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学数学 用专页 第 1 页 共 1 页 搜资源 上网站 等腰三角形中的旋转题
□ 江苏 徐伯良
等腰三角形的性质和判定,有助于解决与之相关的若干问题.请看,它们在解决旋转问题中的应用:
例1如图1，等边△ABC 中，有一点P,连结PA 、PB ，把△ABP 顺时
针旋转 60°，使边AB 与边BC 得重合，连结CQ ．
，试判断△BPQ 的形状，并说明理由．
析解: △BPQ 是等边三角形.理由如下:
由题意可知,BP=BQ ,∠PBQ=60°，所以△BPQ 是等边三角形.
例2 如图2，在等边△ABC 中，AC ＝9，点O 在AC 上，且AO ＝3，
点P 是AB 上一动点，连结OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到
线段OD ．要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．8 析解:如图3所示,当线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ．且使点D 恰好落在BC 上时，OP=OD, ∠DOP=60°，
在△COD 中, ∠C+∠COD +∠CDO=180︒,∠C=60°，
而∠COD+∠DOP +∠AOP=180︒,∠DOP=60°，所以∠
CDO =∠AOP ,
又在△COD 中, ∠A=∠C=60°，可得△COD ≌△APO,
则AP=CO=AC-AO=6.故,选C.
例3 如图4，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，CD
为中线．现将一直角三角板的直角顶点放在点O 上并绕点O 旋转，若三角板的两直角边分别交AC ，CB 的延长线于点G ，H ．
（1）试写出图中除AC ＝BC ，OA ＝OB ＝OC 外其他所有相等的线段；
（2）请从你所写的所有相等线段中任选的一组,说明相等的理由．
我选择的相等线段是:_________=_________．
析解:（1）根据等腰三角形的轴对称性以及三角形全等方面的知识,
可以推测,图中除AC ＝BC ，DA ＝DB ＝DC 外其他所有相等的线段
有:CG=BH,AG=CH, D G=D H.
（2）在△ABC 中，由∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD=DB 可知,
CO=OB,C O ⊥AB, ∠ABC ＝45°．
而∠COG+∠GOB ＝90°，∠BOH+∠GOB ＝90°，
所以∠COG ＝∠BOH ，
又∠ABC ＝∠OCB=45°，所以∠OBH ＝180︒-45°=135︒,∠GOC ＝90︒+45°=135︒.
于是, ∠GCO=∠OBH ,所以△GCO ≌△HBO, 则CG=BH.
图
4 图
3
图
2 图1。