立体几何咼考真题大题1. （2016高考新课标1卷）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方 形,AF=2FD, NAFD =90：且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60：（I ）证明：平面 ABEF 丄平面EFDC （n ）求二面角 E-BC-A 的余弦值. 【答案】（I ）见解析；（n ） -2蜃19【解析】试题分析：（I ）先证明AF 丄平面E FDC ,结合直F U 平面AB E F ,可得平面ABE F 丄 平面E FDC . （n ）建立空间坐标系，分别求出平面E C E 的法向量m 及平面E C E 的法试题解析：（I ）由已知可得 A F 丄DF, A F 丄F E|,所以A F 丄平面E FDC . 又A F U 平面AE E F ,故平面AEE F 丄平面|E F D C . _ （n ）过D 作DG 丄E F ,垂足为G ,由（I ）知DG 丄平面［A E 百F .以G 为坐标原点，GF 的方向为x 轴正方向，GF 为单位长度，建立如图所示的空间直 角坐标系G —xyz .由（I ）知N DF E 为二面角D -A F -E 的平面角，故N DF E =60：贝U DF = 2 ,DG|=3,可得九(1,4,0 ), B(—3,4,0 ), E(—3,0,0 ), D (0,0, 73 ).由已知，AE //E F ,所以AE //平面E FDC .又平面 A ECD n 平面 |E FDC = DC ,故〕AB //CD , CD//EF .由EE //A F ,可得EE 丄平面I E F DC ,所以N C E F |为二面角C —EE —F 的平面角，向量n ,再利用cos （n,m ）求二面角.n ||m|N C E F =60 .从而可得 C (—2,0,).所以 E C =(1,0, ^/3), EB =(0,4,0 ), A C =(-3,—4,73), AB =(—4,0,0 ). 设n =（x, y, z ）是平面B C E 的法向量,则I n -E C = 0 I X + \/^z = 0{ —，即 \ [斤庄=0 [4y =0所以可取n=（3,o, J 卜设m 是平面A BCD 的法向量，则竺~0[m AE =0同理可取m =（0，Q ）•则co s （n ，m =品一瞬 故二面角E - EC-直的余弦值为—更919考点：垂直问题的证明及空间向量的应用【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明 ，空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系，其中推理论证的关键是结 合空间想象能力进行推理，要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面 ，该类题目难度不 大，以中档题为主.第二问一般考查角度问题 ，多用空间向量解决.2 . （ 2016高考新课标 2理数）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与BD 交于点O ,5AB =5,AC=6，点 E,F 分别在 AD,CD 上，AE=CF =-, EF 交 BD 于点 H .将4ADEF 沿 EF 折到 A D E F 位置，OD’= J 10.（I ）证明：D H 丄平面ABCD ； （n ）求二面角 B —DA —C 的正弦值.2/95【答案】（I ）详见解析；（n ）三旦D25 【解析】试题分析：(I)证AC//EF ，再证D 'H 丄OH ,最后证DH 丄平面ABCD ； (n) 用向量法求解.AE CF AC 丄 BD ,AD =CD ，又由 AE =CF 得DO =B0 =V A B 2 - AO 2由 EF //AC 得 空=肇 二丄.所以 OH =1 , DH =DH =3 .DO AD 4于是 OH =1 , DH +OH 2=32 +12=10=DO 2 , 故D H 丄OH . 又 D H 丄 EF ，而 OH c EF = H , 所以DH 丄平面ABCD .HF 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系H -xyz .则 H (0,0,0 ), A(—3,—2,0 ), B(0,-5,0), C(3,—1,0 ), D'(0,0,3 ), AB = (3,—4,0),AD'=(3,1,3).设mNxjy’z,)是平面ABD'的法向量，则[3x , -4y 1 =0Qx , +y 1 +3z 1 = 0’~■'I n F AC = 0所以可以取m=(4,3,-5 ).设n =(x 2, y 2,z 2 )是平面ACD 的法向量，则« --------------i n ”AD ，= 0即严二0.3x 2 +y 2 +3Z 2 =0试题解析：(I)由已知得 CD ，故AC / /EF I .因此 E F H ,从而 EF 丄D H由 AB =5AC =6 得AC =(6,0,0 ),I m ”AB =0{ — —~ ，即[m ・AD ，= 0(n)如图，以 H 为坐标原点,■・im n 所以可以取n=(0 ,J,1\.于是cosmn ：＞=— ImH n|sincm’^N 9!25因此二面角B - D A —C 的正弦值是 2^95 25②a // b, a ± a ? b ± a ； 常用来证明线线垂直.求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量， 然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小， 但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.3. （2016高考山东理数）在如图所示的圆台中， AC 是下底面圆0的直径，EF 是上底面 圆O 的直径，FB 是圆台的一条母线.