能量型信号的能谱E(ω)为 由巴塞伐尔等式，可得到
信号的总能量限，平均功率有限的信号称 为功率型信号。即
Ps为信号的平均功率。
5、平均功率的谱表示
功率型信号不满足绝对可积条件。 为了能够利用傅立叶变换给出平均
功率的谱表示式，构造截尾函数：
平均功率的谱表示
解：
的功 内均
例 2.4-2
随机电报信号自相关函数 求功率谱密度
例 2.4-3
已知功率谱
应用留数定理
留数和
例 2.4-4
若平稳随机过程功率谱
三、互谱密度
1、互谱密度的定义 2、互谱密度的维纳-辛钦公式形式定义 3、互谱密度的性质
1、互谱密度的定义
定义： 设随机过程X(t)和Y(t)是联合平稳的 ，则定义互谱密度为
相当于《信号与系统》中的冲击响应函数
2、白噪声过程的自相关函数
根据维纳-辛钦公式，白噪声过程的 自相关函数：
2、白噪声过程的自相关函数
白噪声的自相关函数和功率谱密度
3、白噪声过程的相关系数
白噪声的相关系数：
可见白噪声在任意两个相邻时刻的取值 都不相关。还句话说，白噪声随时间的 起伏变化较快，频域来说频谱很宽。
6、平稳过程的功率谱密度
平稳随机过程的样本函数是功率型的 。
我们定义
为平稳过程X(t)的平均功率。
6、平稳过程的功率谱密度
由于平稳随机过程的均方值是常数
平稳过程的功率谱密度
定义
为平稳随机过程X(t)的功率谱密度。 这样，Px又可以写成
平均功率 谱的表达式
平稳过程的功率谱密度
为双边功率谱密度，但在实际
1） 2） 3
）
奇函数 偶函数
先证明： 令：
互谱密度函数不是实的、正的偶函数
从定义 和施瓦茨不等式
四、白噪声过程
1、白噪声过程的定义 2、白噪声过程的自相关函数 3、白噪声的相关系数
1、白噪声过程的定义
若一个均值为零的平稳过程 具有恒定功率谱密度
则称W(t)为白噪声过程。其中N0表 示单边功率谱密度。
sT(t)能够满足绝对可积条件。 sT(t) 的频域结构
sT(t)的平均功率：
平均功率的谱表示
由巴塞伐尔等式，可得到
两边同除以2T，并由截尾函数的定 义，得到
平均功率的谱表示
令T趋于无穷，功率型信号s(t)在 (-∞, ∞)上的平均功率可表示为
功率型信号的平均功率谱密度
功率谱密度
功率型信号的平均功率谱密度，简 称功率谱密度，定义为：
2、互谱密度的维纳-辛钦公式
随机过程X(t)和Y(t)的互谱密度是它 们的互相关函数RXY(τ)的傅立叶变换 ：
2、互谱密度的维纳-辛钦公式
当
若X(t)是一个二端电压、Y(t)是流经 该器件的电流，则上式左边就是消 耗的功率。
两个正交随机过程性质
随机过程X(t)和Y(t)正交
此时有：
3、互谱密度的性质
功率谱密度和白噪声过 程
2020年4月24日星期五
第六讲：
平稳随机过程的功率谱密度 白噪声随机过程
• 主讲人：张有光 • 电 话：82314978 • 办公室：新主楼F806
主要内容
一、平稳过程的功率谱密度 二、谱密度与自相关函数 三、平稳过程的互谱密度 四、白噪声过程
一、平稳过程的功率谱密度
②
上述两式统称为 维纳-辛钦公式
注释：对比“信号与系统”
返回
中维纳辛钦公式
2、功率谱密度两种定义的等价条件
对于第一种定义，将其展开
功率谱密度两种定义的等价条件
通过变量置换，最后得到：
功率谱密度两种定义的等价条件
只要 则上式中第二项为零，故此时
也就是说，平稳随机过程在自相关 函数绝对可积的情况下，维纳-辛
注释：白噪声平均功率
白噪声是一种理想化的数学模型，在物 理上不可实现，因为按照白噪声的定义 它的平均功率是无限大。
由于白噪声数学表述上的简洁性，是很多物理现象的 一种近似。如电子管中的散弹噪声，通信传播中的信道 干扰。显然白噪声是各态历经过程，它可以看成是大数 定律中随机序列推广到连续时间的情形。
应用中，负频率不存在，故引入
单边谱密度
二、谱密度与自相关函数
1、功率谱密度与自相关函数的关 系—维纳-辛钦公式
2、功率谱密度两种定义的等价条件 3、功率谱密度的性质
1、谱密度与自相关函数的关系
平稳随机过程的功率谱密度是它的自 相关函数的傅立叶变换：
①
由于
是实函数
谱密度与自相关函数的关系
由傅立叶逆变换公式，有
4、非白噪声
非白噪声成为有色噪声，或相关噪 声，其功率谱密度：
其功率谱密度不再是均匀的，而是 频率ω的函数。
5、矢量白噪声
定义：若一个n维独立矢量随机过程
均值矢量为
本节课小结
1、平稳过程的功率谱密度 2、谱密度与自相关函数：维纳辛钦
定理，计算功率谱的方法； 3、平稳过程的互谱密度 4、白噪声过程
钦公式成立。此时功率谱密度的两 种定义等价。
功率谱的意义
3、功率谱密度的性质
若过程X(t)是实平稳的，则自相关函 数是实偶函数，因此功率谱密度也 是实偶函数，即
证明：
功率谱密度的性质
由于R(τ)和S(ω)都是偶数，于是维 纳-辛钦公式还可以写成：
例 2.4-1
设随机相位余波 率谱密度，其 是在区间 匀分布.
1、能量型信号 2、信号的频谱 3、信号的能谱 4、功率型信号 5、平均功率的谱表示和功率谱密度 6、平稳过程的功率谱密度
1、能量型信号
能量型信号
其中，s(t)为信号，W为总能量。
2、信号的频谱
在
的情况下，能量型
信号s(t)的傅立叶变换存在，即
称F(ω)为信号s(t)的频谱。
？
3、信号的能谱密度