第一章三角形的证明单元测试卷一.选择题(共12小题)1.(2016•当涂县四模)在一张长为8cm,宽为6cm的矩形纸片上,要剪下一个腰长为5cm 的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合,其余的两个顶点都在矩形的边上).这个等腰三角形有几种剪法?()A.1 B.2 C.3 D.4(第1题) (第3题) (第4题)2.(2016春•盐城校级月考)在平面直角坐标系内,点O为坐标原点,A(﹣4,0),B(0,3).若在该坐标平面内有以点P(不与点A、B、O重合)为一个顶点的直角三角形与Rt△ABO全等,且这个以点P为顶点的直角三角形与Rt△ABO有一条公共边,则所有符合条件的三角形个数为()A.9 B.7 C.5 D.33.(2016春•重庆校级月考)如图,在△ABC中,AB=BC,∠B=30°,DE垂直平分BC,则∠ACD的度数为()A.30°B.45°C.55°D.75°4.(2015•达州)如图,△ABC中,BD平分∠ABC,BC的中垂线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.若∠A=60°,∠ABD=24°,则∠ACF的度数为()A.48°B.36°C.30°D.24°5.(2015•德阳)如图,在五边形ABCDE中,AB=AC=AD=AE,且AB∥ED,∠EAB=120°,则∠DCB=()A.150°B.160°C.130°D.60°(第5题) (第6题) (第7题) 6.(2015•香坊区三模)如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,BD平分∠ABC,AD ∥BC,连接CD,则∠ADC的度数为()A.50°B.60°C.70°D.80°7.(2015•河北模拟)如图,在四边形ABCD中,∠A=58°,∠C=100°,连接BD,E是AD 上一点,连接BE,∠EBD=36°.若点A,C分别在线段BE,BD的中垂线上,则∠ADC 的度数为()A.75°B.65°C.63°D.61°8.(2015•昌平区二模)如图,在已知的△ABC中,按以下步骤作图:①分别以B,C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于两点M,N;②作直线MN交AB于点D,连接C D.若CD=AC,∠A=50°,则∠ACB的度数为()A.90°B.95°C.100°D.105°(第8题) (第10题) (第11题) 9.(2015•泰安模拟)直线y=x+1与坐标轴交于A、B两点,点C在坐标轴上,△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C最多有()个.A.4 B.5 C.7 D.810.(2015•罗田县校级模拟)如图,在∠AOB=30°的两边上有两点P和Q在运动,且点P 从离点O有1厘米远的地方出发,以1厘米每秒运动,点Q从点O出发以2厘米每秒运动,则△POQ为等腰三角形时,两点的运动时间为()秒.A.B.C.;5 D.以上都不对11.(2015秋•莘县期末)如图,直线a,b,c表示交叉的公路,现要建一货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的站址有()A.一处B.两处C.三处D.四处12.(2015秋•寿光市期末)如图,AD∥BC,∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P,作PE⊥AB,垂足为E.若PE=3,则两平行线AD与BC间的距离为()A.3 B.5 C.6 D.不能确定(第12题) (第13题) (第14题)二.填空题(共4小题)13.(2016•邯郸一模)如图,在第1个△A1BC中,∠B=20°,A1B=CB;在边A1B上任取一点D,延长CA1到A2,使A1A2=A1D,得到第2个△A1A2D;在边A2D上任取一点E,延长A1A2到A3,使A2A3=A2E,得到第3个△A2A3E,…按此做法继续下去,则第5个三角形中以A5为顶点的内角度数是.14.(2015•台州)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DC=3,则点D到AB的距离是.15.(2015•毕节市)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB,交BC于点D,若CD=1,则BD=.(第15题) (第16题)16.(2015•重庆模拟)如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,∠BAC的平分线交BD于点E,交BC于点F,点G是AD的中点,连接CG交BD于点H,连接FO 并延长FO交CG于点P,则PG:PC的值为.三.解答题(共5小题)17.(2015•株洲)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是△ABC的一条角平分线.