1
2
(t )dt
二、自相关函数的定义：若f1(t)=f2(t)=f(t)，上述三个
公式即成为自相关函数的定义，记为R(τ)
26
三、互相关函数与自相关函数的性质 （一）互相关函数的性质
1 若对于所有的 , 都有R12 ( ) 0, 则称f1 (t )和f 2 (t )不相关. 2 若对于所有的 , 都有R12 ( ) 1, 则称f1 (t )和f 2 (t )完全相关. 3 互相关函数R12 ( )满足 : R12 ( ) R21 ( ).


f (t )e jt dt
/ 2 / 2
jt Ae dt
sin( / 2) A ASa / 2 2 F ( j )的零点满足如下关系: 从而得 : 2k

2
k , k 1,2,
第2章 确知信号与随机信号分析基础
本章包括信号分析、概率论与随机过程三个方面的 内容。这些内容已在《信号与系统》、《高等数学》中 学过，本章对其中的部分内容作一个复习和总结，只给 出结论，并尽量通俗地理解其中的物理意义及背景，不
作证明。此外，还有一些内容将在具体的章节中进行复
习。这些基本内容是学习《信息论》与《通信原理》的 必备的数学知识，要求大家掌握。

(n=1,2)

T0 2 T 0 2
(n=1,2)
3
2、指数形式 利用高等数学中的欧拉公式，可将三角形式的 付氏级数展开式变换成指数形式的级数展开式。周 期信号频谱Fn的特点是离散谱，如下图所示。
n jn 0 t f ( t ) F e n n T0 / 2 jn 0 t F 1 f (t )e dt n T 0 T0 / 2
a0 f (t ) (an cos n0t bn sin n0t ) 2 n1
2 其中：a0 T0

T0 2 T 0 2 T0 2 T 0 2
f (t )dt f (t ) cos n0tdt f (t )sin n0tdt
2 an T0 2 bn T0
(1)
F ( j )
1
0
t
0

6
2 直流信号f (t ) A 1 2 ( ) A 2A ( )
f (t )
F ( j ) (2A)
A
0
t
0

物理意义 : 直流信号对应频域中的 0频率分量, 带宽为0 对于随时间变化很慢的信号, 它的频带宽度(带宽)很窄
7
3. 矩形脉冲的付里叶变换 F ( j )
满足x(t)=x(t+T0)，则称为周期信号，T0为周期， 不满足上述关系的信号称为非周期信号。
17
三、能量信号与功率信号 设信号为f(t)，它为电压或电流，则作用在1Ω电 阻上的功率为p(t)=f 2(t)。
1、能量信号
若E lim f (t )dt
2 T T 2
T 2

27
（二）自相关函数的性质
1 R(0)的性质(可直接从定义获得) : 1 2 对于功率信号, R(0) lim f (t )dt S T T T / 2
T /2
对于能量信号, R(0)


f 2 (t )dt E
2 若对于所有的 , 都有R(0) R( ). 3 R( )是偶函数, 满足 : R( ) R( ).
注意：非周期信号的频谱F(ω)是连续谱，周
期信号的频谱Fn是离散谱，这个特征要记住。
5
三、常用信号的频谱
1. 单位冲激函数 (t ) E (t ) E 或 (t ) 1 物理意义 : 变化快的信号如很窄的脉冲等, 可近似用 数学模型 (t )来表示, 上式说明这类随时间变化很快 的信号的频谱很宽. (t )
因为其能量必为无穷大，为什么？ （2）对于非周期信号，可能为功率信号，也可能为能 量信号。如果其能量为有限值，则为能量信号， 如果其能量为无穷大，功率为有限值，则为功率
信号。一个信号或为能量信号，或为功率信号。
20
§4 Parseval定理（即能量守恒定理）
物理意义：能量守恒，时域能量等于频域能量， 即能量守恒不会变换后会发生改变。 一、对于能量信号f(t)，其频谱为F(jω)，则有
1 则 f1 (t ) f 2 (t ) [ F1 ( j ) F2 ( j )] 2 此定理的物理意义是: 时域相乘对应频域卷积ຫໍສະໝຸດ 16§3 信号的分类与特点
一、确定性信号与随机信号
确定性信号：可用确定的数学函数表示的信号， 且信号的取值是确定的。 随机信号：给定一个时间值时，信号的取值不确 定，只知其取某一数值的概率。 二、周期信号与非周期信号
E f (t )
2
dt
F ( j 2f )
2
df
1 2
F ( j ) d
2
二、对于周期信号f(t)，则有
f (t ) 1 S T0 Fn e n
T0 / 2 jn 0 t
Fn
0
f0
2 f0 3 f0 4 f0
f
4
二、非周期信号的付氏变换形式
1 j t F ( j )e d (逆变换) f (t ) 2 (1) F ( j ) f (t )e jt dt ( 正变换 ) (2) f (t ) F ( j ) 付里叶变换对
T
23
P ( ) lim
FT ( )
2
f (t )
t
fT (t )
f T (t ) FT ( )
t
T /2 T /2
24
§6 互相关函数与自相关函数 一、互相关函数的定义：
设有两个信号 f1 (t )和f 2 (t ), 则互相关函数 R12 ( )定义为
1、若为周期功率信号，设周期为T0，则

