建模案例-人口增长模型
4．1 人口统计模型
人口统计模型Ι ：某城市1990年的人口密度近似为24()20P r r =+。
表示市中心 公里区域内的人口数，单位为每平方公里10万人。
(1) 试求距市中心 区域内的人口数N ； (2) 若人口密度近似为
，单位不变，试求距市中心
区域内的人口数。
(⎰⋅=2
02)(10rdr r p N π)
人口统计模型ІІ：设
表示 时刻某城市的人口数，假设人口变化动力学受下列两条规则影响.
（1） 时刻净增人口以每年
的比率增加； （2）在一段时间内，比如说从
到 ，由于死亡或迁移， 时刻的人口数 的一部分在
时刻仍然存在，我们用 来表示，
， 是这段时间的长度。
试建立在任意时刻
人口规模的模型。
本模型可分下列两方面考虑：
（1） 初始时刻t=0,人口数为P(0)，到T 时刻，人口数剩下h(T)p(0)；
（2） 在t t t ∆+>-时间，人口增长数为t t r ∆⋅)(，到T 时刻时，由于死亡或迁移，只剩下t t r t T h ∆⋅⋅-)()(，所以，在T 时刻，由人口增长因素所产生的人口数为⎰-T dt t r t T h 0)()( 因此，在T 时刻，总人口数⎰-+=T
dt t r t T h p T h T p 0)()()0()()(
0 t t t ∆+ T
4．2 预报人口增长模型
模型一、malthus 指数增长模型
（1） 在t 时刻，人口数为P(t)，由于人口基数很大，可以认为P(t)为连续可导函数；
（2） 人口在自然增长过程中的净增长率(r >0)为常数，即单位时间人口的增长量与当时
的人口成正比；
（3） 在t t t ∆+>-时间，00)(),()()()()(p t p t rp dt
t dp t t p r t p t t p ==⇒∆⋅=-∆+
⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=0
0)()()(p t p t p r dt t dp rt e p t p 0)(= Malthus 模型的局限性：人口自然增长率r 是一常数并不总是成立。
事实上在人口比较稀少，资源丰富的条件下才存在这一规律，但当人口数量达到一定程度时，由于土地，资源的限制，会出现食物短缺、资源紧张、环境恶化并伴随战争与传染病的威胁。
这些因素对人口增长产生了阻滞作用，此时人口增长率随人口增加而减少。
模型二、Logistic 阻滞增长模型
（1） 在t 时刻，人口数为P(t)，由于人口基数很大，可以认为P(t)为连续可导函数；
（2） 人口在自然增长过程中的净增长率)0,()(00>⋅-=s r p s r p r ；
（3） )(00固有增长率时的增长率表示在=p r ；
（4） 自然资源与环境条件所能容纳的最大人口数量m p 。
建模：当m p p =时，)1()(0)(00m m m p p r p r p r s p r -=⇒=⇒= )(0
00000)1(1)()()1(t t r m m m e p p t p p t p p p p r dt dp --+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-= P （人口） 说明：
1） Logistic
2） 人口增长率dt dp 最大值，在2
m p p =点达到。
3） Logistic 模型的局限性：是m p 不易准确得到。
4．3 随机性人口模型
如果研究对象是自然村落或一个家族人口，数量不大，需作为离散变量看待时，就利用随机性人口模型来描述其变化过程：
----)(t z 时刻t 的人数，----==))(()(n t z p t p n 人口为n 的概率。
假设:
1) 出生与死亡是相互独立的；
2) 在],[t t t ∆+内出生一人的概率与t ∆成正比，记作t b n ∆；出生二人或二人以上的概率为)(t o ∆；
3) 在],[t t t ∆+内死亡一人的概率与t ∆成正比，记作t d n ∆；死亡二人或二人以上的概率为)(t o ∆；
4) n n d b ,均与n 成正比，记为μλμλ,,,n d n b n n ==分别为单位时间内1=n 时一个人出生和死亡的概率。
模型建立：n t t z =∆+)(可分解为下列三个互不相容的事件之和：
.
)(;1)(;
1)(内无人出生与死亡且且死亡一人且出生一人t n t z n t z n t z ∆=+=-=
按全概率公式：
)1)(()()()(1111t d t b t p t d t p t b t p t t p n n n n n n n n ∆-∆-+∆+∆=∆+++-- ))(()()()()(1111n n n n n n n n n n d b t p d t p b t p t
t p t t p dt dp +-+=∆-∆+=++--
))(()()1()()1(11μλμλ+-++-=+-t np t p n t p n dt dp n n n n 若初始条件（t=0）人口为确定数量0n ，则)(t p n 的初始条件为⎩
⎨⎧≠==00,0,1)0(n n n n p n 由于上述微分方程求解困难，因此我们讨论它们的数学期望))((t z E 和方差))((t z D 。
定义 )1()())((1-------------=∑∞
=n n
t np t Z E （1） 式两边对t 求导：
))
(()()()()
()()()1()()1()()()()1()()1(11121
111
2111t z E t np t np t p n t np n t p n n t p n t p n n t p n n dt dE n n n n n n n n n n n n n n n n μλμλμλμλμλμλ-=-=+--++=+-++-=∑∑∑∑∑∑∑∑∞
=∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞=+-
t Ce t z E )())((μλ-=∴
由0))0((n Z E =得：0n C = t e n t z E )(0))((μλ-=∴
这个结果与Malthus 模型在形式上一致，其中μλ-是净增长率。
定义： 212)))((()())((t z E t p n
t z D n n -=∑∞=
同理可求：]1[))(()()(0--+=--t t e e n t Z D μλμλμ
λμλ ))((t Z D 的大小表示人口)(t Z 在平均值))((t Z E 附近的波动范围。
))((t Z D 不仅随时间的延续和净增长率的增加而变化，而且即使当μλ-不变时，它也随着λ和μ的上升而增长，这就是说， 当死亡和出生频繁出现时，人口的波动范围变大。
4．4 练习题
1． :动物数量的预测问题
动物繁殖是一个非常复杂的问题，但是如果把影响繁殖的许多次要因素忽略掉或简化，我们仍然可以用微分方程来描述动物繁殖的近似规律，从而来预测动物的未来的数量。
先考虑一种与外界完全隔绝的某种动物，这里所说的与外界完全隔绝是指他们中间除了本族的
出生和死亡之外，既无迁出也无迁入。
设在时间 内这一种动物的数目为 ，并设他们的出生率和死亡率分别为 和 。
假设它们出生数和死亡数都和 时的动物数及时间成
正比.请讨论动物数 与时间 之间的函数关系，并给出数值计算的实例。
2．人口迁移问题
在某国，每年有比例为p 的农村居民移居城镇，有比例为q 的城市居民移居农村，假设该国总人口数总是以比例为r 的速度增长，但上述人口迁移的规律总是不变，把n 年后农村人口与城市人口占总人口的比例依次记为n x 和n y 。
试推导n x 和n y 变化规律。