习题8
8-1 质量为10×10－
3 kg 的小球与轻弹簧组成的系统，按20.1cos(8)3
x t π
π=+
(SI)的规律做谐振动，求：
(1)振动的周期、振幅、初位相及速度与加速度的最大值；
(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等？ (3)t 2＝5 s 与t 1＝1 s 两个时刻的位相差. 解：(1)设谐振动的标准方程为)cos(0φω+=t A x ，则知：
3/2,s 4
1
2,8,m 1.00πφωπ
πω===
∴==T A 又 πω8.0==A v m 1
s m -⋅ 51.2=1
s m -⋅
2.632==A a m ω2s m -⋅
(2) N 63.0==m m a F
J 1016.32
122
-⨯==
m mv E J 1058.121
2-⨯===E E E k p
当p k E E =时，有p E E 2=， 即
)2
1(212122kA kx ⋅= ∴ m 20
2
22±=±
=A x (3) ππωφ32)15(8)(12=-=-=∆t t
8-2 一个沿x 轴做简谐振动的弹簧振子，振幅为A ，周期为T ，其振动方程用余弦函数表出.如果t ＝0时质点的状态分别是：
(1)x 0＝－A ；
(2)过平衡位置向正向运动；
(3)过2A
x =
处向负向运动； (4)过
x =处向正向运动.
试求出相应的初位相，并写出振动方程.
解：因为 ⎩⎨⎧-==00
0sin cos φωφA v A x
将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有
)2cos(1ππ
π
φ+==t T A x
)23
2cos(2
32πππφ+==t T A x
)32cos(3
3π
ππ
φ+==t T A x
)4
5
2cos(4
54πππφ+==
t T A x
8-3 一质量为10×10－
3 kg 的物体做谐振动，振幅为2
4 cm ，周期为4.0 s ，当t ＝0时位移为＋24 cm.求：
(1)t ＝0.5 s 时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到x ＝12 cm 处所需的最短时间； (3)在x ＝12 cm 处物体的总能量. 解：由题已知 s 0.4,m 10242
=⨯=-T A ∴ 1s rad 5.02-⋅==ππ
ωT
又，0=t 时，0,00=∴+=φA x 故振动方程为
m )5.0cos(10242t x π-⨯=
(1)将s 5.0=t 代入得
0.17m m )5.0cos(102425.0=⨯=-t x π
N
102.417.0)2
(10103
23
2--⨯-=⨯⨯⨯-=-=-=π
ωx
m ma F
方向指向坐标原点，即沿x 轴负向． (2)由题知，0=t 时，00=φ，
t t =时 3
,0,20πφ=<+
=t v A x 故且 ∴ s 3
2
2/3==∆=ππωφt
(3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为
J
101.7)24.0()2(10102121
214223222--⨯=⨯⨯⨯===
π
ωA m kA E
8-4 有一轻弹簧，下面悬挂质量为1.0 g 的物体时，伸长为4.9 cm.用这个弹簧和一个质量为8.0 g 的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0 cm 后，给予向上的初速度v 0
＝5.0 cm·s －
1，求振动周期和振动表达式. 解：由题知
12
311m N 2.010
9.48
.9100.1---⋅=⨯⨯⨯==x g m k 而0=t 时，-1
2020s m 100.5m,100.1⋅⨯=⨯-=--v x ( 设向上为正)
又 s 26.12,510
82.03===⨯==
-ωπωT m k 即 m
102)5100.5()100.1()(
2222
22
2
0---⨯=⨯+⨯=+=∴
ω
v x A
4
5,15100.1100.5tan 0
22000π
φωφ==⨯⨯⨯=-=--即x v ∴ m )4
5
5cos(1022π+⨯=
-t x
8-5 题8-5图为两个谐振动的x －t 曲线，试分别写出其谐振动方程.
题8-5图
解：由题8-5图(a)，∵0=t 时，s 2,cm 10,,2
3
,0,0000===∴>=T A v x 又πφ 即 1s rad 2-⋅==
ππωT
故 m )2
3
cos(
1.0ππ+=t x a 由题8-5图(b)∵0=t 时，3
5,0,2000π
φ=∴>=v A x
01=t 时，2
2,0,0111π
πφ+
=∴<=v x
又 ππωφ2
535
11=
+⨯=
∴ πω6
5=
故 m t x b )3
565cos(
1.0ππ+=
8-6 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为0.20 m ，位相与第一振动的位相差为
6
π
，已知第一振动的振幅为0.173 m ，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的位相差.
题8-6图
解：由题意可做出旋转矢量图如下． 由图知
01
.02/32.0173.02)2.0()173.0(30cos 222122122=⨯⨯⨯-+=︒
-+=A A A A A ∴ m 1.02=A 设角θ为O AA 1，则
θcos 2212
2212A A A A A -+=
即 0
1
.0173.02)02.0()1.0()173.0(2cos 2
222122
221=⨯⨯-+=
-+=A A A A A θ 即2
π
θ=
，这说明，1A 与2A 间夹角为
2π，即二振动的位相差为2
π
.
8-7 试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：
(1)125cos(3),375cos(3);3x t cm x t cm ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (2)12
5cos(3),345cos(3).3x t cm x t cm ππ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
解： (1)∵ ,23
3712ππ
πφφφ=-=
-=∆ ∴合振幅 cm 1021=+=A A A
(2)∵ ,3
34ππ
πφ=-=
∆ ∴合振幅 0=A
8-8 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为
120.4cos(2),6
50.3cos(2).6x t m x t m ππ⎧
=+⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振幅和初相，并写出谐振动方程. 解：∵ πππ
φ=--=
∆)6
5
(6 ∴ m 1.021=-=A A A 合
336
5cos
3.06cos
4.065sin
3.06sin
4.0cos cos sin sin tan 22122211=+-⨯=
++=πππ
π
φφφφφA A A A ∴ 6
π
φ=
其振动方程为
m )6
2cos(1.0π
+=t x
(作图法略)。