2011年数学竞赛练习题C_3解答1. 设数列{}n x 满足：11sin(2)sin11n n x n n n <<+++， 则11lim1nk n k x n →∞==+∑_______。

11sin(2)sin 111n n n x n x n n <<+∴→++解 ；Q 1111lim lim lim lim 1111nnkkn k k k n n n n k xxnnx n n nn n==→∞→∞→∞→∞=∴=⋅=⋅=+++∑∑∑2.设曲线()y f x =与sin y x =在原点相切，则极限lim n ________。

(0)0,(0)1n n f f '===已知有： 2.设(1n n a b =+，其中,n n a b 为正整数，lim nn na b →∞=__2224113(1)1)3)(13)3))()3))n n n nnn n C C CC C C =+++=+++++22441133(1(1)()nn n n n C C C C =++-++(1=+(1=n n n n n n a b a b a b -所以，若则解得：lim =n n nn n a b →∞∴= 3. 设()f x 有连续导数且0()lim0x f x a x→=≠， 又20()()()xF x x t f t dt =-⎰，当0x →时()F x '与n x 是同阶无穷小， 则n =________。

2020()()()()()xxxF x x t f t dtx f t dt tf t dt=-=-⎰⎰⎰20()2()()()xF x x f t dt x f x xf x '=+-⎰0()lim0x F x x→'=显然20202()()()limxx x f t dt x f x xf x x →+-⎰考虑：2()()limlim ()xx x f t dt f x f x x→→-=+⎰2()()limlim ()xx x f t dt f x f x x→→-=+⎰2()()limlim0xx x f t dtf x xx→→=-+⎰0a =-≠ 2n ∴=5. ()f x ∞设在[1,+)上可导，下列结论成立的是：________。

+lim ()0()x f x f x →∞'=∞A.若，则在[1,+)上有界；+B lim ()0()x f x f x →∞'≠∞.若，则在[1,+)上无界；+C lim ()1()x f x f x →∞'=∞.若，则在[1,+)上无界。

+++()()sin B C lim ()1M ()M (2)()(),(2)()(2)+()2M lim ()+lim ()1()x x x f x g x x f x f x x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x ξξ→∞→∞→∞=='=∃∍≤'∀∈∞-=-≤≤'=∞'∴=⇒∞A 不一定成立；表明结论不一定成立；结论一定成立.反证：若，且，。

[1,+),有：；这与矛盾。

在[1,+)上无界。

6. 设函数()y y x =满足2(1)x y x y x y e '''+-+=， 且(0)1y '=，若2()limx y x xa x →-=，则a =______。

2200(1)(0)=2()()1(0)lim lim 1=22x x x y x y x y e y y x x y x y a x x →→'''''+-+='''--∴===由， 7.,a b b π设是夹角为的非零常向量，=2,3limx a xb ax→∞+-则=_________。

200lim2(,)(,)lim ()2(,)(,)lim ()(,)lim 01cos 232x x x x a xb axx a b x b b x a xb a a b x b b a xb a a b a b π→→→→+-+=+++=++==+==⋅8. 如果要使函数1sin 0()0 0kx x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处有连续的 一阶导数， 则正整数k 的最小值为_____。

1210012120110,()sincos ,()(0)10(0)lim lim sin ,1(0)=011sin cos 0()10 0lim ()11=lim sincos =0=(0)k k k x x k k x k k x x f x kx x x x f x f x f x x xk f kx x x f x k x xx f x kx x x xf ---→→--→--→'≠=--'==='>⎧-≠⎪'∴=>⎨⎪=⎩'-' 时，当时，，（时）又（）2k k >∴（当时）=39.设y =(10)x y ==____________。

12(1)(1),y x x -=+-(10)(9)11(10)12210(1)(1)(1)yx x C x --⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (10)(9)1112210(1)(1)(1)x x C x --⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13221(1)(1)2x x --'⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭152213(1)(1)22x x --''⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭(9)129017!!(1)2x x -=⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭(10)121019!!(1)2x x -=⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭(10)1091019!!17!!17!!(0)1034222y =+⋅=⋅10.设11,,2,x x x y y e y e y e π====+都是某二阶常系数线性微分方程的解，则微分方程为_______。

32201r 00.x y y e r y y -=∴-='''∴-=是解，该方程是齐次方程。

特征根：，特征方程：原方程：Q11. 设二阶常系数线性微分方程()y py qy f x '''++=有三个特解2123,,x xxx x y e y e e y e e -==+=+，则该方程为______。

2111()(1)0222r r r r -+=+-=特征方程：11022y y y '''+-=对应齐次方程： 11()22x y e y y y f x '''=+-=将特解代入 ()x f x e ⇒=1122x y y y e '''∴+-=原来的方程： 12. 设四阶常系数线性齐次微分方程有一个解为1cos2,x y xe x =则其通解为__。

1432(4)(3)cos 2,12.22040.4142025041420250.x y xe x i i i y y y y y =∴±∴==+==-+-+='''-+-+= λλλλλλλλλ222222特征方程有二重特征根特征方程为：(-1-)(-1+)((-1))即：（-2+5）方程为：13.=____________+C 。

55441(1)dx x x =+⎰5444144111(1)(1)41(1)d x x C x C ---=++=-++=⎰14. 设不定积分222(1)(1)x ax dx x x ++++⎰的结果中不含 反正切函数，则a =_________。

2222111(1)(1)(1)(1)x ax ax x x x x x +++=++++++ 2111(1)(1)x ax x x ++++的积分不含反正切，只需的积分不含反正切。

21(1)(1)ax x x +∴++的部分分式应为：2211(1)(1)1ax A Bxx x x x +=+++++ 1,1A B a ⇒===-15.设连续非负函数满足()()1()f x f x x -=-∞<<+∞，则22cos 1()xdx f x ππ-=+⎰________。

22cos 1()xdx f x ππ-=+⎰202cos cos 1()1()x xdx dx f x f x ππ-+++⎰⎰222cos 1()cos ()11()()cos 1()t x xdxf x tdt f t f t tdtf t πππ-=-+===-+=+⎰⎰⎰22002()cos cos =1()1()cos 1f x x dx dx f x f x xdx πππ+++==⎰⎰⎰原式22cos 11xxdx e ππ-=+⎰例如：16.已在函数2()3()f x x fx dx =，则()f x =___________。

120().a f x dx ⎰记=2222()96(1)f x x x a=--则有：1201112220()96(1)f x dxx dx a a x dx∴=-+-⎰⎰⎰⎰122021236((1)),232990,a a x a a a =---+-+=332a a ==或()33f x x x =-17.21I 1tan n ndx x =+⎰π设，则I n =_____。

222200201I 1tan cos cos sin 1cos sin ()2cos sin sin cos 124n nn n nn n n n n n dx x xdx x x x x dx dx x x x x dx ππππππ=+=+=+++==⎰⎰⎰⎰⎰设18.21lim knn k n k nen ne →∞=+∑_=______。

22111limlim1k k nnn n k k n n k k nneenn nee→∞→∞====++∑∑112200arctan 411()x x x x e de dx e e e π===-++⎰⎰ 19.设C 是从球面2222x y z a ++=上 任一点到球面2222x y z b ++=上任一点 的任一条光滑曲线(0,0)a b >>，则3()Cr xdx ydy zdz ++=⎰_______，其中r =33222324455()1()21=2()1()5CC CC barxdx ydy zdz r dx dy dz r dr r dr r drb a ++=++===-⎰⎰⎰⎰⎰20.设曲线22:14x L y +=的周长为l ，则2(2)Lx y ds +⎰ =__________。