广东省首届大学生数学竞赛试卷参考答案(高职高专)
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
1．设函数()f x 、()g x 在区间(,)-∞+∞内有定义，若()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则[()]g f x 为（ B ）.
(A) 奇函数 (B) 偶函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 有界函数
2．设函数()f x 是以3为周期的奇函数, 且(1)1f -=-,则(7)f =( A ) . (A) 1 (B) 1- (C) 2 (D) 2- 3．设(0)0f =，且极限0()lim
x f x x →存在，则0()
lim x f x x
→=（ C ）.
(A) ()f x ' (B) (0)f (C) (0)f ' (D)
1
(0)2
f ' 4．设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()<0f x '，若()>0f b ，则在(,)a b 内()f x （ A ）.
(A) 0> (B) 0< (C) ()f x 的符号不能确定 (D) 0= 5．设()F x 是()f x 的一个原函数，则（ D ）.
(A) ()d ()F x x f x =⎰ (B) ()d ()F x x f x C =+⎰ (C) ()d ()f x x F x =⎰
(D) ()d ()f x x F x C =+⎰
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．极限201lim 1→⎛⎫
-= ⎪⎝⎭x x x 1 .
2．已知函数1
sin sin 33
y a x x =+（其中a 为常数），在3
x π
=处取得极值，则a =
2 .
3．设1
()ln
ln 2f x x
=-，则(1)f '= 1- . 4．设函数()y y x =由方程e e sin()x y xy -=所确定，求隐函数y 在0x =处的 导数0='=x y 1 .
5
．4
1
-=⎰
62
5
.
三、(10分）设函数1sin ,0()e ,
x x x f x x
x α
β⎧>⎪
=⎨⎪+≤⎩，根据α和β的不同情况，
讨论()f x 在0x =处的连续性.
10
10
110
1
lim ()lim ()1,lim ()lim sin 0sin 1,lim 0,lim sin 0,lim ()=lim ()=(0)0=0lim sin lim sin 0lim α
αααββαβαα--++
++-
++++
→→→→→→→→→→→=+=+=>≤====<x x x x x x x x x x x x x x x x f x e f x x x
x x f x f x f x x 解：；当时，因为且所以因此，当=-1时，有；当时，不存在；当时，1sin 000=10010αααβαβ≤=>-=>≠-=x y x y x y x 不存在;所以当时，在点处不连续；当且时，在点处连续；当且时，在点处不连续。

四、(10分）求极限1
lim
1)tan 2
π
→-x x x （.
x 1
x 1
x 1
x 1
(1)sin
112
2
=lim
limsin
lim
lim 2
cos
cos
sin
2
2
2
2
x x x x x
x
x
π
π
π
π
π
π
π
→→→→---===-
解：原式.
五、(10分） 设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续, a 为常数, 且对任意(,)x ∈-∞+∞, 有
3()d 540=+⎰x
a
f t t x , 求()f x 和a .
2
33:,()15,540,8,2f x x dt a a a ==+=-=-⎰a
a
解两边求导得又因为0=f(t)即所以
六、(10分）设函数1,0()1cos ,0
x f x x x x ⎧≤⎪
=-⎨⎪>⎩，计算定积分20
(1)d f x x -⎰.
2
101
0110
11
(1)()cos ln 2sin11t x f x dx f t dt dx xdx x --=--=+=+-=======⎰⎰⎰⎰令解： 七、(10分）求(0)>c c 的值, 使两曲线2y x =与3y cx =所围成图形的面积等于2
.3
12
23
1233
011210,(0),(),1232c
y x x x c S x cx dx S c c c y cx ⎧===>=-===⎨=⎩⎰解：由解得由得
八、(10分）验证：方程 42x x =有一个根在0与
1
2
之间.
11
()24()[0](0)=1>0,()20,2211
0()=04=2022
x x f x x f x f f f x ξξ=-=<∈解：设，则在，上连续，且由零点定理
可知，至少存在一点（，），使，故方程在（，）内至少有一个根。

九、(10分）试证: 当1x >时,
有1
x
-
.
22
11
1
()3(1),(1)0,()0,(1),1
1()()>(1)=0,f x x f f x x x x
x x f x f x f x
'=+>===
>>∴>∴-
Q 证：令当时单调递增，即。