第二章数学活动课(刘绍中)一、教学目标（一）学习目标1.用整式和整式的加减运算表示实际问题中的数量关系.2.掌握从特殊到一般，个体到整体的观察分析问题的方法去解决规律问题.3.体验数形结合的思想，由特殊到一般的研究方法.（二）学习重点用整式和整式的加减运算表示实际问题中的数量关系.（三）学习难点（1）用整式和整式的加减运算表示实际问题中的数量关系.（2）掌握从特殊到一般，个体到整体的观察分析问题的方法解决规律问题二、教学设计（一）课前设计1.预习任务如图所示是一组有规律的图案，第（1）个图案由4个基础图形组成，第（2）个图案由7个基础图形组成，……第n（n是正整数）个图案由31n+个基础图形组成．2.预习自测（1）如图是一组由深圳世界大学生运动会吉祥物“”组成的有规律的图案，请你观察比较它们组成的规律，试判断第n个图案需要用“”（）A．(1)n n+B．(1)2n n+C．(1)2n+D．2n【知识点】整式表示数量关系【解题过程】解：第一个图案1个，第二个图案123+=个，第三个图案1236++=个，第四个图案123410+++=个…第n个图案123n++++=(1)2n n+,故选B.【思路点拨】从前四个图中去发现数据的变化规律，从列出整式表示数量关系.【答案】B.（2）某市出租车的收费标准为：起步价12.50元，3千米后每千米2.40元，某人乘坐出租车行驶x（3x>）千米，试用含x的式子表示他应付的费用，并求出当8x=时，这一式子的值．【知识点】整式表示数量关系【解题过程】解：总费用= 12.50 2.4(3)x +-= 2.4 5.3x +， 当8x =时，原式= 2.48 5.324.5⨯+=【思路点拨】总费用=起步价+单价×超过3千米的部分，在代入求值即可. 【答案】2.4 5.3x +，24.5.（3）若a 表示一个三位数，b 表示一个两位数，若把a 放在b 的左边组成一个五位数，则这个五位数是 ．【知识点】用整式解决实际问题【解题过程】解：把a 放在b 的左边组成一个五位数，相当于b 的值不变，a 的小数点向右移动了三位，所以，所得的数是100a b +. 故答案为：100a b +.【思路点拨】把a 放在b 的左边组成一个五位数，相当于把a 乘以100求出所得的积，再加上b .【答案】100a b +.（4）如图，在边长为a 的正方形的四个角挖去边长为b 的四个小正方形． （1）余下的部分（阴影部分）的面积为多少? （2）当9a =，3b =时，阴影部分的面积是多少? 【知识点】整式解决实际问题，并求值.【解题过程】解：(1)余下部分的面积为224a b -； (2)当9a =，3b =时，224a b -22943813645=-⨯=-=. ∴当9a =，3b =时，阴影部分的面积是45.【思路点拨】(1)阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积，正方形的面积等于边长的平方．(2)把a 、b 的值代入(1)所列式子中计算即可. 【答案】(1) 224a b -；(2)45.(二)课堂设计1.知识回顾（1）用字母表示数的含义可以使实际问题中的数量关系更加的简洁、规范. （2）整式的加减运算实际就是去括号合并同类项.（3）用整式表示实际问题中的数量关系的方法及步骤：弄清数量关系，注意语句顺序，熟记常用公式，规范书写.2.问题探究探究一 用整式表示规律问题中的数量关系 ●活动① 回顾旧知，整式表示数量关系师问：用整式表示实际问题中的数量关系的方法和步骤是什么？ 学生举手抢答.师：整式的加减运算是什么？ 学生举手抢答.【设计意图】通过复习提问，为用整式表示规律问题中的数量关系作好铺垫. 探究二 ★▲●活动① （大胆操作，探究整式表示规律中的数量关系的方法） 如图所示，用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形. (1)如果图形中含有n 个三角形，需要多少根火柴棍? (2)当图形中含有2019个三角形时，需要多少根火柴棍?师生活动：学生分成几个小组，利用准备好的的火柴棍动手摆放图形进行探究.学生代表展示小组讨论的过程和结果.【设计意图】通过学生动手操作、讨论交流，初步感知特殊到一般的观察、分析的数形结合思想方法.●活动② （集思广益，发现如何探究规律问题中的数量关系的方法） 12222n -+++++=2n +时，21n +=2×2019+1=4025追问：还可以从图像的哪些角度去思考，寻找数据的变化规律？放两类统计计算，可得这种研究图形变化规律的方法：数形结合的思想方法和特殊到一般的思想方法【设计意图】应用列表法得到用整式表示三角形个数和所用火柴棍的根数的对应关系，让学生体会到特殊到一般、数形结合、个体到整体的观察、分析问题的方法. 探究三 ★▲●活动① （基础性例题）师问：今天学习了数学中很重要的思想方法即数形结合、特殊到一般的思想方法，你能利用它可以解决图形规律变化的问题吗？