一兀一次方程的应用1、列方程解应用题的基本步骤和方法:(1)初中列方程解应用题时，怎么列简单就怎么列 (即所列的每一个方程都直接的表示题意)，不用担心未知数过多，简化审题和列方程的步骤，把难度转移到解方程的步骤上.(2)解方程的步骤不用写出，直接写结果即可.(3)设未知数时，要标明单位，在列方程时，如果题中数据的单位不统一，必须把单位换算成统一单位，尤其是行程问题里需要注意这个问题.2、设未知数的方法：设未知数的方法一般来讲，有以下几种：(1)“直接设元”：题目里要求的未知量是什么，就把它设为未知数，多适用于要求的未知数只有一个的情况；(2)“间接设元”：有些应用题，若直接设未知数很难列出方程，或者所列的方程比较复杂，可以选择间接设未知数，而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用.(3)“辅助设元”：有些应用题不仅要直接设未知数，而且要增加辅助未知数，但这些辅助未知数本身并不需要求出，它们的作用只是为了帮助列方程，同时为了求出真正的未知量，可以在解题时消去.(4)“部分设元”与“整体设元”转换：当整体设元有困难时，可以考虑设其一部分为未知数，反之亦然，如：数字问题.模块一：数字问题(1)多位数字的表示方法：一个两位数的十位数字、个位数字分别为a、b,(其中a、b均为整数，i_a_9，0 _b -9 )则这个两位数可以表示为10a b .一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c,(其中均为整数，且1 _a _9，0 _b _9，0_c_9 )则这个三位数表示为：100a 10b c .(2)奇数与偶数的表示方法：偶数可表示为2k，奇数可表示为2k 1 (其中k表示整数).(3)三个相邻的整数的表示方法：可设中间一个整数为a,则这三个相邻的整数可表示为a -1,a,a -1 .【例1】一次数学测验中，小明认为自己可以得满分，不料卷子发下来一看得了96分，原来是由于粗心把一个题目的答案十位与个位数字写颠倒了，结果自己的答案比正确答案大了36,而正确答案的个位数字是十位数字的2倍.正确答案是多少【解析】此题中数据96与列方程无关.与列方程有关的量就是小明粗心后所涉及的量.设正确答案的十位数字为X，则个位数字为2x ,依题意，得(10 2x x) -(10x - 2x) =36，解之得x=4 .于是2x =8 .所以正确答案应为48.【答案】48【例2】某年份的号码是一个四位数，它的千位数字是2,如果把2移到个位上去，那么所得的新四位数比原四位数的2倍少6,求这个年份.【解析】设这个年份的百位数字、十位数字、个位数字组成的三位数为X，则这个四位数字可以表示为2 1000 x，根据题意可列方程：10x 2 =2 2 1000 x -6，解得x =499【答案】2499年【例3】有一个四位数，它的个位数字是8,如果将个位数字8调到千位上，则这个数就增加117，求这个四位数.【解析】设由原数中的千位数字、百位数字和十位数字组成的三位数为X,则这个四位数可以表示为10x 8，则调换后的新数可以表示为8000 x，根据题意可列方程10x・8 =8000 x -117，解得x=875，所以这个四位数为8758【答案】8758【例4】五一放假，小明的爸爸幵车带着小明和妈妈去郊游，他们在公路上匀速行驶，下表是小明每隔1小时看到的路边里程碑上数的信息.你能确定小明在7:00时看到的里程碑上的数是多少吗？：00时看到的两位数的十位数字是X，则个位数字是7-x，根据题意可列方程：||100x • 7-: 10 7-x x -||_10 7-x -『00(，7-x，解得x =1，所以7 -x =6 .【答案】小明在7:00时看到的两位数是16.模块二：日历问题(1)、在日历问题中，横行相邻两数相差1,竖列相邻两数相差7.(2)、日历中一个竖列上相邻3个数的和的最小值时24，最大值时72，且这个和一定是3的倍数.(3)、一年中，每月的天数是有规律的，一、三、五、七、八、十、十二这七个月每月都是31天，四、六、九、十一这四个月每月都是30天，二月平年28天，闰年29天，所以，日历表中日期的取值是有范围的.【例5】下表是2011年12月的日历表，请解答问题：在表中用形如下图的平行四边形框框出4个数，【例6】（1）若框出的4个数的和为74,请你通过列方程的办法，求出它分别是哪4天？