当前位置:文档之家› 2018年北京市海淀区高三一模文科数学试题及参考答案

2018年北京市海淀区高三一模文科数学试题及参考答案

海淀区高三年级第二学期期中练习数学(文科)本试卷共4页,150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将答题纸交回。

第一部分(选择题,共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

(1)已知集合{0,},{12}A a B x x ==-<< | ,且A B ⊆,则a 可以是(A) 1- (B ) 0 (C ) 1 (D )2(2)已知向量(1,2),(1,0)==-a b ,则+2=a b(A) (1,2)- (B ) (1,4)- (C ) (1,2) (D ) (1,4) (3)下列函数满足()()0f x f x -+=的是(A) ()f x x = (B )()ln f x x =(C ) 1()1f x x =- (D )()cos f x x x =(4)执行如图所示的程序框图,输出的S 值为(A) 2 (B )6 (C ) 8 (D )10(5)若抛物线22(0)y px p =>上任意一点到焦点的距离恒大于1,则p 的取值范围是(A) 1p < (B ) 1p > (C ) 2p < (D ) 2p >(6)如图,网格纸上小正方形的边长为1,若四边形ABCD 及其内部的点组成的集合记为M ,(,)P x y 为M 中任意一点,则y x -的最大值为 (A) 1 (B ) 2 (C ) 1- (D ) 2-(7)已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,则“n n S na <对2n ≥恒成立”是“数列{}n a 为递增数列”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C )充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件(8)已知直线l :(4)y k x =+与圆22(2)4x y ++=相交于A ,B 两点,M 是线段AB 中点,则M 到直线3460x y --=的距离的最大值为(A) 2 (B ) 3 (C ) 4 (D ) 5第二部分(非选择题,共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。

(9)复数2i1i=+____. (10)已知点(2,0)是双曲线:C 2221x y a-=的一个顶点,则C 的离心率为 .(11)在ABC ∆中,若2,6c a A π==∠=,则sin C = ,cos2C = .(12)某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积是____. ((13)已知函数1()cos f x x x=+,给出下列结论: ①()f x 在(0,)2π上是减函数; ②()f x 在(0,π)上的最小值为2π; ③()f x 在(0,2)π上至少有两个零点.其中正确结论的序号为____.(写出所有正确结论的序号)(14)将标号为1,2,……,20的20张卡片放入下列表格中,一个格放入一张卡片.把每列标号最小的卡片选出,将这些卡片中标号最大的数设为a ;把每行标号最大的卡片选出,将这些卡片中标号最小的数设为b . 甲同学认为a 有可能比b 大,乙同学认为a 和b 有可能相等.那么甲乙两位同学中说法正确的同学是___________.主视图俯视图左视图三、解答题共6小题,共80分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. (15)(本小题13分)已知等比数列{}n a 满足11a =,5218a a =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)试判断是否存在正整数n ,使得{}n a 的前n 项和n S 为52?若存在,求出n 的值;若不存在,说明理由.(16)(本小题13分)函数()3sin()(0,||)2f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示,其中0x 是函数()f x 的零点. (Ⅰ)写出,ωϕ及0x 的值; (Ⅱ)求函数()f x 在区间[,0]2π-上的最大值和最小值.(17)(本小题13分)流行性感冒多由病毒引起,据调查,空气相对湿度过大或过小时,都有利于一些病毒的繁殖和传播.科学测定,当空气相对湿度大于65%或小于40%时,病毒繁殖滋生较快,当空气相对湿度在45%%:55时,病毒死亡较快.现随机抽取了全国部分城市,获得了它们的空气月平均相对湿度共300个数据,整理得到数据分组及频数分布表,其中为了记录方便,将空气相对湿度在%%a b :时记为区间[)a,b . 组号 12345678分组 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) [75,85) [85,95)频数23153050751205(Ⅱ)从区间[15,35)的数据中任取两个数据,求恰有一个数据位于[25,35)的概率; (Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中空气月平均相对湿度的平均数在第几组(只需写出结论).(18)(本小题14分)如图,四棱锥ABCD E -中,BC AD //,112AD AB AE BC ====,且⊥BC 平面ABE ,M 为棱CE 的中点.(Ⅰ)求证://DM 平面ABE ;(Ⅱ)求证:平面CDE ⊥平面CBE ; (Ⅲ)当四面体D ABE -的体积最大时,判断直线AE 与直线CD 是否垂直,并说明理由.(19)(本小题14分) 已知椭圆C 的两个焦点为12(1,0),(1,0)F F -,离心率为12. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设点A 是椭圆C 的右顶点,过点1F 的直线与椭圆C 交于,P Q 两点,直线,AP AQ 与直线4x =-分别交于M 、N 两点.求证:点1F 在以MN 为直径的圆上.(20)(本小题13分)已知函数()e sin xf x x ax =-.(Ⅰ)当0a =时,求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程;(Ⅱ)当0a ≤时,判断()f x 在3π[0,]4上的单调性,并说明理由; (Ⅲ)当1a <时,求证:3π[0,]4x ∀∈,都有()0f x ≥.海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学(文科)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.1i + 10 1113,12.3π32+ 13.①③ 14. 乙 三、解答题:本大题共6小题,共80分。