例1.如图所示，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形，…，按照这样的方法拼下去，第n 个大正方形比第()1n -个大正方形多多少个小正方形（ ）.A.()221n n +-⎡⎤⎣⎦；B. ()221n n --⎡⎤⎣⎦；C.()()2211n n +--⎡⎤⎣⎦； D.()21n -. 【知识点】整式表示规律.【数学思想】特殊到一般、数形结合.【解题过程】解：∵第一个图形有224=个正方形组成，第二个图形有239=个正方形组成，第三个图形有2416=个正方形组成，∴第n 个图形有21n +（）个正方形组成，第1n -（）个图形有2n 个正方形组成， ∴第n 个大正方形比第1n -（）个大正方形多221n n +-（）个小正方形. 故选A.【思路点拨】观察题目，将第一、二、三个图形的小正方形个数表示出来，根据图形中小正方形的个数规律得出变化规律，第n 个图形有21n +（）个正方形组成，此时即可得出第n 个大正方形比第1n -（）个大正方形多多少个小正方形. 【答案】A.【知识点】整式表示规律【数学思想】数形结合思想、特殊到一般思想【解题过程】解：(1)图形编号为③中三角形的个数为9=4×3-3；【思路点拨】(1)结合题意，总结可知，每个图中三角形个数比图形的编号的4倍少3个三角形由此可计算出答案；(2)根据(2)中的规律可直接写出答案.【答案】4n-3.【设计意图】使学生通过由图形的变化规律去发现数据的变化规律，从而用含字母的式子把一般性的规律表示出来，进一步体会数形结合思想和特殊到一般的研究方法.●活动2 （提升型例题）例2．一种笔记本售价为2.3元/本,如果买100本以上(不含100本),售价为2.2元/本,列式表示买n本笔记本所需钱数(注意对n的大小要有所考虑).请同学们讨论下面的问题:(1)按照这种售价规定,会不会出现多买比少买反而付钱少的情况?(2)如果需要100本笔记本,怎样购买能省钱?(3)了解实际生活中的类似问题,并举出几个例子.【知识点】整式解决实际问题.【数学思想】分类讨论思想.【解题过程】解:(1)当100n>时:需要的钱数是2.2n元；当n≤时:需要的钱数是2.3n元；当100⨯=元,由2.2230n<，n<得：104.5n=时,需要的钱数是2.3100230100则100104<≤时,会出现多买比少买反而付钱少的情况；n(2)因为如果需要100本笔记本,购买101本时,需要的钱数是101 2.2222.2⨯=(元),购买100本时,需要的钱数是100 2.3230⨯=(元),所以如果需要100本笔记本,购买101本能省钱；(3)例如一个乒乓球售价为2元/个,如果买10个以上(不含10个),售价为1.9元/个,按照这种售价规定,会不会出现多买比少买反而付钱少的情况?【思路点拨】(1)分两种情况讨论,一种是不超过100本,另一种是超过100本,分别求出各自的代数式即可.(2)因为买100本以上(不含100本)售价较低,所以可以购买101本笔记本比较省钱.【答案】（1）100104<≤时,会出现多买比少买反而付钱少的情况；（2）购买101本能省钱；n（3）略.练习：A、B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A公司年薪两万元，每年加工龄工资400元，B公司半年薪一万元，每半年加工龄工资100元，求A、B两家公司，第n年的年薪分别是多少，从经济角度考虑，选择哪家公司有利？【知识点】整式表示数量关系.【数学思想】分类讨论思想.【解题过程】解：A公司第n年的年薪是20000400119600400（）；n n+-=+B公司第n年的年薪是200001002119900200（）．n n+-=+A、B公司第n年的年薪差为1960040019900200200300（）（）．+-+=-n n n当1n-＜，此时选择B公司有利；n=时，2003000当2n-＞，此时选择A公司有利．n≥时，2003000【思路点拨】提示1：根据题意列出A、B两公司第n年的年薪的代数式，对这两个式子进行比较即可．提示2：解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．此题为文字阅读题，学生要养成仔细阅读理解的习惯．【答案】200300n-＜，此时选择B公司有利；n=时，2003000n-，当1当2n-＞，此时选择A公司有利．n≥时，2003000【设计意图】使学生通过由图形的变化规律去发现数据的变化规律，从而用含字母的式子把一般性的规律表示出来，进一步体会数形结合思想和特殊到一般的研究方法.3.课堂总结知识梳理（1）整式和整式的加减表示数量关系.（2）列表整理分析数据，发现变化规律. （3）数形结合思想、特殊到一般思想. 