注 ： 零 向 量 方 向 任 意 . 2.旋 转 曲 面 、 柱 面
1旋转曲面： yoz坐标面上曲线C：f y,z0
绕z轴旋转得旋转曲面：f x2y2,z 0 绕y轴旋转得旋转曲面：f y， x2y2 0
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2 柱面：
Fx,y0表 示 母 线 平 行 于 z轴 的 柱 面 .其 准 线 为F z 0 x,y0
点 M 0x0,y0,z0到 平 面 A xB yC zD0的 距 离
dA x0B y0C z0D A 2B2C 2
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结论：
平面 1：A1xB1yC1zD10 2：A2xB2yC2zD2 0 11//22 nrnr11//nrn2r2 AAnr121nr2BB12 A1C C A122B1B2C1C2 0
参 数 式 ： x x t y y t z z t
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2 空 间 曲 线 在 坐 标 面 上 的 投 影
空 间 曲 线 L :G F x x ,,y y ,,z z 0 0 消 去 zH x ,y 0 H z 0 x ,y 0 投 影 柱 面
H z 0 x , y 0 就 是 空 间 曲 线 L 在 x o y 上 的 投 影 曲 线 .
向 量 a r 0 c o s、 c o s、 c o s a a r r是 与 a r 同 方 向 的 单 位 向 量
2向量的运算 设 a r a x ,a y ,a z
r b b x ,b y ,b z
加 法 ： 按 平 行 四 边 形 法 则 （ 三 角 形 法 则 ） 相 加
ur uur uur
ur
uur
uur
结论: Prj a1 a2 L an Prja1 Prja2 L Prjan
空间中有两点 uuur r
Ax1,
y1,
z1
Bx2, y2,z2
向量ABa ax,ay,az x2 x1, y2 y1,z2 z1
rrr
axi ay j azk
r
ax,ay,az叫向量 a的坐标.
xx0m t 参 数 式 ： yy0nt
zz0pt
(在 点 向 式 中 令 等 式 为 t可 得 参 数 式 ）
两 点 式 ： xx1 yy1 zz1 x2x1 y2y1 z2z1
的方向.
rrr
arbr aix
j ay
k az
bx by bz
r
r
r
aybz azby i azbxaxbz j axby aybx k
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满足： arbr crarcrbrcr arbrarbr arbr (为数）
结 论 ： ara r br 0 brara r//b r a rb r a r b r 0 r a r b r a rb r 0
同 理 可 得 L 在 其 他 坐 标 平 面 上 的 投 影 曲 线
4.平 面 、 直 线 方 程 平面方程
点 法 式 ： A xx0B yy0C zz00
A ,B ,C 为 平 面 的 法 向 量 .
截距式： xyz1 abc
一 般 式 ：A xB yC zD0
n rA ,B ,C 为 平 面 的 法 向 量 ,D0平 面 过 坐 标 原 点 ,A=0
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1.向量
二.内容提要
1 向 量 的r u u u r
向 量 A B 在 u 轴 上 的 投 影 P rju A B A B c o s
u u u r 为 向 量 A B 与 u 轴 正 向 的 夹 角
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直线方程
一 般 式 ： A A 1 2 x x + + B B 1 2 y y + + C C Z 2 1 Z + + D D 1 2 = = 0 0 两 平 面 不 平 行 、 不 重 合
点 向 式 ： xx0yy0zz0
mn p
m 0x0,y0,z0为 直 线 上 的 点 , s r m ,n ,p 为 直 线 的 方 向 向 量
a rb raxb x、 ayb y、 azb z
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数 乘 ：ar仍 为 向 量 ， 当 0时 ,ar与 ar同 向 ， 当 0时 ,ar与 ar反 向 ， 且ar ar
arax,ay,az
数量积：两个向量的数量积是一个数.
ar
r b
ar
r b
cos
ar
r prjab
r b
平 面 过 x轴 ,AB0平 面 平 行 于 xoy面 .
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2两 平 面 的 夹 角
1： A1xB1yC1zD 10 2： A2xB2yC2zD 20
cosn rr1orn r2
A1A2B1B2C1C2
n1 n2 A12B12C12 A22B22C22
3点 到 平 面 的 距 离 ：
p rjb ar
其
中
为
向
量
ar
与
向
量
r b的
夹
角
，
ar，
r b
0
ar
r b
axbx
a yby
azbz
满 足 ar
r b
r b
ar
ar
r b
cr
ar
cr
r b
cr
ar
r
b
ar
r b
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向量积：两个向量的向量积是一个向量.
arbr
ar
r
b sin
a·rbr
arbr的方向垂直于ar与br决定的平面，arbr的指向 按右手规则，从ar转向br，大拇指的指向即arbr
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向 量 的 模 a r x1x22y1y22z1z22
其 中 a x 、 a r 、 c o s 分 别 为 a a 向 y x2 量 a a a r r与 yc 2o x s 轴 az,2y轴 a ,z z 轴 正 a r 向 c o 的 s 夹 角 .
co s、 co s、 co s叫 向 量 a r的 方 向 余 弦 ， 且 满 足 ： co s2co s2co s2 1
Hx,y0表 示 母 线 平 行 于 x轴 的 柱 面 . Gx,y0表 示 母 线 平 行 于 y轴 的 柱 面 . 3 . 空 间 曲 线 的 方 程 及 在 坐 标 面 上 的 投 影
1 方程
一 般 式 ： G F x x , ,y y , , z z 0 0 ( 两 个 曲 面 的 交 线 ）