混沌学是随着现代科学技术的迅猛发展，特殊是在计算机技术浮现和普遍应用的基础上发展起来的一门新兴交叉学科。

混沌学属于非线性科学的范畴，而非线性科学是近代才发展起来的、解决传统线性科学不能解决的问题的科学。

要了解混沌理论的重要性和意义，有必要回顾一下线性科学的特点及其不足。

线性是指量与量之间的正比关系；在直角坐标系里，这是用一根直线表征的关系。

近代自然科学正是从研究线性系统这种简单对象开始的。

由于人的认识的发展总是从简单事物开始的，所以在科学发展的早期，首先从线性关系来认识自然事物，较多地研究了事物间的线性相互作用，这是很自然的。

于是在经典物理学中，首先考察的是没有磨擦的理想摆，没有粘滞性的理想流体，温度梯度很小的热流等；数学家们首先研究的是线性函数、线性方程等。

理论家们在对大自然中的许多现象进行探索时，总是力求在忽略非线性因素的前提下建立起线性模型，至少是力求对非线性模型做线性化处理，用线性模型近似或者局部地代替非线性原型，或者借助于对线性过程的弱小扰动来讨论非线性效应。

经过长期的发展，在经典科学中就铸造出一套处理线性问题的行之有效的方法，例如傅立叶变换、拉普拉斯变换、传递函数、回归技术等；就是设计物理实验，也主要是做那些可以做线性分析的实验。

从这个特点看来，经典科学实质上是线性科学。

线性科学在理论研究和实际应用上都有十分光辉的发展，在自然科学和工程技术领域，对线性系统的研究都取得了很大的成绩。

线性科学的长期发展，也形成为了一种扭曲的认识或者“科学思想”，认为线性系统才是客观世界中的常规现象和本质特征，才有普遍规律，才干建立普通原理和普适方法；而非线性系统只是例外的病态现象和非本质特征，没有普遍的规律，只能作为对线性系统的扰动或者采取特殊的方法做个别处理。

由此得出结论说，线性系统才是科学探索的基本对象，线性问题才存在理论体系；所以经典科学的长期发展，都是封闭在线性现象的圈子里进行的。

然而，线性与非线性物理现象有着质的差异和不同的特征：(1)从结构上看，线性系统的基本特征是可叠加性或者可还原性，部份之和等于整体，几个因素对系统联合作用的总效应，等于各个因素单独作用效应的加和；于是描述线性系统的方程遵从叠加原理，即方程的不同解加起来仍然是方程的解；分割、求和、取极限等数学操作，都是处理线性问题的有效方法；非线性则指整体不等于部份之和，叠加原理失效。

(2)从运动形式上看，线性现象普通表现为时空中的平滑运动，可以用性能良好的函数表示，是连续的，可微的。

而非线性现象则表现为从规则运动向不规则运动的转化和跃变，带有明显的间断性、突变性。

(3)从系统对扰动和参量变化的响应来看，线性系统的响应是平缓光滑的，成比例变化；而非线性系统在一些关节点上，参量的弱小变化往往导致运动形式质的变化，浮现与外界激励有本质区别的行为，发生空间规整性有序结构的形成和维持。

正是非线性作用，才形成为了物质世界的无限多样性、丰富性、蜿蜒性、奇妙性、复杂性、多变性和演化性。

在科学还处在主要以简单关系为研究对象的阶段，线性方法曾经是十分有效的。

线性关系容易思量，容易解决，可以把它一块块地分割开进行考察，然后再一块块地拼合起来。

而非线性问题、非线性方程往往是桀骜不驯、个性很强的，很难找到普遍的解决方法，只能对具体问题做具体分析，针对个别问题的特点采取特殊的处理方法。

所以历史上虽然有过一些解非线性方程的巧妙方法，但与大量存在的非线性问题相比，只算是凤毛麟角；甚至人们一遇到非线性系统或者发现方程中的非线性项时，就想尽办法回避，或者加以舍弃，使之“线性化”。