点O、E、F分别在BD、BC、AC上,且四边形OECF是正方形.(1)求证:点O在∠BAC的平分线上;(2)若AC=5,BC=12,求OE的长.18.(2015•路南区二模)在学完全等三角形后,李老师给出了下列题目:求证:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.已知:求证:证明:19.(2015•密云县一模)已知如图,A(3,0),B(0,4),C为x轴上一点.(1)画出等腰三角形ABC;(2)求出C点的坐标.20.(2015秋•滦县期末)如图,在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于D,CE⊥DE于点E;(1)若B、C在DE的同侧(如图所示)且AD=CE.求证:AB⊥AC;(2)若B、C在DE的两侧(如图所示),其他条件不变,AB与AC仍垂直吗?若是请给出证明;若不是,请说明理由.21.(2015秋•定州市期末)如图,已知:E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA,C、D是垂足,连接CD,且交OE于点F.(1)求证:OE是CD的垂直平分线.(2)若∠AOB=60°,请你探究OE,EF之间有什么数量关系?并证明你的结论.参考答案一.选择题(共12小题)1.(2016•当涂县四模)在一张长为8cm,宽为6cm的矩形纸片上,要剪下一个腰长为5cm 的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合,其余的两个顶点都在矩形的边上).这个等腰三角形有几种剪法?()A.1 B.2 C.3 D.4【解答】解:有两种情况:①当∠A为顶角时,如图1,此时AE=AF=5cm.②当∠A为底角时,有两种情况:如图2,图3,此时AE=EF=5cm.故选C.【分析】分为两种情况:①当∠A为顶角时,②当∠A为底角时,画出图形,即可得出选项.2.(2016春•盐城校级月考)在平面直角坐标系内,点O为坐标原点,A(﹣4,0),B(0,3).若在该坐标平面内有以点P(不与点A、B、O重合)为一个顶点的直角三角形与Rt△ABO全等,且这个以点P为顶点的直角三角形与Rt△ABO有一条公共边,则所有符合条件的三角形个数为()A.9 B.7 C.5 D.3【解答】解:如图:分别以OA、OB、AB为边作与Rt△ABO全等的三角形各有3个,则则所有符合条件的三角形个数为9,故选:A.【分析】根据题意画出图形,分别以OA、OB、AB为边、根据直角三角形全等的判定定理作出符合条件的三角形即可.3.(2016春•重庆校级月考)如图,在△ABC中,AB=BC,∠B=30°,DE垂直平分BC,则∠ACD的度数为()A.30°B.45°C.55°D.75°【解答】解:∵AB=BC,∠B=30°,∴∠A=∠ACB=75°,∵DE垂直平分BC,∴BD=CD,∴∠DCE=∠B=30°,∴∠ACD=∠ACB=∠DCB=45°,故选B.【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACB=75°,根据线段垂直平分线的性质得到BD=CD,求得∠DCE=∠B=30°,即可得到结论.4.(2015•达州)如图,△ABC中,BD平分∠ABC,BC的中垂线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.若∠A=60°,∠ABD=24°,则∠ACF的度数为()A.48°B.36°C.30°D.24°【解答】解:∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABD=24°,∵∠A=60°,∴∠ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°,∵BC的中垂线交BC于点E,∴BF=CF,∴∠FCB=24°,∴∠ACF=72°﹣24°=48°,故选:A.【分析】根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD=24°,然后再计算出∠ACB的度数,再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF,进而可得∠FCB=24°,然后可算出∠ACF的度数.5.(2015•德阳)如图,在五边形ABCDE中,AB=AC=AD=AE,且AB∥ED,∠EAB=120°,则∠DCB=()A.150°B.160°C.130°D.60°【解答】解:∵AB∥ED,∴∠E=180°﹣∠EAB=180°﹣120°=60°,∵AD=AE,∴△ADE是等边三角形,∴∠EAD=60°,∴∠BAD=∠EAB﹣∠DAE=120°﹣60°=60°,∵AB=AC=AD,∴∠B=∠ACB,∠ACD=∠ADC,在四边形ABCD中,∠BCD=(360°﹣∠BAD)=(360°﹣60°)=150°.故选A.【分析】根据两直线平行,同旁内角互补求出∠E,然后判断出△ADE是等边三角形,根据等边三角形的三个角都是60°可得∠EAD=60°,再求出∠BAD=60°,然后根据等腰三角形两底角相等和四边形的内角和等于360°计算即可得解.6.