【例7】（2）框出的4个数的和可能是26吗？为什么？【解析】（1）设第一个数是X，则根据平行四边形框框出4个数得其他3天可分别表示为x 1，x 6，x 7 .根据题意可列方程：x亠〔X 亠〔x 6!亠〔X • 7]=74，解得x =15 ；所以它分别是：15，16, 21，22；（2）设第一个数为X,则4x74=26，x=3，本月3号是周六，由平行四边形框框出4个数，得出结论：无法构成平行四边形.【答案】（1）15，16, 21，22; （2）无法构成平行四边形.【例8】如图，框内的四个数字的和为28,请通过平移长方形框的方法，使框内的数字之和为68,这样的长方形的位置有几个？能否使框内的四个数字之和为49?若能，请找出这样的位置；若不能，请说明理由.【解析】（1）设四个数字是a, a 1 , a 7 , a 8，根据题意可列方程:a a 1 a 7 a ^68，解得a =13 .则平移后的四个数是13、14、20、21.(2)设四个数字是X, x 1, x 7 , x 8，则4x 16 =49 , x = 33.不合题4意，舍去【答案】平移后的四个数是13、14、20、21,这样的长方形的位置只有1个;不存在能使四个数字的和为49的长方形.【例9】把2012个正整数1, 2, 3, 4,…，2012按如图方式排列成一个表.【例10】(1)用如图方式框住表中任意4个数，记左上角的一个数为x，贝y另三个数用含x的式子表示出来，从小到大依次是 _______________________ .(2)由(1)中能否框住这样的4个数，它们的和会等于244吗？若能，则求出x的值；若不能，则说明理由.【解析】(1) •••记左上角的一个数为X, •••另三个数用含x的式子表示为：x 8 ,x 16 , x 24 .(2)不能.假设能够框住这样的4个数，则：X，x 8 x 16 x 24 =244 , 解得x=49 .••• 49是第七行最后一个数，.••不可以用如图方式框住.【答案】(1) x 8 , x 16 , x 24 ; (2)不能.模块三：和差倍分问题和、差、倍冋题关键要分清是几倍多几和几倍少几.(1)当较大量是较小量的几倍多几时，较大量=较小量倍数+多余量；(2)当较大量是较小量的几倍少几时，较大量=较小量倍数-所少量.【例11】一部拖拉机耕一片地，第一天耕了这片地的-;第二天耕了剩下部分的-,3 3还剩下42公顷没耕完，则这片地共有多少公顷？【解析】设这片地共有x公顷，第一天耕了这片地的2，则耕地公顷，第二3 3天耕了剩下部分的-，则第二天耕地1 I* xjx (公顷)，根据题意3 3 I 3丿9可列方程：X—— x—— x=42，解得x=189 .3 9【答案】189.【例12】牧羊人赶着一群羊寻找一个草长得茂盛的地方，一个过路人牵着一只肥羊从后面跟了上来，他对牧羊人说：“你赶的这群羊大概有100只吧！”牧羊人答道：“如果这群羊增加一倍，再加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊一半的一半，连你这只羊也算进去，才刚好凑满100只.”问牧羊人的这群羊共有多少只【解析】设这群羊共有x只，根据题意可列方程：2x 1 x - x ^100，解得x=36.2 4【答案】36【例13】有粗细不同的两支蜡烛，细蜡烛之长时粗蜡烛之长的2倍，细蜡烛点完需1小时，粗蜡烛点完需2小时，有一次停电，将这样的两支未使用过的蜡烛同时点燃，来电时，发现两支蜡烛所剩的长度一样，问停电的时间有多长?【解析】设停电时间为x小时，粗蜡烛长I米，则细蜡烛长21米，那么细蜡烛每小时点燃2I米，粗蜡烛没小时点燃i米，根据题意可列方程：221 -21 x =\ —x，解得x =-23【答案】停电时间为-小时3【例14】2006年我市在全国率先成为大面积实施“三免一补”的州市，据悉，2010年我市筹措农村义务教育经费与“三免一补”专项资金 3.6亿元【由中央、省、市、县（区）四级共同投入，其中，中央投入的资金约 2.98亿元，市级投入的资金分别是县（区）级、省级投入资金的1.5倍、18倍】，且2010年此项资金比2009年增加1.69亿元.【例15】（1）2009年我市筹措农村义务教育经费与“三免一补”专项资金多少亿元？