到20 世纪60 年代以后，情况才有了改变。

由于电子计算机的广泛应用和由此发展起来的“计算物理”和“实验数学”的方法的利用，人们从研究可积系统的无穷多自由度的非线性偏微分方程中，在浅水波方程中发现了“孤子”，并得出了一套一些类型非线性方程的解法；从一些看起来不甚复杂的不可积系统的研究中，发现了确定性动力系统中存在着对初值极其敏感的混沌运动。

人们越来越明白地认识到，“大自然无情地是非线性的。

”在现实世界中，能解的、有序的线性系统才是少见的例外，非线性才是大自然的普遍特性；线性系统其实只是对少数简单非线性系统的一种理论近似，非线性才是世界的魂魄。

要真正进一步认识这个世界，必须研究非线性现象。

这样，就逐渐形成为了贯通物理学、数学、天文学、生物学、生命科学、空间科学、气象科学、环境科学等广泛领域，揭示非线性系统的共性，探讨复杂性现象的新的科学领域“非线性科学”。

每一门科学有它自己的非线性问题，并形成各自的非线性学科分支。

非线性科学不是各门非线性学科的简单综合，它研究浮现于各种具体的非线性现象中的那些共性。

这些共性有的已可以用适当的数学工具描述，表现为一些数学定律，但有的还难找到相应的数学描述，没有严格的数学理论。

非线性科学着眼于定量的规律，主要用于自然科学和工程技术，对社会科学的应用普通还局限在类比和猜测，难以有实质性的定量结果。

普通认为非线性科学应包括以下3 个主要部份：孤立波，混沌，分形。

孤立波是在传播中形状不变的单波，有些孤立波在彼此碰撞后仍能保持原形，带有粒子的性质，称为孤立子，它们在不少自然现象和工程问题中遇到，如光导纤维通信技术的改进需要对光学孤立子性质有进一步的了解。

混沌是一种由确定性规律支配却貌似无规的运动过程。

近几十年通过数值实验、物理观测和数学分析得到确认并在自然和工程系统里找到许多有趣的例子。

分形是一个几何概念，它由像云彩、海岸线、树枝、闪电等不规整但具有某种无穷嵌套自相似性的几何图形抽象概括得出。

上述3 项内容在一个具体的非线性课题里又往往是联系着的。

如耗散系统的混沌过程往往可用相空间里一个分形描述。

又如近代前沿课题图型动力学里，某一系统的整体空间图型可能是分形，而局部的时间动态又要用混沌过程刻划。

再如在分岔理论里，要考虑系统怎样由于其参量改变而导致性态发生定性的变化，它除了引用传统的平衡、振动、稳定性等概念外，也考虑涉及混沌动态和分形图型的分岔问题。

混沌行为是在确定性非线性系统中不需附加任何随机因素就可浮现的类似随机的行为。

混沌学被认为是继相对论和量子力学问世以来，上世纪物理学的第三次革命，是非线性现象的核心问题。

混沌之所以受到学术界如此广泛的重视，主要是因为在现代的物质世界中，混沌现象无处不在，大至宇宙，小至基本粒子，无不受混沌理论的支配。

如气候变化会浮现混沌，数学、物理、化学、生物、哲学、经济学、社会学、音乐、体育中也存在混沌现象。

因此科学家们认为，在现代科学中普遍存在的混沌现象，打破了不同科学间的界限，混沌科学是涉及系统总体本质的一门新兴科学。

混沌研究提出了一些新问题，它向传统的科学提出了挑战。

如“决定论非周期流”即确定性系统中有时会表现出随机行为，这一论点打破了拉普拉斯决定论的经典理论，以至于连根深蒂固的牛顿力学也受到了它的冲击。

美国数学家彭加莱(Poincare)及洛伦兹(Lorenz)的发现表明：在复杂性面前，牛顿力学也是无能为力的，从而拉开了混沌研究的序幕，使混沌的研究成果给自然科学的一些最基本概念如确定性、随机性、统计规律等注入了新的含义，进而也给一些更普遍的哲学范畴如因果、机遇等赋予了新的含义。