重难点归纳（1）列表整理分析数据，发现变化规律. （2）数形结合思想、特殊到一般思想.（三）课后作业基础型 自主突破,根据这组数的规律【知识点】整式解决规律问题中数量关系. 【数学思想】特殊到一般.【解题过程】解:分子为1,2,3,4,5,,第100个数的分子为100,分母为3,5,7,9,11,第100个数的分母为12100201+⨯=,第100个数为:100201,因此，本题正确答案是: 100201. 【思路点拨】这是一组分数,分子是从1开始的连续自然数n ,分母是从3开始的连续奇数,且每个分数的分子分母存在的关系: 12nn+,故本题可解. 【答案】100201. 2.观察图中给出的四个点阵，S 表示每个点阵中的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第10个点阵中的点的个数S 为（ ）. 【知识点】整式表示数量关系.【数学思想】特殊到一般、数形结合思想.【解题过程】解：看图可知，第n 幅图就比第一幅图多1n -（）个4，所以第n 幅图中点的个数就是1n -（），再乘以4，然后加1，列式为：()141n -⨯＋=441n －＋=43n － 所以第10个图形点的个数S =4×10-3=37.【思路点拨】仔细看图，分析图中点的数量的变化，发现规律是：第n 幅图就比第一幅图多1n -（）个4，据此即可解题；在找出点的总个数的关系后，不要忽略第n 的图中点的总个数应加上1，否则导致答案错误. 【答案】43n －.3.如图所示，则第2019个图形中笑脸的个数是 ，第n 个图形中笑脸的个数是 . 【知识点】整式表示数量关系. 【数学思想】特殊到一般.【解题过程】解：根据题意可知，第2019个图形中笑脸的个数是4016个，第n 个图形中的笑脸的个数是2n .【思路点拨】分析笑脸的个数与n 的值之间的变化规律，笑脸的个数总是n 的值的2倍，根据这一规律可以分析出第2019个图形笑脸的个数以及第n 个图形笑脸的个数. 【答案】4016，2n .4.如图，用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n 个图形需要围棋子的枚数是( ).第1个 第2个 第3个A.5nB. 51n －C. 61n －D. 221n ＋【知识点】整式表示数量关系.【数学思想】特殊到一般、数形结合思想.【解题过程】解：依题意得：摆第1个“小屋子”需要5枚围棋子； 摆第2个“小屋子”需要11枚；摆第3个“小屋子”需要17枚． 则摆第n 个图形需要围棋子的枚数为(61)n －个，故选C.【思路点拨】本题中可根据图形分别得出n =1，2，3，4时的小屋子需要的点数，然后找出规律得出第n 个时小屋子需要的点数． 【答案】C.5.图是用棋子摆成的图案，每条边上有n (2n ≥)个棋子，每个图案棋子的总数是S ，按此规律推断S 与n 的函数关系式为________． 【知识点】整式表示数量关系.【数学思想】特殊到一般、数形结合思想.【解题过程】解：由图可知，当n =2 时，242S ==当n =3 时，293S ==；当n =4 时，2164S ==……；因而2S n =【思路点拨】本题中可根据图形分别得出n =1，2，3，4时的图案需要的点数，然后找出规律得出第n 个时图案需要的点数. 【答案】2S n =.6.如图，以一根火柴棍为一边，用火柴棍拼成一排由正方形组成的图形，如果图形中含有2 013个正方形，则需要根火柴棍.【知识点】整式表示数量关系.【数学思想】特殊到一般、数形结合思想.【解题过程】解：1n=时，有4根火柴；2n=时，有437=＋根火柴；3n=时，有42313⨯=＋根火柴；…，()41331S n n=-⨯=＋＋，当 2 013n=时，3 2 01316040S=⨯=＋【思路点拨】易得1n=时火柴的根数，分别求得n为任意值时，火柴的根数在4的基础上增加了几个3即可．【答案】6040.能力型师生共研【答案】11 10 a -.2.如图是一个有规律排列的数表,请用含n的代数式(n为正整数)表示数表中第n行第n列的数.【知识点】整式表示规律图形中数量关系.【数学思想】特殊到一般.【答案】21n n -+.探究型 多维突破【知识点】整式表示数量关系.【解题过程】当户月用水量是26方时：()()12 1.520122262036a a a a +-+-=；当户月用水量是n 方时：()()()12 1.5201222028a a a n n a +-+-=-表中空格从左至右依次填36a 和()28n a -.【思路点拨】分别计算出312m ，按a 元/ 3m 收费，若超过38m ，按1.5a 元/3m 收费，超过320m ，按2a 元/3m 收费，然后计算三部分的和即可求解．【答案】36a 和()28n a -.2.