【例16】（2）2010年省、市、县（区）各级投入的农村义务教育经费与“三免一补”专项资金各多少亿元？【例17】（3）如果按2009-2010年筹措此项资金的年平均增长率计算，预计2011年，我市大约需要筹措农村义务教育经费与“三免一补”专项资金多少亿元（结果保留一位小数）？【解析】（1） 3.61 T.69 =1.91 （亿元）.（2）设市级投入x亿元，则县级投入亿元，省级投入丄x亿元，3 18由题意得：2.98 2x —^3.6，解得x=0.36 •所以？x=0.24（亿元），3 18 31 _x=：0.02 （亿元）.18（3） 3.6 1 169 : 6.8 （亿元）.1.91 '【答案】（1） 1.91亿元；（2）省、市、县分别投入0.02亿元、0.36亿元、0.24亿元；（3） 6.8亿元.模块四：行程问题一、行程问题路程二速度x时间相遇路程二速度和x相遇时间追及路程二速度差X追及时间二、流水行船问题顺流速度二静水速度+水流速度逆流速度二静水速度-水流速度水流速度=1 X（顺流速度-逆流速度）2三、火车过桥问题火车过桥问题是一种特殊的行程问题，需要注意从车头至桥起，到车尾离桥止，火车所行距离等于桥长加上车长，列车过桥问题的基本数量关系为：车速X过桥时间二车长+桥长.【例18】有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙背向而行.甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米.出发后，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇，求花圃的周长.【解析】设甲、乙相遇时间为 t 分钟，则甲、丙相遇时间为t 3分钟，根据题意，由相遇路程相等可列方程 t 38 -36[=340 36 【答案】8892米【例19】某人从家里骑摩托车到火车站， 如果每小时行30千米，那么比火车幵车 时间早到15分钟，若每小时行18千米，则比火车幵车时间迟到15分钟， 现在此人打算在火车幵车前 10分钟到达火车站，则此人此时骑摩托车的 速度应为多少？【解析】设此人从家里出发到火车幵车的时间为 x 小时,根据题意可列方程： 30(x 一加8(x 60，解得 xr ， 【答案】27【例20】甲、乙两车同时从 A ，B 两地出发，相向而行，在 A ，B 两地之间不断往返行驶.甲车到达 B 地后，在B 地停留了 2个小时，然后返回 A 地；乙车到达A 地后，马上返回B 地；两车在返回的途中又相遇了，相遇的地点距离B 地288千米.已知甲车的速度是每小时 60千米，乙车的速度是 每小时40千米.请问：A ，B 两地相距多少千米？【解析】设A 、B 两地相距x 千米，根据题意可列方程：红湮一L 迦泊，解 40 60得 x = 420 【答案】420千米此人打算在火车幵车前 (千米/时)10分钟到达，骑摩托车的速度应为 30 (1 15)1060 =27【例21】某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后，再以每小时9千米的速度走平路到B地，共用了55分钟.回来时，他以每小时8千米的速度通过平路后，再以每小时4千米的速度上坡，从B地到A地共用il小2 时，问A B两地相距多少千米？【解析】间接设未知数，设从A地到B地共用x小时，根据题意可列方程：12t • 55 _t 卜9 =3t - -3t 8，解得t J，所以A、B 两地相距60 2 412t詈-t 9=9 (千米)【答案】9千米【例22】一人步行从甲地去乙地，第一天行若干千米，自第二天起，每一天都比前一天多走同样的路程，这样10天可以到达乙地；如果每天都以第一天所行的相同路程步行，用15天才能到达乙地；如果每天都以第一种走法的最后一天所行的路程步行到乙地，需要几天？【解析】设a是第一次第一天走的路程，b是第二天起每天多走的路程，x是所求的天数.则根据题意可列方程：15a =a - (a b) ( a 2b) - (a 3b)( a 4b) - (a 5b)( a 6b) (a 7b) (a 8b)( a 9b)又15a =x a • 9b，解得x =7.5 .