解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.解:(Ⅰ)设{}n a 的公比为q ,因为 521=8a a ,且352=a a q , 所以 318q = , ………………2分得 12q =………………4分 所以1111(1,2,)2n n n a a q n --===L ………………6分 (Ⅱ)不存在n ,使得{}n a 的前n 项和n S 为52………………7分因为11a =,12q =,所以11()122(1)1212nn nS -==--………………10分 方法1:令52n S =,则152(1)22n -= 得24n =-,该方程无解. ………………13分所以不存在n ,使得{}n a 的前n 项和n S 为52.方法2:因为对任意*∈N n ,有1112n-<, 所以12(1)22n nS =-< ………………13分 所以不存在n ,使得{}n a 的前n 项和n S 为52.16.解:(Ⅰ)0π11π2,,.612x ωϕ===………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,π()3sin(2)6f x x =+ ………………7分因为π[,0]2x ∈-,所以π5ππ2[,]666x +∈- ………………9分当ππ262x +=-,即π3x =-时,()f x 的最小值为3-. ………………11分当ππ266x +=,即0x =时,()f x 的最大值为32. ………………13分17.解:(Ⅰ)由已知,当空气相对湿度在45%%:55时,病毒死亡较快.而样本在[45,55)上的频数为30,所以所求频率为301=30010 ………………3分 (Ⅱ)设事件A 为“从区间[15,35)的数据中任取两个数据,恰有一个数据位于[25,35)” …………………….…4分设区间[15,25)中的两个数据为12,a a ,区间[25,35)中的三个数据为123,,b b b , 因此,从区间[15,35)的数据中任取两个数据,包含12111213212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b a b a b a b b b b b b b 共10个基本事件, …………………….…6分 而事件A 包含111213212223(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b a b a b 共6个基本事件,….…8分 所以63()105P A ==.…………………….…10分 (Ⅲ)第6组. …………………….…13分 18.(Ⅰ)证明:取线段EB 的中点N ,连接,MN AN . 因为M 为棱CE 的中点,所以在CBE ∆中//MN BC ,12MN BC =. …………………….…1分 又//AD BC ,12AD BC =, 所以//,MN AD MN AD =. 所以四边形DMNA 是平行四边形,所以//DM AN . …………………….…2分 又DM ⊄平面ABE , AN ⊂平面ABE ,所以//DM 平面ABE . …………………….…4分 (Ⅱ)因为AE AB =,N 为EB 中点,所以AN BE ⊥. …………………….…5分 又BC ⊥平面ABE ,AN ⊂平面ABE ,所以BC AN ⊥ .…………………….…6分 又BC BE B =I ,所以AN ⊥平面BCE . …………………….…7分又//DM AN ,所以DM ⊥平面BCE . …………………….…8分 因为DM ⊂平面CDE ,所以平面CDE ⊥平面CBE . .…………………….…9分 (Ⅲ)AE CD ⊥. .…………………….…10分设EAB θ∠=,则四面体D ABE -的体积111sin sin 326V AE AB AD θθ⨯⋅⋅⋅==..….……11分当90θ=︒,即AE AB ⊥时体积最大. .…………………….…12分 又BC ⊥平面ABE ,AE ⊂平面ABE ,所以AE BC ⊥. .…………………….…13分 因为BC AB B =I ,所以AE ⊥平面ABC . 因为CD ⊂平面ABCD ,所以AE CD ⊥. .…………………….…14分19.解:(Ⅰ)由题意,设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>> ,则222112c c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩ .…………………….…2分得2,a b == .…………………….…4分所以椭圆方程为221.43x y += .…………………….…5分 (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可得(2,0)A .当直线PQ 不存在斜率时,可得3(1,)2P -,3(1,)2Q --直线AP 方程为1(2)2y x =--,令4,x =-得(4,3)M -,同理,得(4,3)N --.所以1(3,3)F M =-u u u u r ,1(3,3)F N =--u u u u r,得110F M F N ⋅=u u u u r u u u u r .所以190MF N ∠=︒,1F 在以MN 为直径的圆上. .…………………….…7分 当直线PQ 存在斜率时,设PQ 方程为(1)y k x =+,()11,y x P 、()22,y x Q . 由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得2222(34)84120k x k x k +++-=.