第8章 稳恒磁场 习题及答案6. 如图所示，AB 、CD 为长直导线，C B为圆心在O 点的一段圆弧形导线，其半径为R 。

若通以电流I ，求O 点的磁感应强度。

解：O 点磁场由AB 、C B、CD 三部分电流产生，应用磁场叠加原理。

AB 在O 点产生的磁感应强度为01 BC B在O 点产生的磁感应强度大小为R I B 402 RIR I 123400 ，方向垂直纸面向里CD 在O 点产生的磁感应强度大小为)cos (cos 421003 r IB)180cos 150(cos 60cos 400R I)231(20 R I ，方向垂直纸面向里 故 )6231(203210R I B B B B ，方向垂直纸面向里 7. 如图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的A ，B 两点，并在很远处与电源相连。

已知圆环的粗细均匀，求环中心O 的磁感应强度。

解：圆心O 点磁场由直电流 A 和 B 及两段圆弧上电流1I 与2I 所产生，但 A 和 B 在O 点产生的磁场为零。

且21221R R I I 电阻电阻 1I 产生的磁感应强度大小为）（24101RI B ，方向垂直纸面向外 2I 产生的磁感应强度大小为RIB 4202 ，方向垂直纸面向里 所以， 1)2(2121I I B B 环中心O 的磁感应强度为0210 B B B8. 如图所示，一无限长载流平板宽度为a ，沿长度方向通过均匀电流I ，求与平板共面且距平板一边为b 的任意点P 的磁感应强度。

解：将载流平板看成许多无限长的载流直导线，应用叠加原理求解。

以P 点为坐标原点，垂直载流平板向左为x 轴正方向建立坐标系。

在载流平板上取dx aIdI，dI 在P 点产生的磁感应强度大小为x dI dB 20 dx axI20 ，方向垂直纸面向里P 点的磁感应强度大小为a b b x dx a I dB B 20bab a I ln 20方向垂直纸面向里。

9. 如图所示，真空中有两个点电荷A ,B ,分别带有电量q 和q ，相距为d 。

它们都以角速度 绕轴'OO 转动，轴'OO 与AB 连线相互垂直，其交点为C ，距A 点为3d。

求C 点的磁感应强度。

解：q 电荷运动形成电流大小为21q T q I1I 在C 点产生的磁感应强度大小为3/2210101d I R I B dq430方向沿O O 方向同理，q 电荷运动形成电流的电流2I 在C 点产生的磁感应强度大小为3/22202d I Bdq830方向沿O O 的反方向所以，C 点的磁感应强度大小为21B B B dq830方向沿O O 方向10. 已知磁感应强度大小0.2 B Wb ·m -2的均匀磁场，方向沿x 轴正方向，如图所示。

试求：(1)通过图中abcd 面的磁通量；(2)通过图中befc 面的磁通量；(3)通过图中aefd 面的磁通量。

解：(1)通过abcd 面积1S 的磁通量为24.0cos 4.03.00.211 S B Wb (2)通过befc 面积2S 的磁通量为022 S B(3)通过aefd 面积3S 的磁通量为cos 5.03.0233 S B24.0545.03.02Wb 11．如图所示，真空中一半径为r 的金属小圆环，在初始时刻与一半径为R （r R ）的金属大圆环共面且同心，在大圆环中通以恒定的电流I ，如果小圆环以匀角速度 绕其直径转动，求任一时刻t 通过小圆环的磁通量m 。

解：载流大圆环在圆心处产生的磁感应强度大小为RIB 20，方向垂直纸面向外任一时刻t 通过小圆环的磁通量为t r B S B m cos 212. 如图所示，电流I I I 21，求沿回路1L 、2L 以及3L 的磁感应强度的环流。

解：由安培环路定理得I I l d B L 0101I I l d B L 02020)(2103I I l d B L13. 一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱(半径为a )和一同轴的导体圆管(内、外半径分别为b ,c )构成，横截面如图所示。

使用时，电流I 从一导体流去，从另一导体流回，设电流都是均匀地分布在导体的横截面上。

求：(1)导体圆柱内(r ＜a )；(2)两导体之间(a ＜r ＜b )；（3）导体圆筒内(b ＜r ＜c )以及(4)电缆外(r ＞c )各点处磁感应强度的大小。

解：磁场分布具有轴对称性，在横截面内取同心圆为回路，应用安培环路定理，有iI r B l d B 02(1)当a r 时，22r aI I i，所以 202aIrB(2)当b r a 时，I I i ，所以rI B 20(3)当c r b 时，)()(2222b r b c I I I i，所以 )(2)(22220b c r r c I B (4)当c r 时，0 i I ，所以0 B14. 有一长直导体圆管，内外半径分别为R 1和R 2，如图所示，它所载的电流1I 均匀分布在其横截面上。

导体旁边有一绝缘“无限长”直导线，载有电流2I ，且在中部绕了一个半径为R 的圆圈。

设导体管的轴线与长直导线平行，相距为d ，而且它们与导体圆圈共面，求圆心O 点处的磁感应强度。

解：应用磁场叠加原理求解。

长直载流导体圆管产生的磁场分布具有轴对称性，在横截面内取圆心在轴线上、过O 点的圆周为回路，应用安培环路定理，有iI d R B l d B 01)(210I所以，长直载流导体圆管在O 点产生的磁感强度大小为dR I B 112 ，方向垂直纸面向里电流2I 的长直导线在O 点产生的磁感强度大小为RIB 2022 ，方向垂直纸面向外电流2I 的圆线圈在O 点产生的磁感强度大小为RIB 2203 ，方向垂直纸面向外所以，O 点的磁感强度大小为])1([2120132dR I RI B B B B方向垂直纸面向外。