【答案】7.5天【例23】一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行多少小时？【解析】设小船在静水中的速度为a，原来的水速为b，则2(a-b) =3(a-2b)，解得a=4b，故所求时间为型®“(小时).(a +2b)【答案】1【例24】一个人乘木筏在河面顺流而下，漂到一座桥下时此人想锻炼一下身体，便跳入水中逆水游泳，10分钟后转身追赶木筏，终于在离桥1500米远的地方追上木筏，假设水流速度及此人游泳的速度都一直不变，那么水流速度为多少？【解析】因为向上游了10分钟，所以返回追赶也要10分钟(流水中的相遇时间与追及时间都与水流速度无关)，即水流20分钟的路程为1500米，水流速度为1.5=4.5 (千米/时).3【答案】水流速度为4.5千米/时【例25】一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时，天，小船从早晨6点由A港出发顺流行至B港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立即返回，1小时后找到救生圈.问：【例26】(1)若小船按水流速度由A港漂流到B港需多少小时？(2)救生圈是何时掉入水中的？【解析】(1)设小船在静水中的速度为a，水流速度为b，则6(a ，解得a =7b，故小船按水流速度由A港漂流到B港所需时间为=48b(小时)；(2)设小船行驶x小时后，救生圈掉入水中，则(6 —x - 1)b - (a —b) 1 =(6 — x)(a b)，将 a = 7b 代入上式，得到x =5，故救生圈是上午11点掉入水中的【答案】48 ； 5模块五：工程问题工作总量二工作时间X工作效率各部分工作量之和=1【例27】有甲、乙、丙三个水管，独幵甲管5小时可以注满一池水；甲、乙两管齐幵，2小时可注满一池水；甲、丙两管齐幵，3小时注满一池水.现把三管一齐幵，过了一段时间后甲管因故障停幵，停幵后2小时水池注满•问三管齐幵了多少小时？【解析】由题意知，甲管注水效率为-，甲、乙两管的注水效率之和为 -，甲、5 2丙两管的注水效率之和为1，设三管齐幵了x小时，根据题意可列方程：3丄x •丄x 2 =1，解得X，5 2 3 5 19【答案】—小时19【例28】检修一住宅区的自来水管道，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天, 丙单独完成需12天•前7天由甲、乙两人合作，但乙中途离幵了一段时间，后2天由乙、丙两人合作完成，问乙中途离幵了几天？【解析】设乙中途离幵了X 天,根据题意可列方程丄7 •丄7 - x?. 2丄1 1，14 18 * (18 12 丿解得x=3【答案】乙中途离幵了3天【例29】某中学库存若干套桌凳，准备修理后支援贫困山区学校，现有甲、乙两木工组，甲每天修桌凳16套，乙每天修桌凳比甲多8套，甲单独修完这些桌凳比乙单独修完多用20天，学校每天付甲组80元修理费，付乙组120元修理费.【例30】(1)问该中学库存多少套桌凳？【例31】(2)在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，学校负担他每天10元生活补助费，现有三种修理方案：①由甲单独修理；②由乙单独修理；③甲、乙合作同时修理.你认为哪种方案省时又省钱为什么？【解析】(1)设该中学库存X套桌凳，根据题意可列方程：---=20，解得x=960 .16 24(2)方案①所需费用：96080 10]=5400 （元）；方案②所需费用：120 10 尸5200 （兀）；24方案③所需费用：96080 120 10 =5040 （元）.16 24 '综上，方案③最省钱.【答案】(1) 960套；(2)方案③最省钱.模块六：商品销售问题在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常会遇到进价、标价、售价、打折等概念，在了解这些基本概念的基础上，还必须掌握以下几个等量关系:【例32】某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%，使得利润增加了 8个百分点，求经销这种商品原来的利润率 • 【解析】设经销这种商品原来的利润率为 x ，原进价为a ，根据题意可列方程：a(1 x) =a(1 _6.4%)(1 x 8%)，解得 x =17% .