NMPCBA<一 >常用结论1.证明直线与直线的平行的思考途径:(1转化为判定共面二直线无交点; (2转化为二直线同与第三条直线平行; (3转化为线面平行; (4转化为线面垂直; (5转化为面面平行 .2.证明直线与平面的平行的思考途径:(1转化为直线与平面无公共点; (2转化为线线平行; (3转化为面面平行 .3. 证明平面与平面平行的思考途径:(1 转化为判定二平面无公共点; (2 转化为线面平行;(3转化为线面垂直 .4.证明直线与直线的垂直的思考途径:(1转化为相交垂直; (2转化为线面垂直; (3转化为线与另一线的射影垂直; (4转化为线与形成射影的斜线垂直 . 5.证明直线与平面垂直的思考途径:(1转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 . 6.证明平面与平面的垂直的思考途径:(1转化为判断二面角是直二面角; (2转化为线面垂直 .3、如图,在正方体 1111ABCD A B C D -中, E 是 1AA 的中点, 求证: 1//AC 平面BDE 。
5、已知正方体 1111ABCD A B C D -, O 是底 ABCD 对角线的交点 .求证:(1 C1O ∥面 11AB D ; (21AC ⊥面 11AB D .9、如图 P 是ABC ∆所在平面外一点, , PA PB CB =⊥平面 PAB , M 是 PC 的中点, N 是AB 上的点, 3AN NB =AD 1CBDCD DBA C 1B A 1C例 4、如图,在 Rt AOB △中, π6OAB ∠=,斜边 4AB =. Rt AOC △可以通过 Rt AOB △以直线 AO 为轴旋转得到, 且二面角 B AO C --的直二面角. D 是 AB 的中点. (错误!未找到引用源。
求证:平面 COD ⊥平面 AOB ;(错误!未找到引用源。
求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小.例 5. 四棱锥 S ABCD -中,底面 ABCD 为平行四边形,侧面 SBC ⊥底面 ABCD .已知 45ABC = ∠ , 2AB =, BC =SA SB =(Ⅰ证明 SA BC ⊥;(Ⅱ求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小.例 1如图,正三棱柱 111ABC A B C -的所有棱长都为 2, D 为 1CC 中点. (Ⅰ求证:1AB ⊥平面 1A BD ; (Ⅱ求二面角 1A A D B --的大小; (Ⅲ求点 C 到平面 1A BD 的距离.例 2已知三棱锥 ABC S -,底面是边长为 24的正三角形,棱 SC 的长为 2,且垂直于底面 . D E 、分别为 AB BC 、的中点,求 CD 与 SE 间的距离 .例 3. 如图,在棱长为 2的正方体 1AC 中, G 是 1AA 的中点,求 BD 到平面 11D GB 的距离证明:连接 AC 交 BD 于 O ,连接 EO , ∵ E 为 1AA 的中点, O 为 AC 的中点B D1A 1C1BBDCAA1A 1D 1∴ EO 为三角形 1A AC 的中位线∴ 1//EO AC 又 EO 在平面 BDE 内, 1AC 在平面 BDE 外∴ 1//AC 平面 BDE证明:(1连结 11A C ,设11111AC B D O ⋂=,连结 1AO∵ 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形∴ A 1C 1∥ AC 且 11AC AC = 又 1, O O 分别是 11, AC AC 的中点,∴ O 1C 1∥AO 且 11O C AO =11AOC O ∴是平行四边形 111, C O AO AO ∴⊂∥面 11AB D , 1C O ⊄面 11AB D ∴ C 1O ∥面 11AB D(2 1CC ⊥面 1111A B C D 11! C C B D ∴⊥又1111AC B D ⊥∵ , 1111B D A C C ∴⊥面 111A C B D ⊥即同理可证11AC AD ⊥, 又1111D B AD D ⋂=∴1AC ⊥面 11AB D(1求证:MN AB ⊥; (2当 90APB ∠=, 24AB BC ==时,求 MN 的长。
证明:(1取 PA 的中点 Q ,连结 , MQ NQ ,∵ M 是PB 的中点,∴ //MQ BC ,∵ CB ⊥平面 PAB ,∴ MQ ⊥平面 PAB ∴ QN 是 MN 在平面 PAB 内的射影 ,取 AB 的中点 D ,连结 PD ,∵ , PA PB =∴PD AB ⊥,又 3AN NB =,∴ BN ND = ∴ //QN PD ,∴ QN AB ⊥,由三垂线定理得MN AB ⊥(2∵ 90APB ∠=, , PA PB =∴ 122PD AB ==,∴ 1QN =,∵ MQ ⊥平面 PAB .∴ MQ NQ ⊥,且 112MQ BC ==,∴ MN =(错误!未找到引用源。
由题意, CO AO ⊥, BO AO ⊥,BOC ∴∠是二面角 B AO C --是直二面角, CO BO ∴⊥,又 AO BO O = , CO∴⊥平面 AOB ,又 CO ⊂平面 COD .∴平面 COD ⊥平面 AOB .(错误!未找到引用源。
