14. 设事件 A,B,C 满足 P ( A) P ( B) P (C ) 1 4 ，
P ( AB ) P (CB ) 0 ， ( AC ) 1 8 ， 求事件A,B,C至少有一 P
个发生的概率。
解： P ( A, B , C至少一个发生 )
1 P( A B C ) 1 P( A B C ) P( A B C ) P ( A) P ( B ) P (C ) P ( AC ) 13 1 4 8 0.625
解：
P ( A B ) P ( B AB ) 0.4 0.28 P ( A | B) 0.3 P ( B) P ( B) 0.4 P ( AB ) P ( A AB ) 0.4 0.28 P( A | B ) 0.2 P( B ) P( B ) 1 0.4 P ( A B ) P ( B AB ) 0.4 0.28 P( B | A ) 0.2 P( A ) P( A ) 1 0.4
P( AB ) P( A B) 1 P( A B) 1 p q r
12. 一个火力控制系统，包括一个雷达和一个计算机，如果这两 样中有一个操作失效，该控制系统便失灵。设雷达在100小时内 操作正常的概率为0.9，而计算机在操作100小时内失效的概率 为0.12，试求在100小时内控制系统失灵的概率。
解： P 0.95 0.59
23. 甲乙丙三机床所生产的螺丝钉，分别占总产量的25%、35% 和40%，而废品率分别为5%、4%、2%。从生产的螺丝钉中， 任取一个恰是废品，求它是甲机床生产的概率。
解：令 A1 , A2 , A3 分别表示甲乙丙三机床，B 表示废品，
根据 Bayes 公式：
2m ( M m ) 2m ( M m ) 2 2 M m ( M m ) ( M m )( M m ) ( M m ) 2m M m 1
17. 某种电子元件，使用到2000小时还能正常工作的概率是 0.94，使用到3000小时还能正常工作的概率是0.87，求已经工 作了2000小时的元件工作到3000小时的概率。
AA AB AB
4. 一套书分4册，按任意顺序放到书架上，问各书自左到右恰好 按照1234顺序排列的概率是多少？
解：P 14 1
A4
24
5. 将正立方体的表面涂上颜色，然后锯成27个同样大小的正立 方体，混合后从中任取一块，问取得有两面涂上颜色的小立方 体的概率是多少？
解：有两面涂上颜色的小立方体共有12个
第4 章 概率论基本概念 习题
1. 试将下列事件用A、B、C间的运算关系表出。 （1）A 出现，B、C不出现：AB C （2）A 、B、C都出现：ABC （3）A 、B、C至少一个出现：A B C （4）A 、B、C都不出现：A B C
A （5）不多于一个事件出现： B C AB C A BC A B C
P (该废品是甲机床生产 ) P ( A1 | B) P ( A1 ) P ( B | A1 ) P ( A1 ) P ( B | A1 ) P ( A2 ) P ( B | A2 ) P ( A3 ) P ( B | A3 ) 0.25 0.05 0.25 0.05 0.35 0.04 0.4 0.02 0.3623
目标的概率为0.4，在到达目的地之前，飞机需通过敌军高射炮
阵地，每机被击落的概率为0.2 。求敌军阵地被击中的概率。
解： P (敌军阵地被击中 )
1 - P (敌军阵地没有被击中 )
分析得下图：
敌 军 阵 地 没 有 被 击 中
主机被高 射炮击落
P 0.2
只有主机到达目 的地，没有击中 目标 主机和僚机1到 达目的，都没有 击中目标 主机和僚机2到 达目的，都没有 击中目标 主机和两架僚机 到达目的地，都 没有击中目标。
解：P (100小时内系统失效)
1 P (100பைடு நூலகம்时内系统正常) 1 P (100小时内雷达正常) P (100小时内计算机正常) 1 0.9(1 0.12) 20.8%
P 13. 设 P ( A) P ( B ) 0.4 ， ( AB ) 0.28 ，求：
24. 播种时用的一等小麦种子中，混有2%的二等种子、1.5%的 三等种子、1%的四等种子，用一二三四等种子长出的麦穗含有 50颗以上的麦粒的概率分别是0.5、0.15、0.1、0.05，求这批种
子结穗含有50颗麦粒以上的概率。
解：令 A1 , A2 , A3 , A4 分别表示一二三四等种子，B 表示结穗含 有50颗麦粒以上，根据全概率公式：
4 （1） P (四株都死亡) C4 0.24 (1 0.2)44 0.0016
2 2 4 2 （2） P (两株死亡) C4 0.2 (1 0.2) 0.1536