【答案】17%【例33】某商品月末的进货价为比月初的进货价降了 8%而销售价不变，这样，利润率月末比月初高10%问月初的利润率是多少？【解析】设月初进货价为 a 元，月初利润率为x ，则月初的销售价为a V x 元， 月末进货价为a 1 -8%元，销售价为a 1-8%址• X 70%元，根据月初 销售价与月末销售价相等可列方程：a 1 ^-a 1-8%乩「x T0% ，解得x =0.15 . 【答案】15%【例34】某公司生产一种饮料是由 A ，B 两种原料液按一定比例配制而成，其中 A标价=进价1+利润率 利润二售价一进价 利润率=利价 100%利润二进价X 利润率 实际售价二标价X 打折率原料液的成本价为15元/千克，B原料液的成本价为10元/千克，按现行价格销售每千克获得70%勺利润率.由于市场竞争，物价上涨，A原料液上涨20% B原料液上涨10%配制后的总成本增加了12%公司为了拓展市场，打算再投入现总成本的25%故广告宣传，如果要保证每千克禾y润不变，贝y此时这种饮料的利润率是多少？【解析】原料液A的成本价为15元/千克，原料液B的成本价为10元/千克，涨价后，原A价格上涨20%，变为18元；B上涨10%，变为11元，总成本上涨12%，设每100千克成品中，二原料比例A占x千克，B占（100-x）千克, 则涨价前每100千克成本为15x *10 100-x，涨价后每100千克成本为18x 11 100 -x ，根据题意可列方程：18x 11 100-x - 15x 10 100 -x」匚1 12%，解得x _10°，所以100 —x =6007即二者的比例是：A：B =1：6，则涨价刖每千克的成本为号牛7（元），销售价为年元，利润为7.5元.原料涨价后，每千克成本变为12元，成本的25%为3元，保证利润为7.5 元，则利润率为：7.5" 12 3 =50% .【答案】50%.模块七：方案决策问题在实际生活中，做一件事情往往会有多种选择，这就需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用，到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，把每一种方案的结果先算出来，进行比较后得出最佳方案.【例35】某幵发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：【例36】投资者购买商铺后，必须由幵发商代为租赁5年，5年期满后由幵发商以比原商铺标价高20%勺价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：【例37】方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%【例38】方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%但要缴纳租金的10%乍为管理费用.【例39】(1)请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？(注：投资收益率=7投资收益100% )实际投资额(2)对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元.问：甲、乙两人各投资了多少万元？【解析】(1)设商铺标价为x万元，则按方案一购买，则获投资收益120% -1 x x 10% 5=0.7x，投资收益率为0 7x100% =70%投资收益率为06竺100% ： 72.9% .0.85x所以投资者选择方案二获得的投资收益率高.（2）由题意得，0.7x-0.62x =5，解得x=62.5，所以甲投资了62.5万元，乙投资了53.125万元【答案】略【例40】有一个只允许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人.一天王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能有3人通过道口，此时，自己前面还有36个人等待通过，通过道口后，还需7分钟到达学校.【例41】（1）若绕道而行，要15分钟到达学校。