第二章 随机信号概论
本章要点： 1、随机过程的概念 可理解为依赖于时间t的一族随机变量或 随机试验得到的一族时间t的函数。 2、随机过程的概率分布
p X ( x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t 2 ,...,t n ) FX ( x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t 2 ,...,t n ) x1x2 ...xn
2
3、随机过程的数字特征
数学期望
m X (t ) E[ X (t )] x p X ( x; t )dx

2 X 2

(t ) E[ X (t )] x 2 p X ( x ; t )dx 均方值
2 X (t ) D[ X (t )] E[{X (t ) m(t )}2 ] 方差
同理可得：
问题
FX ( x;2) P X (2) x
1 3 2 3
0, x 2 1 3, 2 x 5 FX ( x;6) P( X x,6) 2 3 , 5 x 7 1, x 7
1 3 ；x 3 3； 2 ；x 4 4； 3 6； 1 1； x 6 1 x FX ( x; 2) P X (2) x p( x)dx x 0 3
（2）解：由定义可知：
RX (t1, t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )];
由题知：
1
X (t1 )
1 1
2
sin t1
3
cos t1
X (t2 )
所以： R
X
sin t2
cos t2
(t1, t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]; 1 (1 sin t1 sin t2 cos t1 cos t2 ); 3
（2）由自相关函数的定义： RX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]
E[ A2 cos0t1 cos0t2 B2 sin 0t1 sin 0t2 ]
2[cos0t1 cos0t1 sin 0t1 sin 0t2 ]
E{[ A cos 0t1 B sin 0t1 ][ A cos 0t2 B sin 0t2 ]}
2.6
解:由图可得下表 ξ1 ξ2 4 7 ξ3 6 2
X(2) 3 X(6) 5 所以：
1 13 E[ X (2)] (3 4 6) ; 3 3
1 14 E[ X (6)] (5 7 2) ; 3 3 1 55 E[ X (2) X (6)] (3 5 4 7 6 2) ; 3 3
cos0 , 其中 t1 t2
2
2.10
解：由均值的定义：
E[ X (t )]
2 0
a a cos(0t ) p ( )d 2

2
0
cos( ot )d
由定义先求出均方值，就可以得到方差：
E[ X (t )] E[a cos (0t )] 2 1 cos(2 0 t 2 ) E[a ] 2 2 2 a a 2 cos(20t 2 )d 22 2 0 a 2
[ X (t2 ) f (t2 ) mX (t2 ) f (t2 )]}
CX (t1, t2 )
E{[ X (t1 ) mX (t1 )][ X (t2 ) mX (t2 )]}
2.9 解：（1）直接由定义可得：
E[ X (t )] E[ A cos(0t ) B sin(0t )] E[ A]cos(0t ) E[B]sin(0t ) 0
出现一个典型的错误：
182 E[ X (2) X (6)] E[ X (2)]E[ X (6)] ; 9
由定义可知：
FX ( x,2) P( X x,2);
显然在2这一时刻的可能取值为3，4，6； 可得：
0, x 3 1 3,3 x 4 P( X x, 2) 2 3 , 4 x 6 x6 1,
2.8 解：由定义出发：
E[Y (t )] E[ X (t ) f (t )];
E[ X (t )] E[ f (t )];
mX (t ) f (t )
由协方差的定义：
CY (t1, t2 ) E{[Y (t1 ) mY (t1 )][Y (t2 ) mY (t2 )]} E{[ X (t1 ) f (t1 ) mX (t1 ) f (t1 )]
2.11 解：
E[ X (t )] E[ A cos(0t )] E[ A]E[cos(0t )]
ada
0 1 2 0
1 cos(0t ) d 2
0
RX (t1, t2 ) E[ A cos(0t1 )cos(0t2 )]
2
2 2 2
0
所以：
2 2
a D[ X (t )] E[ X (t )] E[ X (t )] 2 RX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]
2
E[a 2 cos(0t1 )cos(0t2 )] 2 a E[cos(0 (t1 t2 )) cos(0t1 0t2 2)] 2 2 a cos[ 0 (t1 t2 )] 0 2 2 a cos 其中 t1 t2 2
2.7 解：(1) 由题意可知
1 p(1 ) p ( 2 ) p (3 ) ; 3
所以 E[ X (t )] p(1 ) X (t ,1 ) p( 2 ) X (t , 2 ) p (3 ) X (t ,3 ) 1 (1 sin t cos t ) 3
x1 6
0
0
0
0
0 0
0
0 1/3
1/3
0 1/3
2/3
1/3 2/3
1
x2 7
问题
x2
x1
x2 2 2 x2 5
5 x2 7
x1 3
3 x1 4
4 x1 6
x1 6
0
0
0
0
0 0
0
1/9 2/9
1/3
2/9 4/9
2/3
1/3 2/3
1
x2 7
2.2
解: (1) 由于随机过程X(t)的样本具有确定的函 数形式（ 为常数1，2，3），所以该随机过程 是确定性随机过程。 (2) 显然，任意时刻对应的随机变量是离散 随机变量，且具有相同的分布，所以概率密度 为：
p( x, t ) 0.6 ( x 1) 0.3 ( x 2) 0.1 ( x 3)
FX ( x1 , x2 ;2,6) P{ X (2) x1, X (6) x2}; P{( X (2) x1 X (6) x2 };
用表Байду номын сангаас来表示所求的联合分布：
x1
x2
x2 2 2 x2 5
5 x2 7
x1 3
3 x1 4
4 x1 6
互协方差函数
C XY (t1 , t 2 ) E[{X (t1 ) mX (t1 )}{Y (t 2 ) mY (t 2 )}]
两随机过程X(t)和Y(t)之间的统计独立、不相关和 正交概念 随机过程的特征函数 4、随机序列及其统计特性
重点及要求：
会计算随机信号的概率分布及各种数字特征; 对两随机过程X(t)和Y(t)之间的统计独立、不相关 和正交概念有明确认识;
0, x 3 1 3,3 x 4 P( X x, 2) 2 3 , 4 x 6 1, x 6
0, x 2 1 3, 2 x 5 P( X x, 6) 2 3 , 5 x 7 1, x 7
lim
t 0
RX (t , t t ) RX (t , t ) t

dRX (t ,t ) dt
证毕。
§1-2 逻辑代数基础
自相关函数
协方差函数
RX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]
CX (t1 , t2 ) E[{X (t1 ) mX (t1 )}{X (t2 ) mX (t2 )}]
随机过程X(t)和Y(t)的互相关函数
RXY (t1, t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )]
E[ A2 ]E[cos(0t1 )cos(0t2 )] 1 cos 0 6
2.12 证明：
dX (t ) E[ X (t ) ] dt
X (t t ) X (t ) E[ X (t )lim ] t t 0
E[ X (t ) X (t t )] E[ X (t ) X (t )] lim t t 0