引理1知A 为幂零矩阵，至此定理1得证。

因为严格三角形矩阵的一切k 阶主子式的和为零，故严格上(下)三角形矩阵为幂零矩阵。

推论1 数域F 上的二阶矩阵A 为幂零矩阵的充要条件是A 的一切k (2,1=k )阶主子式之和为零。

推论2 数域F 上的三阶矩阵A 为幂零矩阵的充要条件是A 的一切k (3,2,1=k )阶主子式之和为零。

定理2 数域F 上n 阶矩阵A 为幂零矩阵，当且仅当A 与严格上(下)三角形矩阵相似。

由引理1不难证明定理2。

证略。

2 幂零矩阵的构建方法1 利用定理1的充分性，特别适合二，三阶幂零矩阵的构建。

二阶矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=22211211a a a a A 为幂零矩阵的充要条件是02211=+a a ，且0=A ，即主对角元之和等于零，且它的两行(或列)成比例。

例1 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=52515A ，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=2212B ，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=0010C 都是二阶的幂零矩阵。

三阶矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333231232221131211a a aa a a a a a A 为幂零矩阵的充要条件是0332211=++a a a ，−+−331121122211a a a a a a 0322333223113=−+a a a a a a ，且0=A ，即A 的主对角元之和为零，主对角线两元素乘积之和等于所有位置关于主对角线对称的两元素乘积之和，且0=A 。

例2 ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=011022212A ，⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=2521342121021252B 都是三阶的幂零矩阵。

方法2 利用定理2的充分性，特别适合三阶以上的幂零矩阵的构建。

由定理2知，与严格三角形矩阵相似的矩阵就是幂零矩阵，因此由相似矩阵可以构建新的幂零矩阵。

众所周知，可逆矩阵是初等矩阵的乘积，故可逆矩阵P 可取为各种初等矩阵或初等矩阵之积。

例3 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=0000100001000010A 是严格上三角形矩阵，故A 是幂零矩阵，取⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=8811441122111111P ，求得·７４· 齐 齐 哈 尔 大 学 学 报 2007年⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−−=−12121212228822881211P ，因此 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−−==−1681181611323221432321421211AP P B 也是幂零矩阵。

定理3 若A 是幂零矩阵, 1）则)(,+∈Z k A A k λ也是幂零矩阵；2）若P 为可逆矩阵，则AP P 1−也是幂零矩阵。

证略。

定理4 设A ，B 为n 阶幂零矩阵，若BA AB =，则B A +，AB 为幂零矩阵。

证 已知A ，B 为n 阶幂零矩阵，设它们的幂零指数分别为21,k k 。

1）取21k k m +=，由于BA AB =，则有()m m m m m m m mk kk m k m m B AB C B A C A BA CB A ++++==+−−−=−∑11110"当2k k <时， 1k k m >−，从而0=−k m A ，推出0=−k k m k m B A C ；当2k k ≥时，显然有0=k B ，推出0=−kk m k m B A C ,所以()0=+mB A ，即B A +为幂零矩阵。

2）取{}21,max k k m =，由于BA AB =，则有()0==m m mB A AB ，即AB 为幂零矩阵。

方法3 在前2种方法的基础上，利用定理3和定理4可以构建新的幂零矩阵。

定理3说明：给定一个幂零矩阵，那么它的数乘阵和方幂还是幂零矩阵；或者只要给出一个可逆矩阵,由已知的幂零矩阵就可以构建新的幂零矩阵。

定理4说明：两个同阶的幂零矩阵相乘可换，那么它们的和、差、乘积仍为幂零矩阵。

例4 取例2中的幂零矩阵A ，则⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=2104204202A 是幂零矩阵。

取)1(100010101131T P =⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=−10001010111P ； 取⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=2103200012P , 显然⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=−21032000112P ，于是⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−==−111222101111AP P A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−==−1284211471022122AP P A 都是幂零矩阵。

由例3可知，⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−−=16811816113232214323214212B 也是幂零矩阵。

例5设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=0000100021003210A ，⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=0000500045003450B ，易证BA AB =，从而⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=+0000600066000660B A ，⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=00000000500014500AB 都是幂零矩阵。

第4期 n阶幂零矩阵的判别及构建 ·７５·　参考文献[1] 张禾瑞，郝鈵新. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社，1997：182-206.[2] 杨子胥. 高等代数习题解 （下册）[M]. 济南：山东科技出版社，1982：836-866.Diagnosis and build about nilpotent matrix of n-orderWU Xian-feng（Science College，Qiqihar University，Heilongjiang Qiqihar 161006，China）Abstract: This article gives some methods of constructing a nilpotent matrix by characteristic value，characteristic polynomial，similarity nature about it.Key words:niloptent matrix；strictly triangular matrix；principal minorSHW4.2-0.7/95/70-AⅡ型锅炉改造讷河市供热处一台SHW4.2-0.7/95/70- AⅡ型锅炉，长期处于出力不足、热效率低的状态，锅炉实际运行远达不到设计的额定参数，而且锅炉的排烟浓度超标，燃料燃烧不彻底，即浪费能源又污染环境，又给冬季供热带来很大困难。

1 原因分析该锅炉运行时，作者对炉膛进行测试，温度最高达到680℃左右且炉膛内烟气没有扰动现象，预燃区的煤层过长，主燃区燃烧不彻底，炉膛里的烟气中未燃物与空气混合不良增加了烟气中不完全燃烧损失，导致锅炉热效率低，排烟浓度超标，其原因是前后拱布置不合理，前拱过高而后拱短覆盖率低起不到助燃的作用。

炉拱在层燃炉中的主要作用就是引燃、保温和强化燃料气体挥发份的燃烧，炉拱的优劣对锅炉的效率和出力具有决定性作用，炉拱由前、后拱组成，前拱又称引燃拱，主要作用是将热量辐射到新燃料层上，使燃料被加热引燃，前拱的形状应使火焰的热量尽可能多的辐射煤层，提高其温度，强化传热使预燃区煤及时着火。