作 DE OB ⊥,垂足为 E ,连结 CE (如图 ,则, DE AO ∥CDE ∴∠是异面直线 AO 与 CD 所成的角.在 Rt COE △中, 2CO BO ==, 112OE BO ==,CE ∴=又 12DE AO =∴在 Rt CDE △中, tan CE CDE DE===.∴异面直线 AO 与 CD所成角的大小为(Ⅰ作 SO BC ⊥ ,垂足为 O ,连结 AO ,由侧面 SBC ⊥底面 ABCD , 得 SO ⊥底面 ABCD .因为 SA SB =,所以 AO BO =,又 45ABC = ∠ ,故 AOB △为等腰直角三角形, AO BO ⊥ , 由三垂线定理,得SA BC ⊥ .(Ⅱ由(Ⅰ知 SA BC ⊥ ,依题设 AD BC ∥ , 故 SA AD ⊥,由 AD BC ==SA =AO =,得1SO =, SD =. SAB △的面积 112S AB =连结 DB ,得 DAB △的面积 21sin13522S AB AD == 设 D 到平面 SAB 的距离为 h ,由于 D SAB S ABD V V --=,得121133h S SO S =,解得 h = 设 SD 与平面 SAB 所成角为α,则sin h SD α=.所以,直线 SD 与平面 SBC所成的我为(Ⅰ取 BC 中点 O ,连结 AO .ABC △为正三角形, AO BC ∴⊥ .正三棱柱 111ABC A B C -中,平面 ABC ⊥平面 11BCC B ,B1A 1C1BAO ∴⊥平面 11BCC B .连结 1B O ,在正方形 11BB C C 中, O D , 分别为1BC CC , 的中点, 1B O BD ∴⊥ , 1AB BD ∴⊥ .在正方形 11ABB A 中, 11AB A B ⊥ , 1AB ∴⊥平面 1A BD .(Ⅱ设 1AB 与 1A B 交于点 G , 在平面 1A BD 中, 作 1GF A D ⊥于 F , 连结AF , 由 (Ⅰ得 1AB ⊥平面 1A BD .1AF A D ∴⊥ , AFG ∴∠为二面角 1A A D B --的平面角.在 1AA D △中,由等面积法可求得 AF =又 112AG AB =sin AG AFG AF∴==∠ . 所以二面角 1A A D B --的大小为(Ⅲ 1A BD △中, 111A BD BD A D A B S ===∴=△ 1BCD S =△ .在正三棱柱中, 1A 到平面 11BCC B设点 C 到平面 1A BD 的距离为 d .由 11A BCD C A BD V V --=,得 11133BCD A BD S S d △△ ,1A BD d ∴=△∴点 C 到平面 1A BD如图所示,取 BD 的中点 F ,连结 EF , SF , CF ,EF ∴为BCD ∆的中位线, EF ∴∥ CD CD ∴, ∥面 SEF ,CD ∴到平面 SEF 的距离即为两异面直线间的距离 .又线面之间的距离可转化为线 CD 上一点 C 到平面 SEF 的距离,设其为 h ,由题意知, 24=BC , D 、 E 、 F 分别是AB、BC、BD 的中点， CD 2 6 , EF VS CEF 1 CD 6 , DF2 , SC 2 2 1 1 1 1 23 EF DF SC 6 2 2 3 2 3 2 3 在 Rt SCE 中， SE 在 Rt SCF 中， SF 又 EF SC 2 CE 2 2 3 SC 2CF 2 4 24 2 30 6, S SEF 3 1 2 3 2 3 1 ，解得 h S SEFh ，即 3 h 3 3 3 3 2 3 . 3 由于 VC SEF VS CEF 故 CD 与 SE 间的距离为思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解. 解答过程：解析一 BD ∥平面 GB1 D1 ， BD 上任意一点到平面 GB1 D1 的距离皆为所求，以下求点 O 平面 GB1 D1 的距离, B1 D1 A1C1 ， B1 D1 A1 A ， B1 D1 平面 A1 ACC1 , 又 B1 D1 平面 GB1 D1 平面 A1 ACC1 GB1 D1 ，两个平面的交线是 O1G , 作 OH O1G 于 H，则有 OH 平面 GB1D1 ，即 OH 是 O 点到平面 GB1 D1 的距离. 在O1OG 中， S O1OG 又 SO1OG 1 1 O1O AO 2 2 2 . 2 2 1 1 2 6 . OH O1G 3 OH 2 , OH 2 2 3 2 6 . 3 即 BD 到平面 GB1 D1 的距离等于解析二 BD ∥平面 GB1 D1 ， BD 上任意一点到平面 GB1 D1 的距离皆为所求，以下求点 B 平面 GB1 D1 的距离. 设点 B 到平面 GB1 D1 的距离为 h，将它视为三棱锥 B GB1 D1 的高，则 VB GB1D1 VD1 GBB1 ,由于SGB1D1 1 2 2 3 6， 2 4 2 6 1 1 4 , VD1 GBB1 2 2 2 , h 3 3 2 3 6 即 BD 到平面 GB1 D1 的距离等于 2 6 . 3。