（I ）已知 G,H 分别为EC FB 的中点，求证： GH//平面 ABC （n ）已知 EF =FB =1AC =273 AB =BC 求二面角 F -BC -A 的余弦值.2 ， I 答案】（I ）见解析；（n ）" 7【解析】试题分析：（I ）根据线线、面面平行可得与直线 GH 与平面ABC 平行；（n ）立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，其中解法一建立 空间直角坐标系求解；解法二则是找到 解.-1 4考点：线面垂直的判定、二面角.【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有:①判定定理； 线面垂直的性质,NFNM 为二面角F-BC-A 的平面角直接求7iiH(I)证明：设FC 的中点为I ,连接GI ,HI ,在^CEF ,因为G 是CE 的中点，所以GI//E F, 又 EF//OB ,所以 GI//OB ,在^CFB 中，因为H 是FB 的中点，所以HI//BC 又HI cGI =1,所以平面GHI //平面ABC , 因为GH U 平面GHI 所以GH //平面ABC . (n)解法一：连接OO',则OO'丄平面ABC , 又AB=BC,且AC 是圆O 的直径，所以BO 丄AC.B(0,2j3,0)，C(—2j3,0,0)，过点 F 作 FM 垂直OB 于点 M ，可得 F(0, J 3,3)故 BC =(—2后,—273,0), BF =(0,—73,3). 设m = (x, y, z)是平面BCF 的一个法向量. 丄 I m Be =0 由 5 ~ —J[m BF =0可得「吟-遍=0[3z=0可得平面BCF 的一个法向量m = (—1,谭),因为平面ABC 的一个法向量n =(0,0,1),所以FM=J F B 2 - BM 2 =3,由题意得 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 0 -xyz ,所以cos C m, n X 丄丄-=&|m|| n| 7所以二面角F — BC - A 的余弦值为解法二：连接O O j ，过点|F 作FM 丄0B 于点M , 则有 FM //00', 又00'丄平面ABC ， 所以可得 从而N FNM I 为二面角 F -BC -A 的平面角. 又AB =BC ,疋是圆0的直径，所以 MN =BM sin42从而FN 二返，可得cosNFNM2所以二面角F -BC -A 的余弦值为考点：1平行关系；2 .异面直线所成角的计算.【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直 线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，给出规范的证明.立体 几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目 条件，灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力 转化与化归思想及基本运算能力等.4. （2016高考天津理数）如图，正方形ABCD 的中心为 0,四边形 0BEF 为矩形，平面0BEFL 平面ABCD 点G 为AB 的中点，AB=BE=2FM L 平面 ABC, 可得 FM = J F B 2 -BM 2 =3,过点 M 作MN 垂直BC 于点N ，连接FN ,FN 丄 BC A£（川）设H 为线段AF 上的点，且A H Z H F,求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值.3J 3J 7 【答案】（I ）详见解析（n ） 土（川）—321【解析】试题分析：（I ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与 直线方向向量垂直进行论证（n ）利用空间向量求二面角，关键是求出面的法向量，再 利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值（川）禾U 用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法 向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值 试题解析：依题意，OF 丄平面ABCD ，如图，以0为点，分别以 AD,BA,OF 的方向为x 轴，y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得A (—1,1,0 ),B(—1,-1,0), C(1,—1,0), D(1,,0), E(—1,—1,2), F(0,0,2), G(—1,0,0).0(0, 0, 0)JC(I)证明：依题意，AD =(2,0,0), AF =(1,—1,2 ).设厲=(x,y,z)为平面ADF 的法向量，则丿巴AD"0，即i n厂AF =0 |2x=0I x-y + 2z = 0 .不妨设z = 1，可得rn =（0,2,1 ），又EG =（0,1,—2）,可得E G 1^0 ,又因为直线Eg 平面 A D F 所以 EG//平面ADF .（n ）解：易证，OA=（—1,1,0）为平面O EF 的一个法向量.依题意，EF =(1,1,0)CF =(—1,1,2)•设 n 2 =(x,y,z )为平面 CEF 的法向量, f x + y = 0 ‘ f 即Q y .不妨设x=1，可得门2=(1,—1,1).卜X +y +2z =0。