15. 在半径为R 的长直圆柱形导体内部，与轴线平行地挖成一半径为r 的长直圆柱形空腔，两轴间距离为a ,且a ＞r ，横截面如图所示。

现在电流I 沿导体管流动，电流均匀分布在管的横截面上，而电流方向与管的轴线平行。

求：(1)圆柱轴线上的磁感应强度的大小； (2)空心部分轴线上的磁感应强度的大小。

解：在空腔处补上沿导体管流动、在横截面均匀分布的电流2I 和2I ，应用补偿法求解。

电流2I 和2I 在空间产生的磁场相互抵消，因此空间各点磁场可看作半径为R 、电流21I I I 均匀分布在横截面上的圆柱导体和半径为r 、电流2I 均匀分布在横截面上的圆柱导体产生的磁场的叠加。

2I 和1I 的大小为2222)(r r R II 222r R Ir21I I I 222rR IR 1I 和2I 产生的磁场分布具有轴对称性，应用安培环路定理求磁感应强度。

（1）电流1I 在O 点产生的01 B ，电流2I 在O 点产生的磁感应强度满足iI a B l d B 02220I222020222r R Ir a a I B圆柱轴线上的O 点B 的大小为)(22220210r R a Ir B B B (2) 电流2I 在O 点产生的02B ，电流1I 在O 点产生的磁感应强度满足 i I a B l d B 012 2210a RI 221012R aI a B )(2220r R Ia 空心部分轴线上O 点磁感应强度的大小为)(2220210r R IaB B B16. 通以电流I 的导线abcd 形状如图所示，l cd ab ，bc 弧是半径为R 的半圆周，置于磁感应强度为B 的均匀磁场中，B的方向垂直纸面向里。

求此导线受到安培力的大小和方向。

解：应用安培定律求解。

ab 边受力大小为BIl F ab ，方向：向左cd 边受力大小为BIl F cd ，方向：向右对于bc 边，建立图示坐标系。

在bc 边上取电流元l Id， BIRd BIdl dF 根据对称性有0 x Fxdd BIR dF dF y sin sinsin d BIR dF F y y BIR 2此导线受到安培力的大小为BIR F 2 ，方向沿y 轴正向。

17. 在长直导线AB 内通以电流1I ，在矩形线圈CDEF 中通有电流2I ，AB 与线圈共面，且CD ，EF 都与AB 平行，线圈的尺寸及位置均如图所示。

求：导线AB 的磁场对矩形线圈每边所作用的力及矩形线圈所受合力。

解：CD F方向垂直CD 向左，大小d Ib I F CD 2102同理，FE F方向垂直FE 向右，大小)(2102a d I b I F FECF F方向垂直CF 向上，大小为ad dCF dad I I r r I I F ln 2d 2210210 ED F方向垂直ED 向下，大小为CF ED F F线圈所受合力ED CF FE CD F F F F F方向向左，大小为)(2210a d d aI bI F F F FE CD18. 有圆线圈直径8cm ，共12匝，通电流5A ，将此线圈置于磁感应强度为 的匀强磁场中。

试求：（1）作用在线圈上的最大磁力矩；（2）线圈法线方向与磁场方向夹角多大时，力矩是线圈上最大力矩的一半（取最小角度）解：(1)NI R NIS P m 2m N NIB R B P M m 18.090sin 2(2) B P B P M m m 21sin，所以 619. 一线圈由半径为R 的1/4圆弧和相互垂直的二直线组成，通以电流I ，把它放在磁感应强度大小为B 的均匀磁场中(磁感应强度B 的方向如图所示)。

求：(1)线圈平面与磁场垂直时，圆弧 ⌒AB 所受的磁力；(2)线圈平面与磁场成60°角时，线圈所受的磁力矩大小。

解：（1）建立图示坐标系。

在圆弧上取电流元l IdBIRd BIdl dF根据对称性有0 x Fd BIR dF dF y cos cos44cosd BIRdF F y y IRB 2圆弧 ⌒ AB 所受的磁力的大小为BIR F 2 ，方向与直线AB 垂直，且与OB 的夹角为045；yxl dF d（2）线圈的磁矩大小为I R IS P m 241线圈所受的磁力矩大小为030sin B P M m IB R 28120. 电子在T B 3100.7 的匀强磁场中作圆周运动，圆周半径cm r 0.3 。

已知B 垂直于纸面向外，某时刻电子在A 点，速度向上，如图所示。

（1）试画出这电子运动的轨道；（2）求这电子速度的大小； （3）求这电子的动能k E 。

解：(1)轨迹如图(2)由牛顿第二定律得， rm B e 2故 7107.3m eBr1s m (3) 162K 102.621 m E J21. 如图所示的三条线表示三种不同磁介质的H B 关系曲线，虚线是B =H 0 关系的曲线，试指出哪一条是表示顺磁质哪一条是表示抗磁质哪一条是表示铁磁质解：曲线Ⅱ是顺磁质，曲线Ⅲ是抗磁质，曲线Ⅰ是铁磁质。