, k 1,2,
注意到信号的大部分能量集中在第一个主瓣内 , 2k 1 因此, 得此信号的带宽为 f


结论 : 矩形脉冲信号的带宽f与信号的宽度成反比
8
A
f (t )
/ 2 0
/2 t
9
数字信号频带宽度 f 估算 0 1
T
0
1
1
0
1 f T
数字信号带宽与码元宽度成反比
10
4. 正弦信号的付里叶变换 1 j0t j0 t cos0t e e [ ( 0 ) ( 0 )] 2 1 j0t sin0t e e j0t j [ ( 0 ) ( 0 )] 2j
0
0
15

六、时域卷积
若 则 f1 (t ) F1 ( j ), f 2 (t ) F2 ( j )
f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( j ) F2 ( j )
此定理的物理意义是: 时域卷积对应频域相乘
七、频域卷积
若 f1 (t ) F1 ( j ), f 2 (t ) F2 ( j )
28
§7 自相关函数与功率谱和能量谱之间的关系
1 对于能量信号 : R( ) G ( ) 即能量信号的自相关函数R( )与能量谱G ( )是一对付氏变换 2 对于功率信号: R( ) P( ) 即功率信号的自相关函数R( )与功率谱P( )是一对付氏变换




F ( j )
cos( 0 t )
( )
( ) 0
0
0
F ( j ) ( )
sin( 0 t )
( ) 0 0
0
11
§2 付氏变换的性质
一、线性叠加性质
若 f1 (t ) F1 ( j ) f 2 (t ) F2 ( j ) 则 f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( j ) F2 ( j )
其物理意义是, 时间域中的时移, 在频域中反映在 原频谱函数F ( j )的基础上附加一个相移函数e jt 0
四、频移特性
若
f (t ) F ( j ) 则
f (t )e
j0t
F[ j ( 0 )]
其物理意义是,时间域中的相移 , 对应频谱函数在频域中 的频移
14
五、调制定理
若f (t ) F ( j ) 1 1 则f (t ) cos0 t F [ j ( 0 )] F [ j ( 0 )] 2 2 j j f (t ) sin0 t F [ j ( 0 )] F [ j ( 0 )] 2 2
F ( )

0
显然, 能量谱密度G ( )与连续频谱F ( j )的关系为 G ( ) F ( j )
2 2
还可证明, 功率谱密度P ( )与离散频谱Fn 的关系为 P ( ) 2
n
F
2
n
( n 0 )
上式实际上是给出了周期信号(与离散谱Fn 相联系)功率谱 密度P ( )与周期信号频谱Fn 之间的关系, 下进一步给出非 周期信号功率谱密度P ( )与非周期信号频谱之间的关系 : T 上式中的FT ( )为f T (t )的频谱, 如后一页的图所示 .
f
2
(t )dt
则称f (t )为能量信号
18
2、功率信号
若E
f

2
(t )dt
T 2
1 但S lim T T

T f
2
2
(t )dt
则称f (t )为功率信号.
19