第一部分 选择题一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。
1． 复数i 258-2516z =的辐角为（ ）A ． arctan 21 B ．-arctan 21 C ．π-arctan 21 D ．π+arctan 212．方程1Rez 2=所表示的平面曲线为（ ）A ． 圆B ．直线C ．椭圆D ．双曲线 3．复数)5,-isin5-3(cosz ππ=的三角表示式为（ ） A ．)54isin ,543(cos -ππ＋ B ．)54isin ,543(cos ππ－C ．)54isin ,543(cos ππ＋D ．)54isin ,543(cos -ππ－4．设z=cosi ，则（ ）A ．Imz=0B ．Rez=πC ．|z|=0D ．argz=π5．复数i3e+对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．设w=Ln(1-I),则Imw 等于（ ）A ．4π－B ． 1,0,k ,42k ±=ππ－ C ．4πD ． 1,0,k ,42k ±=+ππ7．函数2z w =把Z 平面上的扇形区域：2||,03argz 0<<<z π＜映射成W 平面上的区域（ ） A ．4||,032argz 0<<<w π＜ B ．4||,03argz 0<<<w π＜C ． 2||,032argz 0<<<w π＜D ．2||,03argz 0<<<w π＜8．若函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分⎰+-c n a z z f 1)()(等于（ ）A ．)()!1(2)1(a f n i n ++πB ．)(!2a f n iπ C ．)(2)(a ifn π D ．)(!2)(a f n in π9．设C 为正向圆周｜z+1|=2,n 为正整数，则积分⎰+-c n i z dz1)(等于（ ）A ． 1B ．2πiC ．0D ．iπ2110．设C 为正向圆周|z|=1，则积分⎰c z dz||等于（ ）A ．0B ．2πiC ．2πD ．－2π 11．设函数f(z)=⎰zd e 0ζζζ，则f （z ）等于（ ）A ．1++zze ze B ．1-+zze ze C ．1-+-zze ze D ．1+-zze ze 12．设积分路线C 是帖为z=-1到z=1的上半单位圆周，则⎰+c 2dz z 1z 等于（ ）A ．i 2π+B ．i -2πC ．i -2-πD ．i 2-π+13．幂级数∑∞=1n 1-n n!z 的收敛区域为（ ）A ．+∞<<|z |0B ．+∞<|z |C ．-1|z |0<<D ．1|z |< 14．3z π=是函数f(z)=ππ-3z )3-sin(z 的（ ） A ． 一阶极点 B ．可去奇点 C ．一阶零点 D ．本性奇点 15．z=-1是函数41)(z zcot +π的（ ） A ． 3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点 16．幂极数∑∞=+1n nz (2n)!1)!n （的收敛半径为（ ） A ． 0 B ．1 C ．2 D ．＋∞ 17．设Q （z ）在点z=0处解析，1)-z(z Q(z)f(z)=,则Res[f(z),0]等于（ ）A ． Q （0）B ．－Q （0）C ．Q ′（0）D ．－Q ′（0） 18．下列积分中，积分值不为零的是（ ）A ．2|1-z C 3)dz,2z (z c3=++⎰为正向圆周｜其中B ．5|zC dz,e cz =⎰为正向圆周｜其中C ．1|z C dz,sinz zc =⎰为正向圆周｜其中 D ．2|z C dz,1-z cosz c =⎰为正向圆周｜其中19．映射2z z w 2+=下列区域中每一点的伸缩率都大于1的是（ ）A ．21|1z |>+B ．21|1z |<+C ．21|z |>D ．21|z |<20．下列映射中，把角形域4argz 0π<<保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ）A ．1-z 1z w 44+=B ．1z 1z w 44＋－=C ．iz i z w 44＋－= D ．i -z iz w 44+=第二部分 非选择题（共60分）二、填空题（本大题共10空，每空2分，共30分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
错填或不填均无分。
21．复数484z +=i 的模|z|＝_____________________。
22．设100i)(1z +=，则Imz ＝______________________。
23．设z=i2e+，则argz ＝____________________________。
24．f （z ）的可导处为_______________________________。
25．方程Inz=i 3π的解为_________________________。
26．设C 为正向圆周|z|=1，则⎰+c )dz z z1(=___________________________。
27．设C 为正向圆周|z －i|=21,则积分⎰c 2zdz i)-z(z e π=___________________。