同时，数学中的动态系统理论、分叉理论、遍历性理论和分形几何学等都在混沌研究中起着不可替代的作用。

实际上，混沌科学的研究也表明了，现实世界是一个有序与无序相伴、确定性与随机性统一、简单与复杂一致的世界，而那种只追求有序、精确、简单的观点是不全面的。

混沌有如下基本特征：1．轨道不稳定性(非周期性) 对某些参量值，在几乎所有的初始条件下，都将产生非周期性动力学过程，即混沌运动具有轨道不稳定性。

2．对初始条件的敏感性随着时间的推移，任意挨近的各个初始条件将表现出各自独立的时间演化，即存在对初始条件的敏感依赖性。

即著名的“胡蝶效应”。

3．长期不可预测由于初始条件仅限于某个有限精度，而初始条件的弱小差异可能对以后的时间演化产生巨大的影响，因此不可能长期预测将来某一时刻之外的动力学特性。

4．具有分形的性质分形(Fractal)这个词是由曼德布罗特在70 年代创立分形几何学时所使用的一个新词。

分形几何是以非规则几何形状为研究对象的几何学。

5．遍历性遍历性也称为混杂性。

混沌的“定常状态”不是通常概念下确定性运动的三种定常状态：静止(平衡)、周期运动、准周期运动：而是一种始终限于有限区域且轨道永不重复的、性态复杂的运动。

混沌系统的表现具有复杂性。

混沌系统的表现貌似随机的，它不是周期运动，也不是准周期运动，具有良好的自相关性和低频宽带的特点。

混沌信号具有逼近于高斯白噪声的统计特性。

需要指出的是：混沌的随机性与噪声的随机性不同。

噪声的随机性自始至终均是随机的，而混沌是遵守决定性方程，在一定条件下，浮现了貌似随机性，于是这种随机与噪声有所不同。

有的称为“假随机”或者“貌似随机”。

混沌的貌似随机是由于非线性方程对初值敏感而造成的。

混沌与随机过程的区别：从现象上看，混沌运动貌似随机过程，而实际上混沌运动却与随机过程有着本质的区别。

混沌运动是由确定性的物理规律这个内在特性引起的，是源于内在特性的外在表现，因此又称确定性混沌；而随机过程则是由外部的噪音引起的。

混沌具有确定性运动的特征：无周期而有序、Feigenbaum 普适常数、有界性和对初值具有强的敏感性，这些都是随机运动所没有的。

同时，Guckenheimer 还提出了一种依据“随机运动根本不可预测而混沌运动短期可以预测，长期不可预测”的算法，用来区分两种运动。

1 ．相空间。

在连续动力学系统中，用一组一阶微分方程描述运动，以状态变量(或者状态向量)为坐标轴的空间构成系统的相空间。

系统的一个状态用相空间的一个点表示，通过该点有惟一的一条积分曲线。

2 ．流和映射。

动力学系统随时间的变化，当发生在连续时间中时，将其称之为流，其对应于相空间的一条连续轨线；当发生在离散时间中时，则称之为映射，对应于相空间中的一些离散的相点。

3 ．不动点。

若 f ( x ) = x ，则x 为 f ( x )的不动点。

若 f '(x ) < 1，则x 为 f ( x ) 的吸引不0 0 0 0 0动点；若 f '(x ) > 1 ，则x 为 f ( x ) 的排斥不动点。

吸引不动点为稳定不动点，排0 0斥不动点为不稳定不动点。

4 ．吸引子。

指相空间的这样的一个点集S (或者一个子空间)，对邻域的几乎任意一点，当t → ∞ 时，所有轨迹线均趋于S ，吸引子是稳定不动点集。

5 ．奇妙吸引子。

又称混沌吸引子，指相空间中具有分数维的吸引子的集合。

该吸引子由永不重复自身的一系列点组成，并且无论如何也不表现出任何周期性。