幂零矩阵性质及应用数本041 严益水 学号：410401109摘要：幂零矩阵是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中有重要的作用。

它具有一些很好的性质。

本文从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质。

幂零矩阵与若当形矩阵结合可得一个很好性质，在解相关矩阵问题有很好作用，由此我们举例说明，从例子中发现了问题并对此问题进行思考得出了一些结论，对幂零矩阵的研究很有意义。

在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文最后利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法。

关键词：幂零矩阵 若当块 特征值 幂零指数 一、 预备知识（下面的引理和概念来自《高等代数解题方法与技巧》 李师正 高等教育出版社、《高等代数》（第二版） 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等教育出版社、 《高等代数选讲》 陈国利 中国矿业大学出版社及《高等代数习题集》（上册） 杨子胥 山东科学技术出版社）（一） 一些概念1、令A 为n 阶方阵，若存在正整数k ，使0k A =，A 称为幂零矩阵。

2、若A 为幂零矩阵，满足0k A =的最小正整数称为A 的幂零指数。

3、设1111n n nn a a A a a ⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭，称1111n nnn a a A a a ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭为A 的转置， 称111*1n nnn A A A A A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭为A 的伴随矩阵。

其中(,1,2,,)ij A i j n =为A 中元素ij a 的代数余子式4、设A 为一个n 阶方阵，A 的主对角线上所有元素的和称为A 的迹，记为trA 。

5、主对角线上元素为0的上三角称为严格的上三角。

6、形为010(,)000001J t λλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵称为若当块，其中λ为复数，由若干个若当块组成和准对角称为若当形矩阵。

7、()f E A λλ=-称为矩阵A 的特征多项式。

满足()0f E A λλ=-=的λ的值称为矩阵A 的特征值。

8、次数最低的首项系数为1的以A 为根的多项式称为A 的最小多项式。

（二）、一些引理引理1：设A ，B 为n 阶方阵，则()()***,AB B A AB B A '''==引理2：(),()A f E A m λλλ=-分别为矩阵A 的特征多项式和最小多项式，则有()0,()0A f A m A ==。

引理3：每一个n 阶的复矩阵A 都与一若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去若当块的排序外被矩阵A 唯一决定的，它称为A 的若当标准形。

引理4：若当形矩阵的主对角线上和元素为它的特征值。

引理5：n 阶复矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是A 和最小多项式无重根。

引理6：相似矩阵具有相同的特征值。

引理7：设12,,,n λλλ为n 阶矩阵A 的特征值，则有12n trA λλλ=+++，12n A λλλ=⋅⋅，且对任意的多项式()f x 有()f A 的特征值为12(),(),,()n f f f λλλ。

引理8：k 阶若当块11k a J a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的最小多项式为()k x a -且有()0k k J aE -=。

引理9：矩阵匠最小多项式就是矩阵A 的最后一个不变因子。

引理10：A ，B 为n 阶复数域上的矩阵，若AB BA =，则存在可逆矩阵T ，使得112211n n T AT T BT λμλμλμ--⎛⎫⎛⎫⎪⎪**⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

引理11：任意n 阶A ，B 方阵，有()()tr AB tr BA =。

二、 幂零矩阵的性质（下面的性质来自《高等代数解题方法与技巧》 李师正 高等教育出版社、《高等代数》（第二版） 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等教育出版社、《高等代数选讲》 陈国利 中国矿业大学出版社、《高等代数习题集》（上册） 杨子胥 山东科学技术出版社、《关于幂零矩阵性质的探讨》 谷国梁 铜陵财经专科学校学报、《幂零矩阵的性质及应用》 韩道兰 罗雁 黄宗文 玉林师范学院学报并综合归纳得出关于幂零矩阵的十一条性质） 性质1：A 为幂零矩阵的充分必要条件是A 的特征值全为0。

证明：⇒A 为幂零矩阵 k Z +∴∃∈ .0k s tA =令0λ为A 任意一个特征值，则00,.s t A ααλα∃≠= 由引理7知，0k λ为k A 的特征值 00.k k s t A ββλβ∴∃≠= 从而有0k λ=0即有00λ=又有0k A =，知00kk A A A ==⇒= 0*(1)(1)00k k E A A A ∴-=-=-=-⋅= 00λ∴=为A 的特征值。