一组有规律的图案如图所示，第1个图案有4个五角星，第2个图案有7个五角星，第3个图案有10个五角星，……，第2019个图案有____个五角星．第1个图案 第2个图案 第3个图案【知识点】整式表示数量关系.【数学思想】特殊到一般、数形结合思想.【解题过程】第一个图有4个五星，第二个图有4+3个五星，第三个图有4+3+3个五星…第n 个图有43(1)n +-，所以2019个图有43(1)n +-=43(20141)+⨯-=6043.【思路点拨】以第一个图的个数4为基础，以后每增加一个图就增加3个五星，从而发现增加的个数与对应图像个数的对应关系,从而发现变化规律，用含n 的式子表示出来即可.【答案】6043.自助餐1.观察下面的一列单项式：x -、22x 、34x -、48x 、516x -、…根据其中的规律，得出的第10个单项式是（ ）.A.9102x -B. 9102xC.992x -D.992x【知识点】整式表示数量关系.【数学思想】特殊到一般.【解题过程】解：依题意得：（1）n 为奇数，单项式为：12n n x --（）； （2）n 为偶数时，单项式为：12n n x -（）． 综合（1）、（2），本数列的通式为：12n n x -（-），∴第10个单项式为：9102x ．故选：B ．【思路点拨】通过观察题意可得：n 为奇数时，单项式为负数．x 的指数为n 时，2的指数为（1n -）．由此可解出本题．【答案】B.2.一组按规律排列的多项式：a b +，23a b -，35a b +，47a b -，…，其中第10个式子是（ ）.A.1019a b +B.1019a b -C.1017 a b -D.1021a b -【知识点】整式表示数量关系.【数学思想】特殊到一般.【解题过程】解：多项式的第一项依次是a ，2a ，3a ，4a ，…，n a ， 第二项依次是b ，3b -，5b ，7b -，…，1211n n b +﹣（﹣）， 所以第10个式子即当n =10时，代入后得到12110191n n n a b a b +-+=-（-），故选B ．【思路点拨】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律．【答案】B.3. 如图，是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当每边摆上20（n =20）根时，需火柴棍为 根，若当每边摆上n 根时，试写出需火柴棍为 根．【知识点】整式表示数量关系．【数学思想】特殊到一般．【解题过程】解：由图形可知：当1n =时，火柴总数为31⨯，当2n =时，火柴总数为312⨯+（），当3n =时，火柴总数为3123⨯++（）， ∴当20n =时，火柴总数为312320630⨯++++=（），当每边摆上n 根式，火柴总数为3123n ⨯++++=（）3(1)2n n + 【思路点拨】根据图中规律可发现，每边增加一根火柴，火柴总数就会比前面增加3n 根火柴．【答案】630，3(1)2n n +． 4.如图是①2019年10月日历，现用一长方形在日历中任意框出4个数如图②，请用一个等式表示a 、b 、c 、d 之间的关系： ．【知识点】整式表示数量关系．【数学思想】特殊到一般．【解题过程】解：∵a 、b 、c 、d 是任意框出4个数，∵81728a a a a a ++=+++=+（）（）（），∴a d b c +=+，故答案为：a d b c +=+．【思路点拨】根据日历，用a 表示出b 、c 、d ，便不难得到规律．【答案】a d b c +=+.5.观察下列顺序排列的等式：猜测第n 个等式（n 为正整数）应为 ．【知识点】整式表示数量关系.【数学思想】特殊到一般.【解题过程】解：根据分析：即第n 个式子是911011109n n n n -+=+=-（）（﹣）．故答案为91109n n n -+=-（）．【思路点拨】这几个等式中，左边：第几个式子是9乘以（几减1），再加上几；右边：第几个式子即十位是几减1，个位是1．【答案】91109n n n -+=-（）．6.观察下列图形它们是按一定的规律排列的，依照此规律，第20个图形的“★”有多少个？【知识点】整式表示数量关系.【数学思想】特殊到一般.【解题过程】解：根据规律第一个图有3个★，第二个图有6个★，第三个图有9个★，…可知第n 个图形有3n 个★，所以第20个图形共有20360⨯=个★．另解：通过观察发现每行五星组成的三角形的边上分别有（1n +）个五星，共有31n +（）个，但每个角上的五星重复加了两次，故五星的个数为3(1)33n n +-=个，故第20个图象共有60个★，故第20个图形的“★”有60个．【思路点拨】排列组成的图形都是三角形．第一个图形中有133⨯=个★，第二个图形中有236⨯=个★，第三个图形中有339⨯=个★，…第20个图形共有20360⨯=个★．【答案】第20个图形的“★”有60个．。