(2015•香坊区三模)如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,BD平分∠ABC,AD ∥BC,连接CD,则∠ADC的度数为()A.50°B.60°C.70°D.80°【解答】解:∵AB=AC,∠BAC=100°,∴∠ABC=∠ACB=40°,∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB=40°,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC,∵∠ADC=∠DBC,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,∴AD=AC,∴∠ADC=∠ACD=(180°﹣∠DAC)=70°.【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=40°,由AD∥BC,求得∠DAC=∠ACB=40°,由于BD平分∠ABC,得到∠ABD=∠DBC,由于∠ADB=∠DBC,得到∠ABD=∠ADB,求得AB=AD,求得△ADC是等腰三角形,于是问题得解.7.(2015•河北模拟)如图,在四边形ABCD中,∠A=58°,∠C=100°,连接BD,E是AD 上一点,连接BE,∠EBD=36°.若点A,C分别在线段BE,BD的中垂线上,则∠ADC的度数为()A.75°B.65°C.63°D.61°【解答】解:∵点A,C分别在线段BE,BD的中垂线上,∴AE=AB,BC=D C.∵∠A=58°,∠C=100°,∴∠ABE==61°,∠CBD==40°.∵∠EBD=36°,∴∠ABC=∠ABE+∠EBD+∠CBD=61°+36°+40°=137°,∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC=360°﹣58°﹣100°﹣137°=65°.故答案为:65°.【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AE=AB,BC=DC,再由∠A=58°,∠C=100°得出∠ABE及∠CBD的度数,根据∠EBD=36°得出∠ABC的度数,由四边形内角和定理即可得出结论.8.(2015•昌平区二模)如图,在已知的△ABC中,按以下步骤作图:①分别以B,C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于两点M,N;②作直线MN交AB于点D,连接C D.若CD=AC,∠A=50°,则∠ACB的度数为()A.90°B.95°C.100°D.105°【解答】解:∵CD=AC,∠A=50°,∴∠ADC=∠A=50°,根据题意得:MN是BC的垂直平分线,∴CD=BD,∴∠BCD=∠B,∴∠B=∠ADC=25°,∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=105°.故选D.【分析】由CD=AC,∠A=50°,根据等腰三角形的性质,可求得∠ADC的度数,又由题意可得:MN是BC的垂直平分线,根据线段垂直平分线的性质可得:CD=BD,则可求得∠B 的度数,继而求得答案.9.(2015•泰安模拟)直线y=x+1与坐标轴交于A、B两点,点C在坐标轴上,△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C最多有()个.A.4 B.5 C.7 D.8【解答】解:如图,对于直线y=x+1,当x=0时,y=1;当y=0时,x=﹣1,∴直线y=x+1与两个坐标轴的交点分别为A(﹣1,0),B(0,1);若以点A为圆心,以AB的长为半径画弧,则与x轴有两个交点,与y轴有一个交点(点B除外);若以点B为圆心,以AB的长为半径画弧,则与x轴有一个交点(点A除外),与y轴有两个交点;∴以AB为腰的等腰△ABC有6个;若以AB为底,作AB的垂直平分线,与坐标轴交于原点O,综上所述,满足条件的点C最多有7个,故选C.【分析】运用分类讨论的数学思想,分AB为腰或底两种情况来分类解析,逐一判断,即可解决问题.10.(2015•罗田县校级模拟)如图,在∠AOB=30°的两边上有两点P和Q在运动,且点P 从离点O有1厘米远的地方出发,以1厘米每秒运动,点Q从点O出发以2厘米每秒运动,则△POQ为等腰三角形时,两点的运动时间为()秒.A.B.C.;5 D.以上都不对【解答】解:①当OQ=OP时,则2t=1+t,解得t=1,②当OQ=PQ时,∵∠AOB=30°,∴OP=OQ,则t+1=•2t,解得t=,③当PQ=OP时,∵∠AOB=30°,∴OQ=OP,则2t=(1+t),解得t=2+3,故选A.【分析】分三种情况:①当OQ=OP时,根据题意列出方程2t=1+t,②当PQ=OP时,解直角三角形得出则t+1=•2t,③当PQ=OP时,解直角三角形得出OQ=OP,则2t=(1+t),然后解方程求出t的值即可.11.