由0λ的任意性知，A 的特征值为0。

⇐A 的特征值全为0A ∴的特征多项式为()n f E A λλλ=-= 由引理2知，()0n f A A == 所以A 为幂零矩阵。

得证 性质2：A 为幂零矩阵的充分必要条件为0k k Z trA +∀∈=。

证明：⇒A 为幂零矩阵，由性质1，知：A 的特征值全为0 即120n λλλ====由引理7，知 k A 的特征值为120k k k n λλλ====从而有 120k k k k n trA λλλ=+++=⇐由已知，120k k k k n k Z trA λλλ+∀∈=+++=(1.1)令12,,,t λλλ为A 的不为0的特征值且i λ互不相同重数为(1,2,,)in i t =由（1.1）式及引理7，得方程组11222221122333112211220000t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪⎪+++=⎩(1.2)由于方程组（1.2）的系数行列式为122221212121212121111()t t t tttttttt t t i j j i tB λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤===∏-又(1,2,)ii t λ=互不相同且不为0，0B ∴≠从而知，方程（1.2）只有0解，即0(1,2,,)i n i t ==即A 没有非零的特征值A ∴的特征值全为0， 由性质1，得 A 为幂零矩阵 得证性质3：若A 为幂零矩阵，则A 的若当标准形J 的若当块为幂零若当块，且J和主对角线上的元素为0证明：A 为幂零矩阵， 由性质1，知 A 的特征值全为0 由引理3，知 在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得121s J J T AT J -⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中11i i i J λλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s =由引理4，知(1,2,,)i i s λ=为J 和特征值又A 与J 相似，由引理6，知A 与J 有相同的特征值 所以0(1,2,,)i i s λ== 即J 的主对角线上的元素全为0由引理8，知 (0)()0(1,2,,)i i n n i i J E J i s -===12,,,s J J J 为幂零矩阵 得证性质4：若A 为幂零矩阵，则A 一定不可逆但有1,1A E E A +=-= 证明：A 为幂零矩阵，k Z +∴∃∈ .0k s tA =00kk A A A ∴==⇒= A 一定不可逆由性质1，得 A 的特征值为120n λλλ====由引理7，得,A E E A +-的特征值分别为1212011,101n n λλλλλλ'''''''''====+=====-=且有1211n n A E λλλ'''+=== 1211n n E A λλλ''''''-===即1,1A E E A +=-= 得证 性质5：若A E +为幂零矩阵，则A 非退化 证明：令12,,,n λλλ为A 的特征值若A 退化，则有 0A = 由引理7，得 120n A λλλ==∴至少存在0i λ=0为A 的特征值又由引理7，得 0110i λ+=≠为A E +的一特征值这与A E +为幂零矩阵矛盾 得证A 为非退化性质6：若A 为幂零矩阵，B 为任意的n 阶矩阵且有AB BA =，则AB 也为幂零矩阵 证明：A 为幂零矩阵 .0k k Z s tA +∴∃∈=又AB BA = ()00k k k k AB A B B ==⋅= AB ∴也为幂零矩阵 得证性质7：若A 为幂零矩阵且0k A =，则有121()k E A E A A A ---=++++1211231111()(1)(0)k k k mE A E A A A m m m mm---+=-+++-≠ 证明：0k A = k k k E E A E A ∴=-=-21()()k E A E A A A -=-++++即121()k E A E A A A ---=++++任意0m ≠，有[()]k k k k kA mE mE A mE A m E m∴=+=+=+ 211121111()((1))k k k A m E E A A A m m mm ---=+-+++-211121111()((1))k k k mE A E A A A m m m---=+-+++- 即有2111211111()((1))k k k mE A E A A A E m m mm---+⋅-+++-=1211121211231111()((1))111(1)k k k k k k mE A E A A A m m m mE A A A m m m m------∴+=-+++-=-+++-性质8：若A 为幂零矩阵且A 0≠，则A 不可对角化但对任意的n 阶方阵B ，存在幂零矩阵N ，使得B N +可对角化 证明：A 为幂零矩阵 .0k k Z s tA +∴∃∈=且A 的特征值全为零()n f E A λλλ=-=为A 的特征多项式且()0n f A A ==令()A m λ为A 的最小多项式，则有()|()A m f λλ 从而有00()(1)k A m k n λλ=≤≤由于0A 0,k 1≠∴>，又此时 00()2k A m k λλ=≥即A 的最小多项式有重根，由引理5，知 A 不可对角化 B 为n 阶方阵 由引理3，知 在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得121s J J T BT J -⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中11i i i J λλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s =令 i ii i D λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s =则有0110i i i J J D ⎛⎫ ⎪⎪'=-= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s =由引理8，知(0)()0i i i n n i n i J E J ''-⋅== 即i J '为幂零矩阵(1,2,,)i s =现令12s J J J J ⎛⎫' ⎪ ⎪''= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭12s D D D D ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1112122s s s J D J J J D T BT J D J J D -⎛⎫'+⎛⎫ ⎪⎪ ⎪'+⎪'===+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭'+⎝⎭即111()(1)B T J D T TJ T TDT ---''=+=+又D 为对角阵，由（1）式知 11B TJ T TDT --'-=可对角化 令N =1TJ T -'- 且取 12max(,,,)s k n n n = 则有120k kkk s J J J J ⎛⎫' ⎪ ⎪''==⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭111112()()()()()00kkk k k k kk k s J J N TJ T T J TT T T T J ----⎛⎫' ⎪ ⎪'''=-=-=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭即有B N +可对角化且N 为幂零矩阵 得证性质9：n 阶幂零矩阵的幂零指数小于等于n 且幂零指数等于其若当形矩阵中阶数最高的若当块的阶数证明；令A 为n 阶幂零矩阵 由性质3知， 存在可逆矩阵T 使得121s J J T AT J -⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中0110i J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s =且()0i n i J = 1(1,2,,)i n n i s ≤≤=取12max(,,,)s k n n n =，则k n ≤ 且有1121112()00(1.5)k kkk k s s J J J J A T T T T T T J J ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪===⋅⋅= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即0k A =若令0k 为A 的幂零指数，则0k k n ≤≤ 00k A = 若0k k <，则000.i i s t n k ∃> 且000k i J ≠由（1.5）式，得0000112112()0k k k k k s s J J J J A T T T T J J --⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪==≠ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭这与00k A =矛盾。