31. 灯泡寿命达到2000小时的概率为0.95，收音机里有五只灯 泡，求经过2000小时后，有两只灯泡坏掉的概率。 解：2000小时后灯泡坏掉的数量是 n 5, p 1 95% 0.05 的贝努利概型，所以
P 0.2 0.2 0.6 0.024 P 0.8 0.2 0.6 0.6 0.0576 P 0.8 0.2 0.6 0.6 0.0576 P 0.8 0.8 0.6 0.6 0.6 0.13824
主机没有 被击落
P 0.8
P (敌军阵地没有被击中 ) 0.2 0.8 (0.024 0.0576 0.0576 0.13824 ) 0.421952
10. 电报的密码由0,1,…,9十个数字可重复任意4个数字组成，试 求密码最右边的一个数是偶数的概率。 解：在密码的所有组合中，出现偶数和奇数的概率是相同且均 等的，都是 50% 。
11. 设事件 A、B、AB的概率分别为p、q、r，求：
P( A B ) P( AB) 1 r
P( A B) P((S A)B) P( B AB) q r P( A B) P((S A) B) P( S A B) 1 p r
AC B ( S A C )
（2）( A B) ( A B )
解：原式 AA AB AB BB
A AB AB A AB A
（3）( A B) ( A B ) ( A B) 解：原式 A ( A B )
P
C
3 60
38.1%
9. 设有0,1,…,9十个数字，若在此十个数字中有放回陆续抽取5 个，每次抽到任意数字的概率都是相同的，问抽到5个不同的数 字的概率是多少？ 解：抽取结果的可能组合为 10×10×10×10×10 ，抽取到5个 5 不同数字的可能组合为 C10 ，
5 C10 因此 P 5 0.25% 10
P
10
3
0.1%
7. 有50件产品，其中4件不合格，从中随机抽取3件，求至少一 件不合格的概率。 解： P（至少一件不合格） 1 - P（所有都合格）
3 C46 1 3 22.5% C50
8. 一个纸盒中混放着60只外形类似的电阻，其中甲乙两厂生产 的各占一半。现随机地从中抽取3只，求其中恰有一只是甲厂生 产的概率。 2 1 解： C30C30
3 所以 P (三发炮弹命中) C3 0.7 30.33-3 0.343 2 P (两发炮弹命中) C3 0.7 20.33-2 0.441 1 P (一发炮弹命中) C3 0.710.33-1 0.189
根据全概率公式，
P (目标被击毁) P ( i发炮弹命中) P (目标被击毁 | i发炮弹命中)
1 C12 4 P 1 0.444 C27 9
6. 号码锁一共三个圆盘，每一圆盘等分为10个带不同数字 0,1,…,9 的扇面。如果每一圆盘相对锁穴为一固定状态时，则 可打开。求在确定了任意的数字所构成的一个组合的情况下， 能打开锁的概率。
解：号码盘所有可能的组合为10×10×10种，其中只有一种可 以开锁， 1
P (这批种子结穗含有 颗麦粒以上) 50 P ( B) P ( Ai ) P ( B | Ai )
i 1 4
(1 0.02 0.015 0.01) 0.5 0.02 0.15 0.015 0.1 0.01 0.05 0.4825
24. 三架飞机中有一架主机和两架僚机，被派出轰炸敌人阵地， 飞机缺少无线电导航设备时就达不到目的地，这种设备装置在 主机上。飞机到达目的地后，各机独立进行轰炸，每一架击中
2 P (两只灯泡坏掉) C5 0.0520.9552 0.0214
32. 三门炮轰击目标，每炮命中率为0.7，目标被击中三发便被 击毁的概率为0.9，命中两发被击毁的概率为0.5，命中一发被 击毁的概率为0.2，求目标被击毁的概率。
解：击中目标的炮弹数量是一个 n 3, p 0.7 的贝努利概型，
i 1 3
0.343 0.9 0.441 0.5 0.189 0.2 0.567
（6）不多于两个事件出现：即至少有一个事件不出现 A B C （7）A、B、C中至少二个出现： BC AC AB
3. 化简下列各式： （1） A B) ( B C ) ( 解：原式 ( A B ) ( B C )
AB AC BB BC AC B AB BC AC BS AB BC AC B
16. 设有M只晶体管，其中有m只废品，从中任取2只，求所取 晶体管有1只正品的条件下，另1只是废品的概率。 解：令 A=(取到1只正品)，B=(取到1只废品)
P ( AB ) P (有一只正品的条件下， 另一只是废品) P ( B | A) P ( A)