(2015秋•莘县期末)如图,直线a,b,c表示交叉的公路,现要建一货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的站址有()A.一处 B.两处 C.三处 D.四处【解答】解:由题意作图图中小虚线和大虚线分别为所过角的平分线,根据角平分线到两边的距离相等,我们可知图中A、B、C、D四处可供选择站址.故选D.【分析】根据题意可作出示意图,利用角平分线定理即可.12.(2015秋•寿光市期末)如图,AD∥BC,∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P,作PE⊥AB,垂足为E.若PE=3,则两平行线AD与BC间的距离为()A.3 B.5 C.6 D.不能确定【解答】解:作PF⊥AD于F,PG⊥BC于G,∵AP是∠BAD的角平分线,PF⊥AD,PE⊥AB,∴PF=PE=3,∵BP是∠ABC的角平分线,PE⊥AB,PG⊥BC,∴PG=PE=3,∵AD∥BC,∴两平行线AD与BC间的距离为PF+PG=6,故选:C.【分析】作PF⊥AD于F,PG⊥BC于G,根据角平分线的性质得到PF=PE=3,PG=PE=3,根据平行线间的距离的求法计算即可.二.填空题(共4小题)13.(2016•邯郸一模)如图,在第1个△A1BC中,∠B=20°,A1B=CB;在边A1B上任取一点D,延长CA1到A2,使A1A2=A1D,得到第2个△A1A2D;在边A2D上任取一点E,延长A1A2到A3,使A2A3=A2E,得到第3个△A2A3E,…按此做法继续下去,则第5个三角形中以A5为顶点的内角度数是5°.【解答】解:∵在△CBA1中,∠B=20°,A1B=CB,∴∠BA1C==80°,∵A1A2=A1D,∠BA1C是△A1A2D的外角,∴∠DA2A1=∠BA1C=×80°;同理可得,∠EA3A2=()2×80°,∠F A4A3=()3×80°,∴第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是()n﹣1×80°.∴第5个三角形中以A5为顶点的内角度数为:=5°,故答案为:5°.【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数,再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1,∠EA3A2及∠F A4A3的度数,找出规律即可得出第n个三角形中以A n为顶点的内角度数.14.(2015•台州)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DC=3,则点D到AB的距离是3.【解答】解:作DE⊥AB于E,∵AD是∠CAB的角平分线,∠C=90°,∴DE=DC,∵DC=3,∴DE=3,即点D到AB的距离DE=3.故答案为:3.【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DC即可得解.15.(2015•毕节市)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB,交BC于点D,若CD=1,则BD=2.【解答】解:∵∠C=90°,∠B=30°,∴∠CAB=60°,AD平分∠CAB,∴∠BAD=30°,∴BD=AD=2CD=2,故答案为2.【分析】根据角平分线性质求出∠BAD的度数,根据含30度角的直角三角形性质求出AD 即可得B D.16.(2015•重庆模拟)如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,∠BAC的平分线交BD于点E,交BC于点F,点G是AD的中点,连接CG交BD于点H,连接FO并延长FO交CG于点P,则PG:PC的值为.【解答】解:如图:设正方形ABCD的边长为a,则AB=BC=AD=a,∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=90°,AD∥BC,OD=OB,由勾股定理得:AC=a,延长FP交AD于M,过B作BN∥AC交AF的延长线于N,则∠N=∠CAF,∵AF平分∠BAC,∴∠BAF=∠CAF,∴∠N=∠BAF,∴AB=BN=a,∵BN∥AC,∴△NFB∽△AFC,∴=,∴=,∴BF=(﹣1)a,∴CF=a﹣(﹣1)a=(2﹣)a,∵AD∥BC,∴△BOF∽△DOM,∴=,∵OD=OB,∴DM=BF=(﹣1)a,∵点G是AD的中点,∴DG=AG=a,∴GM=a﹣(﹣1)a=()a,∵AD∥BC,∴△GMP∽△CFP,∴=,∴==,故答案为:.【分析】设正方形ABCD的边长为a,则AB=BC=AD=a,根据正方形性质得出∠ABC=90°,AD∥BC,OD=OB,由勾股定理求出AC=a,延长FP交AD于M,过B作BN∥AC交AF的延长线于N,证△NFB∽△AFC求出BF=(﹣1)a,CF=(2﹣)a,证△BOF ∽△DOM求出DM=BF=(﹣1)a,求出GM=()a,证△GMP∽△CFP,得出=,即可求出答案.三.解答题(共5小题)17.