显然0∆>,221212228412,3434k k x x x x k k -+=-=++, .…………………….…8分直线AP 方程为11(2)2yy x x =--,得116(4,)2y M x ---, 同理,226(4,)2y N x ---. .…………………….…9分所以12111266(3,),(3,)22y y F M F N x x --=-=---u u u u r u u u u r ,121112369(2)()y y F M F N x x ⋅=+--u u u u r u u u u r 2 .……10分因为11(1)y k x =+,22(1)y k x =+,所以2121212123636(1)(1)(2)(2)(2)(2)y y k x x x x x x ++----= .…………………….…11分 2222222121222221212241283436()36(1)9363494121612162()43634k k k k k x x x x k k k k k x x x x k k --+++++-⋅+====--+++-+++, 所以110F M F N ⋅=u u u u r u u u u r..…………………….…13分所以90MFN ∠=︒,F 在以MN 为直径的圆上. .…………………….…14分 综上,F 在以MN 为直径的圆上.20.解:(Ⅰ)当0a =时,()sin xf x e x =,'()(sin cos )x f x e x x x R =+∈,. .…………………….…1分 得'(0) 1.f = .…………………….…2分又0(0)sin 0=0f e =, .…………………….…3分 所以曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为.y x = .…………………….…4分方法1:(Ⅱ)因为()sin x f x e x ax =-,所以π'()e (sin cos )sin(+)4x xf x x x a x a =+--. …………………….…5分因为3π[0,]4x ∈,所以ππ[,π]44x +∈. .…………………….…6分πsin()04xx +≥. .…………………….…7分所以 当0a ≤时,()0f x '≥,所以()f x 在区间3π[0,]4单调递增. .…………………….…8分(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当0a ≤时,()f x 在区间3π[0,]4单调递增,所以3π[0,]4x ∈时,()(0)0f x f ≥=. .…………………….…9分当01a <<时,设()'()g x f x =,则 '()(sin cos )(cos sin )2cos x x xg x e x x e x x e x =++-=,(),'()g x g xx所以'()f x 在[0,]2上单调递增,在(,]24上单调递减 .…………………….…10分因为'(0)10f a =->,3π()04f a '=-<,所以存在唯一的实数0π3π(,)24x ∈,使得0'()0f x =, .…………………….…11分且当0(0,)x x ∈时,'()0f x >,当03π(,]4x x ∈时,'()0f x <, 所以()f x 在0[0,]x 上单调递增,()f x 在03π[,]x 上单调递减. .………………….…12分又(0)0f =,3π3π2443π3π()e e 304242f a =⨯->⨯->>, 所以当01a <<时,对于任意的3π[0,]4x ∈,()0f x ≥.综上所述,当1a <时,对任意的3π[0,]4x ∈,均有()0f x ≥. .…………………….…13分方法2:(Ⅱ)因为()sin x f x e x ax =-,所以'()(sin cos )xf x e x x a =+-,…………….…5分令()'()g x f x =,则'()(sin cos )(cos sin )2cos xxxg x e x x e x x e x =++-=, .…………………….…6分(),'()g x g x 随x 的变化情况如下表:.…7分当0a ≤时,(0)10g a =->,3(π)04g a =-≥所以3π[0,]4x ∈时,()0g x ≥,即()0f x '≥,所以()f x 在区间3π[0,]4单调递增. .…………………….…8分(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当0a ≤时,()f x 在区间3π[0,]4单调递增,所以3π[0,]4x ∈时,()(0)0f x f ≥=. .…………………….…9分当01a <<时, 由(Ⅱ)可知,()f x '在π[0,]2上单调递增,在π3π(,]24上单调递减,因为(0)10f a '=->,3π()04f a '=-<,所以存在唯一的实数0π3π(,)24x ∈,使得0'()0f x =, .…………………….…11分且当0(0,)x x ∈时,'()0f x >,当03π(,]4x x ∈时,'()0f x <,所以()f x 在0[0,]x 上单调递增,()f x 在03π[,]4x 上单调递减. .………………….…12分又(0)0f =,3π3π443π3π()e e 3044f a =->->>, 所以当01a <<时,对于任意的3π[0,]4x ∈,()0f x ≥.综上所述,当1a <时,对任意的3π[0,]4x ∈,均有()0f x ≥. .……………….…13分。

相关主题