28．设C 为正向圆周|ζ |=2，⎰=c d z-3sinf(z)ζζπ，其中|z|<2，则f ′(1)=___________________。
29．幂极数∑∞=1n nnz nn!的收敛半径为________________________。
30．函数f(z)=]1)(z 11z 1[1z15+++++在点z=0处的留数为__________________。
三、计算题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）31．求22y -2xy x u +=的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)＝1。
32．计算积分⎰+=c dz |z |zz I 的值，其中C 为正向圆周|z|=2。
33．试求函数f(z)=ζζd e z-2⎰在点z=0处的泰勒级数，并指出其收敛区域。
34．计算积分⎰+=c 22zdz 3i)(z i)-(z e I π的值，其中C 为正向圆周|z-1|=3。
四、综合题（下列3个题中，35题必做，36、37题中只选做一题，需考《积分变换》者做37题，其他考生做36题，两题都做者按37题给分。
每题10分，共20分） 35．利用留数求积分dx 910x x cosxI 240++⎰∞+＝的值。
36．设Z 平面上的区域为2|i -z |,2|i z |D <>+：，试求下列保角映射（1）(z)f w 11=把D 映射成W 1平面上的角形域ππ43argw 4D 11<＜：； （2）)(w f w 121=把D 1映射成W2平面上的第一象限2argw 0D 22π<＜：;（3）w=f 3(w 2)把D 2映射成W 平面的上半平面：Imw>0; （4）w=f(z)把D 映射成G 。
37．积分变换（1）设=)F(ω,a 是一个实数，证明（2）利用拉氏变换解常微分方程初值问题：{1,y '-2y;y'-1.(0)y'0,y(0)=+==二OO 二年上半年高等教育自学考试全国统一命题考试复变函数与积分变换试题参考答案及评分标准(课程代码 2199)一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)1．B 2．D 3．C 4．A 5．A 6．B 7．A 8．D 9．C 10．A 11．D 12．C 13．B 14．B 15．C 16．D 17．B 18．D 19．A 20．C 二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）21.8 22．0 23．1 24．z=0 25．),3i (121z +=或3i e π26．4πi 27．－2π(π+i) 28．i,33π或3cos 3i 2πππ⋅ 29．E 30．6三、计算题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）31．解1：2y -2x y u2y 2x x u =∂∂+=∂∂， ，由C －R 条件，有yu-x v ,x x y v ∂∂=∂∂∂∂=∂∂， ⎰⎰++=+=∂∂=∴(x)y 2xy 2y)dy (2x dy xvv 2ϕ。
（2分） 再由yu -2y -2x (x)'2y x u ∂∂=+=+=∂∂ϕ， 得-2x (x)'=ϕ，于是C -x (x)2+=ϕ，C x -y 2xy v 22++=∴。
（4分） 由1,v(0,0)=得1C ＝。
故1x -y 2xy v 22++= （5分） 解2： C dy yvdx x v y)v(x y)(x,(0,0) +∂∂+∂∂=⎰⎰+++=y)(x,(0,0)C2y)dy (2x 2x)dx -(2y（2分）C y 2xy -x 22+++= (4分)以下同解1。
32．解1：⎰⎰⎰+⋅==+c - c )d isin 2i(cos 2cos 2Rezdz 21dz |z |z z ππθθθθ (3分) i 4)d cos2(14iπθθπ=+=⎰。
（5分）解2：⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+c 20 i i -i d 2ie 22e 22e dz |z |z |z |z πθθθθ (3分) i 40)2i(2ππ=+＝。
（5分） 33．解：因为∑∑∞=∞=+∞<===0n 2nn 0n n 2z -)z (| z n!(-1)n!)(-z e(z)' f 2｜，（2分） 所以由幂级数在收敛圆内逐项求积性质，得∑⎰∞=++∞<+==0n 12n n z)z (| 12n z n!(-1))d (' f (z) f ｜ζζ (5分)34．解：因在C 内22z3i)(z i)-(z e f(z)+=π有二阶级点z=I ，所以⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→c2i z f(z)i)-(z dz d lim 1!i 2f(z)dz π （2分） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=→3z 2z i z 3i)(z 2e -3i)(z e lim i 2ππππ i)2(-116ππ+=。
（5分）四、综合题（下列3个题中，35题必做，36、37题中只选做一题，需考《积分变换》者做37题，其他考生做36题，两题都做者按37题给分。