口诀：首平方，尾平方，两倍首尾放中间
我们把完全平方和公式与完全平方差 公式统称为完全平方公式（也叫乘法公式）
(a b) a 2ab b
2 2
2
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的 两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；
1、比较下列各式之间的关系：
(1) (-a
(x +y)2 =x2+2xy +y2
2 = a2+2ab+b2 . ( a + b ) 纠错练习 (a−b)2 = a2−2ab+b2 . 2、指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (a−1)2＝a2−2a−1. 解: (1) 第一数被平方时, 未添括号;
提问:（a－b）2等于什么？ 是否可以写成[a＋（-b）]2? 你能继续做下去吗？
2 (a-b) = 2 a
-
2 2ab+b
方法一：多项式的乘法法则 方法二：图形面积法
b a
ab
b²
(a-b)²
a² ab
a b
(a b) a ab ab b 2 2 a 2ab b
(2)
2 2 -4 24a (3a+__) =9a －___+16 4 -24a
计算：
• (a+b+c)(a+b-c)=___________
(2) (a+b-c)(a-b-c)=____________
计算：
(1)
2 (a+b+c) =
______________
(2) (a-b-c)2 = ______________
2
2
2
完全平方公式
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
公式变形为 （首±尾）2＝首2±2×首×尾＋尾2
首平方，尾平方，两倍首尾放中间
两数和的完全平方公式 (a+b)2 = a2+2ab+b2 . 两数差的完全平方公式 (a−b)2 = a2−2ab+b2 .
算一算你发现什么? 运用多项式与多项式相乘的法则计算下列各式 (1)(3+x)2 =(3+x)(3+x)=9+3x+3x+x2 =9+6x+x2 (2) (a+b)2 = (a+b)(a+b) = a2+ab+ab+b2 = a2+2ab+b2 . 观察以上算式，你发现了什么规律？
两数和的平方,等于这两数的平方和,加上这两数积的2倍
例3：一花农有4块正方形茶花苗圃，边
长分别为30.1m，29.5m，30m，27m。现 将这4块苗圃的边长都增加1.5m，求各苗圃 的面积分别增加了多少m² 。 解：设原正方形苗圃的边长为am,边长都增1.5m， 新正方形的边长为（a+1.5）m， （a+1.5）2-a2=a2+3a+2.25-a2=3a+2.25 当a=30.1时，3a+2.25=3×30.1+2.25=92.55 当a=29.5时，3a+2.25=3×29.5+2.25=90.75 类似地，当a=30， a=27时， 3a+2.25的值分别 为92.25，83.25。
(1) (
2 4a
-
2 2 b )
(2) (-2a2+b)2
(3) (2a-3b)2-2a(a-b)
生活在线：一花农有1块正方形茶花
苗圃，边长为am。现将这块苗圃的边长 都增加1.5m，求这块苗圃的面积增加了多 少m² 。
1.5
(a+1.5)² -a²
a a 1.5
=a² +3a+2.25-a² = 3a+2.25
项看作a，互为相反数的项中带正号的项看作b。
想一想：下列各式能用平方差公式计算吗
(1) (2 x y )( y 2 x ) (2 x y)(2 x y)
1 1 1 1 (2) ( a b)(b a ) (b a )(b a ) 2 2 2 2
(3) ( x 1)( x 1)
2
发散练习,勇于创新
1.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( B ) (A ) 11 (B) 9 (C) -11 (D) -9
2.已知(a+b)2=11 , ab=1 , 求(a-b)2的值.
完全平方公式
a b2 a 2 2ab b2 a b2 a 2 2ab b 2
纠错练习
1、下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2
+y2
错 (x +y)2 =x2+2xy +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2 错 (x -y)2 =x2 -2xy +y2 (3) (x -y)2 =x2+2xy +y2 错
(x -y)2 =x2 -2xy +y2 (4) (x+y)2 =x2 +xy +y2 错
2 -b) 2 b)
2 与(a+b)
相等
(2) (a -
与 (b -
2 a)
相等
(3) (-b +a)2 与(-a +b)2 相等
已知 a+b = 5，ab = 2， 求下列各式的值：
2 （1）a + 2 b；
（2）( a－b )
2;
2 (1)如果x +kx+25是完全平
±10 。 方式，则 k=_____
9 x 24 xy 16 y
课内练习：运用完全平方公式计算。
(1) (3 x)
(3) (7 y)
2
(2) ( y 7)
2
2
(4) (2 x 3 y)
2
1 2 (5) (3 t ) 3
(7)( 3a 4)
2
1 1 2 (6) ( m n) 2 5
2
例2、运用完全平方公式计算：
第一数与第二数乘积的2倍 少乘了一个2 ;
应改为: (2a−1)2＝ (2a)2−2•2a•1+1;
(2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项);
应改为: (2a+1)2＝ (2a)2+2•2a•1 +1;
(3) 第一数平方未添括号, 第一数与第二数乘积的2倍 错了符号; 第二数的平方 这一项错了符号;
这两个公式的区别与联系是什么?
提示:
以上两个公式统称完全平方公式.
平方差公式和完全平方公式也称乘法公式.
一般的，我们有以下两数和的完全平方公式：
(a b) a 2ab b
2 2
2
2
计算： (2 x 3 y ) （2 x) 2(2 x)(3 y) (3 y)
2
2
填空： (1) (2 x) (
2 +2ab+ 2 a (a+b) =
b2
方法一：多项式的乘法法则 方法二：图形面积法
b ab a
b² ab
b
2 2
(a+b)²
a²
a
2
(a b) a +2 ab +b
两数和的完全平方公式 (a+b)2 = a2 +2ab + b2
做一做:用两数和的完全平方公式计算(填空):
a 2 +2 . ___ a . ___ 1 + ___ 1 2 =_____________ a2+2a+1 =____ 4a2+12ab+9b2 (2) (2a+3b)2 =____ (2a) 2 +2 . ___ 2a . ____+____ 3b (3b) 2=____________ (1) (a+1) 2
乘法公式（2） 完全平方公式
回顾 & 思考 ☞ (a+b)(a−b)= a2 − b2;
公式的结构特征: 左边是 两个二项式的乘积, 即两数和与这两数差的积. 右边是 这两数的平方差.
应用平方差公式的注意事项:
使用平方差公式(a+b)(a-b)=a² -b² 时，关键在于
找准_a__与_b__，公式左边积的两个因式中相同的
2 2
4 x 12 xy 9 y
2
2
2
2 ) 2 ( 2 ) ( x ) ( x ) 2 2 2 (2) (2a y ) ( 2a) 2 (2a) ( y ) ( ( x) 2 ( x) ( 3 y) ( 3 y)
应改为: (a−1)2＝(a)2−2•(a )•1+12;
例题 : 1.计算： (1) ( x 2 y )
2
2
2
( 2) ( 2a 5)
2
2
x 4 xy 4 y
(3) (2s t )
2
2
4a 20a 25
(4) (3x 4 y )
2
2
2
2
4s 4st t
答：苗圃的面积分别增加了92.55m2,90.75m2, 92.25m2,83.25m2.
1、选用适当的公式计算：
(1)(2 x y)(2 x y)
(2)( x 1)( x 1)