(2015•株洲)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是△ABC的一条角平分线.点O、E、F分别在BD、BC、AC上,且四边形OECF是正方形.(1)求证:点O在∠BAC的平分线上;(2)若AC=5,BC=12,求OE的长.【解答】(1)证明:过点O作OM⊥AB,∵BD是∠ABC的一条角平分线,∴OE=OM,∵四边形OECF是正方形,∴OE=OF,∴OF=OM,∴AO是∠BAC的角平分线,即点O在∠BAC的平分线上;(2)解:∵在Rt△ABC中,AC=5,BC=12,∴AB===13,设CE=CF=x,BE=BM=y,AM=AF=z,∴,解得:,∴CE=2,∴OE=2.【分析】(1)过点O作OM⊥AB,由角平分线的性质得OE=OM,由正方形的性质得OE=OF,易得OM=OF,由角平分线的判定定理得点O在∠BAC的平分线上;(2)由勾股定理得AB的长,利用方程思想解得结果.18.(2015•路南区二模)在学完全等三角形后,李老师给出了下列题目:求证:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.已知:求证:证明:【解答】已知:PE=PF,PE⊥OA于E,PF⊥OB于F,求证:点P在∠AOB的平分线上.证明:在Rt△POE和Rt△POF中,,∴Rt△POE≌△RtPOF,∴∠EOP=∠FOP,∴点P在∠AOB的平分线上.【分析】根据题意画出图形,写出已知和求证,根据全等三角形的判定和性质证明结论.19.(2015•密云县一模)已知如图,A(3,0),B(0,4),C为x轴上一点.(1)画出等腰三角形ABC;(2)求出C点的坐标.【解答】解:设C(x,0),(1)如图(2)①当A是顶点时,C1(﹣2,0),C2(8,0),②当B是顶点时,C3(﹣3,0)③当C是顶点时,.【分析】(1)根据A(3,0),B(0,4),C为x轴上一点.利用两点间的距离可分别求出C点坐标.(2)设C(x,0),分3种情况①当A是顶点时,②当B是顶点时,③当C是顶点时三种情况进行讨论即可.20.(2015秋•滦县期末)如图,在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于D,CE⊥DE于点E;(1)若B、C在DE的同侧(如图所示)且AD=CE.求证:AB⊥AC;(2)若B、C在DE的两侧(如图所示),其他条件不变,AB与AC仍垂直吗?若是请给出证明;若不是,请说明理由.【解答】(1)证明:∵BD⊥DE,CE⊥DE,∴∠ADB=∠AEC=90°,在Rt△ABD和Rt△ACE中,∵,∴Rt△ABD≌Rt△CAE.∴∠DAB=∠ECA,∠DBA=∠ACE.∵∠DAB+∠DBA=90°,∠EAC+∠ACE=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°.∠BAC=180°﹣(∠BAD+∠CAE)=90°.∴AB⊥A C.(2)AB⊥A C.理由如下:同(1)一样可证得Rt△ABD≌Rt△ACE.∴∠DAB=∠ECA,∠DBA=∠EAC,∵∠CAE+∠ECA=90°,∴∠CAE+∠BAD=90°,即∠BAC=90°,∴AB⊥A C.【分析】(1)由已知条件,证明ABD≌△ACE,再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°,即可证明AB⊥AC;(2)同(1),先证ABD≌△ACE,再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°,即可证明AB⊥A C.21.(2015秋•定州市期末)如图,已知:E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA,C、D是垂足,连接CD,且交OE于点F.(1)求证:OE是CD的垂直平分线.(2)若∠AOB=60°,请你探究OE,EF之间有什么数量关系?并证明你的结论.【解答】解:(1)∵E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA,∴DE=CE,OE=OE,∴Rt△ODE≌Rt△OCE,∴OD=OC,∴△DOC是等腰三角形,∵OE是∠AOB的平分线,∴OE是CD的垂直平分线;(2)∵OE是∠AOB的平分线,∠AOB=60°,∴∠AOE=∠BOE=30°,∵EC⊥OB,ED⊥OA,∴OE=2DE,∠ODF=∠OED=60°,∴∠EDF=30°,∴DE=2EF,∴OE=4EF.【分析】(1)先根据E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA得出△ODE≌△OCE,可得出OD=OC,DE=CE,OE=OE,可得出△DOC是等腰三角形,由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线;(2)先根据E是∠AOB的平分线,∠AOB=60°可得出∠AOE=∠BOE=30°,由直角三角形的性质可得出OE=2DE,同理可得出DE=2EF即可得出结论.。