第一讲 分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。

3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。

（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

三、整数裂项(1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3n n n =-⨯⨯+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+二、换元解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．三、循环小数化分数0.9a =； 0.99ab =； 0.09910990ab =⨯=； 0.990abc =，…… 2、单位分数的拆分：例：110=112020+=()()11+=()()11+=()()11+=()()11+ 分析：分数单位的拆分，主要方法是：从分母N 的约数中任意找出两个m 和n,有：11()()()()m n m n N N m n N m n N m n +==++++=11A B+ 本题10的约数有:1,10,2,5.。

例如：选1和2，有：11(12)12111010(12)10(12)10(12)3015+==+=++++ 本题具体的解有：1111111111011110126014351530=+=+=+=+ 例题精讲模块一、分数裂项【例 1】11111123423453456678978910+++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【巩固】 333 (1234234517181920)+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【例 2】 计算：57191232348910+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯L ．【巩固】 计算：5717191155234345891091011⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L （）【巩固】 计算：3451212452356346710111314++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L【例 3】12349223234234523410+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L L【例 4】111111212312100++++++++++L L L234501(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(12350)++++⨯++⨯++++⨯+++++++⨯++++L L L2341001(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100)++++⨯++⨯++++⨯++++++⨯+++L L L【巩固】 23101112(12)(123)(1239)(12310)----⨯++⨯++++++⨯++++L L L （）【例 5】22222211111131517191111131+++++=------ .【巩固】 计算：222222223571512233478++++⨯⨯⨯⨯L 【巩固】 计算：222222222231517119931199513151711993119951++++++++++=-----L ．【巩固】 计算：22221235013355799101++++=⨯⨯⨯⨯L ．【巩固】 224466881010133********⨯⨯⨯⨯⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯【例 6】 1113199921111111(1)(1)(1)(1)(1)223231999+++++⨯++⨯+⨯⨯+L L 【巩固】 计算：111112123122007+++⋯+++++⋯ 【巩固】 111133535735721+++++++++++L L 【例 7】 121231234123502232342350++++++++++⨯⨯⨯⨯++++++L L L 【例 8】 222222222222233333333333331121231234122611212312341226++++++++⋯+-+-+⋯-++++++++⋯+ 【巩固】 2221111112131991⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭L【例 9】 计算：22222223992131991⨯⨯⨯=---L【巩固】 计算：222222129911005000220050009999005000+++=-+-+-+L【例 1】 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯22222210211211112120154132124ΛΛΛ模块二、换元与公式应用【例 10】 计算：3333333313579111315+++++++【巩固】 132435911⨯+⨯+⨯+⨯L【巩固】 计算：1232343458910⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯L【例 11】 计算：234561111111333333++++++【例 12】 计算：22222222(246100)(13599)12391098321+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++【巩固】 ⑴()2314159263141592531415927-⨯=________；⑵221234876624688766++⨯=________．【巩固】 计算：22222221234200520062007-+-++-+L【例 13】 计算：222222222212233445200020011223344520002001+++++++++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯⨯【例 14】 ()20078.58.5 1.5 1.5101600.3-⨯-⨯÷÷-=⎡⎤⎣⎦ ．【巩固】 计算：53574743⨯-⨯= ．【巩固】 计算：1119121813171416⨯+⨯+⨯+⨯= ． 【巩固】 计算：1992983974951⨯+⨯+⨯++⨯=L ．【巩固】 看规律 3211=，332123+=，33321236++=……，试求3 3.36714+++L【例 15】 计算：1111111111(1)()(1)()2424624624++⨯++-+++⨯+ 【巩固】 11111111111111(1)()(1)()23423452345234+++⨯+++-++++⨯++【巩固】 111111111111111111213141213141511121314151213141⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+++-++++⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【巩固】 1111111111111111())()5791179111357911137911+++⨯+++-++++⨯++（）（【巩固】 计算11111111111111111111234523456234562345⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⨯++++-+++++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭212391239112923912341023410223103410⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++⨯-++++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L L21239123911239239()()(1)()23410234102234103410+++++++++⨯-+++++⨯+++L L L L【巩固】 计算11112111311143114120092009++++++++++L L【巩固】(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)【巩固】 计算(10.450.56++)⨯(0.450.560.67++)-(10.450.560.67+++)⨯(0.450.56+)三、循环小数与分数互化【例 16】 计算：0.1+0.125+0.3+0.16&&&，结果保留三位小数．【巩固】 ⑴ 0.540.36+=&&& ； ⑵191.21.2427•••⨯+=【巩固】 计算：0.010.120.230.340.780.89+++++&&&&&& 【巩固】 计算 （1）0.2910.1920.3750.526-++&&&&&&&& （2）0.3300.186⨯&&&&【例 17】 某学生将1.23&乘以一个数a 时，把1.23&误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该是多少?【巩固】 将循环小数0.027&&与0.179672&&相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少?【例 18】 有8个数，0.51&&，23,59,0.51&,2413,4725是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是0.51&，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数?【例 19】 真分数7a化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a 是多少?【巩固】 真分数7a化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是9039，则a 是多少？【巩固】 真分数7a化成循环小数之后，小数点后第2009位数字为7，则a 是多少？【例 20】20022009和1287化成循环小数后第100位上的数字之和是_____________.【巩固】 纯循环小数0.abc &&写成最简分数时,分子和分母的和是58,则三位数_________abc =【例 21】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．（1）()()()()()()()()11111111111102020=+=+=+=+=+； （2）()()11110=-【巩固】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．()()()()()()111111110=--=++【例 22】()()()()()()()()()()1111111111145=+=-=++=--【巩固】 110=()()11--()1=()()()111++【例 23】 所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加，和是__________。