a－2<0 时，由题意得 Δ<0
，
a<2 即 2 4a－2 －4a－2－4<0
， 解得－2<a<2.
综上所述可知：－2<a≤2.
【例3】 若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解 集为R，求实数a的取值范围．
错解：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集 为R，
a－2<0 ∴ Δ<0 a<2 ⇔ 2 4a－2 －4a－2－4<0
⇔－2<a<2.
正解：当 a－2＝0，即 a＝2 时，原不等式为 －4<0，所以 a＝2 时成立． 当 a－2≠0
练习1(x-1)(3-x)(x+2)(x² -2x-3) ＜0 2:(x² +6)(x-1)(x-2)(-4x-8) ≤0 3:x(-x² -2x+3)(x-1)(-8x+24) ≥0 4:求 5:求
x 3 x 10
2
x 1
2
0
解集 解集
2x 3x 5
2
3 x 13 x 4
2
1
考点二：一元二次不等式恒成立问题
不等式对任意实数恒成立，就是不等式的解集为 R，对于一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0，它的解
a＞0 集为 R 的条件为 ；ax2＋bx＋c＜0 的解集 Δ＜0 a＜0 为 R 的条件为 . Δ＜0
例 1：已知不等式 （1）若对一切实数
x mx 4 x m 4
②若 a2－1≠0，即 a≠± 时， 1 原不等式解集为 R 的条件是 a2－1＜0， Δ＝[－a－1]2＋4a2－1＜0， 3 解得－ ＜a＜1. 5 3 综上所述，当－ ＜a≤1 时，原不等式解集为 R. 5
互动探究
本例若把不等式改为“(a2－1)x2－(a
－1)x＋1＞0”，求a的取值范围．
2
x 不等式恒成立，求实数
m 的取值范围 数 x 的取值范围
（ 2）若对于 0 m 4的所有实数
m ，不等式恒成立，求实
例2
关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0
的解集为R，求实数a的取值范围．
【解】 ①若 a2－1＝0, 即 a＝± 时， 1 若 a＝1，不等式化为－1＜0，解集为 R； 若 a＝－1，不等式变为 2x－1＜0，解集为{x|x 1 ＜ }．∴a＝1 时满足条件． 2
5 2
，x3=3顺次标在数轴
上，然后从右开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图所
∴原不等式的解集为﹛ x|-
5 2
43;4)(x+5)2(x-2)3＞0 其解集如图的阴影部分.
∴原不等式的解集为{x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2}.
(3)解法一：原不等式等价变形为
3x - 5
2
即为
x + 2x - 3 2 - 2x - x + 1
x + 2x - 3
2
-2≤0.
≤ ，即为 0
2x x - 1
2
x 2x - 3
2
0
,
﹛ x|x<-3或-1≤x≤
或x>1 ﹜.
2
1
一元高次不等式的解题步骤:
(1)化系数为正(所有x前的系数为正) (2)因式分解(分解成一次因式的乘积或一 次因式和二次不可分解因式的乘积) (3)求根和标根 (4) 穿根(偶次方根穿而不过,奇次方根既 穿又过) (5)写解集
解：①当 a2－1＝0，即 a＝± 时， 1 若 a＝1，则原不等式化为 1＞0，恒成立． 若 a＝－1，则原不等式化为 2x＋1＞0， 1 即 x＞－ ，不符合题意，舍去． 2
②当 a2－1≠0，即 a≠± 时， 1 原不等式解集为 R 的条件是 a2－1＞0 ’ 2 2 Δ＝[－a－1] －4a －1＜0 5 解得 a＜－ 或 a＞1. 3 5 综上所述，当 a＜－ 或 a≥1 时，原不 3 等式解集为 R.
考点一
分式不等式与高次不等式解法
解下列不等式:
(1)2x3-x2-15x＞0;
(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0; (3)
3x - 5 x + 2x - 3
2
≤ 2
.
【解析】（1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)＞0.把方程 x(2x+5)(x-3)=0的三个根x1=0,x2=示的阴影部分.