实用标准
“将军饮马”系列最值问题
1. 两点之间，线段最短.
2. 点到直线的距离，垂线段最短.
3. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边.
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知识讲解
古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦.
有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题: 饮马，然后再到B 地军营视察，显然有许多走法.问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索, 作了完善的回答.这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题.
F 面我们来看看数学家是怎样解决的.海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题. 根据公理：连接两点的所有线中，线段最短.
若A 、B 在河流的异侧，直接连接 AB , AB 与I 的交点即为所求.
若A 、B 在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解.
4. A B 分别为同一圆心0半径不等的两个圆上的一点，
如图，将军从A 出发到河边
海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线
现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想
轴对称及其性质:
把一个图形沿某一条直线折叠， 如果直线两旁的部分能够互相重合，
那么这个图形就叫做轴对称图
形.这条直线就是它的对称轴. 这时我们就说这个图形关于这条直线 （或轴）对称.如等腰 ABC 是轴对
称图形.
把一个图形沿着某一条直线折叠， 如果它能够与另一个图形重合， 那么就是说这两个图形关于这条 直线对称，这
条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.
如下图，
ABC 与 A'B'C'关于直线I 对称，I 叫做对称轴.A 和A , B 和B' , C 和C'是对称点.
轴对称的两个图形有如下性质:
① 关于某条直线对称的两个图形是全等形; ② 对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线;
③
两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.
线段垂直平分线:
垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等;
到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.
AP-aP^A B
实用标准
当已知条件出现了等腰三角形、角平分线、高，或者求几条折线段的最小值等情况, 对称变换，以“补齐”图形，集中条件。
所有的轴对称图形（角、线、等腰三角形、等边三角形、
标轴），都可以考察“将军饮马”问题。
题考查。
常见模型:
(1)PA PB最小
同侧异侧
A
B
图1
A
通常考虑作轴菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆、坐
考察知识点: “两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
解题总思路: 找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问构建“对称模型”实现转化
A M /
A A B
I
【变形】异侧时，也可以问：在直线 I 上是否存在一点
周长最短
类型二
实用标准 ）①PA PB 最小
同侧 异侧
异侧
②PA 同侧
I
PB 最大
B /
异侧
A
I
类型一 类型二 (4) A
B
“过河”最短距离 A'
类型三
B'
P 使的直线I 为APB 的角平分线
类型一
线段和最小
I
E
1
2
\1
I
F
(6 )在直角坐标系里的运用
E
1
2
A I
A I
E
i'
I F
B'
EF=1 APE= BPE 【例11尺规作图，作线段AB的垂直平分线，作COD的角平分线.
实用标准
所在的直线的距离相等.
【例2】已知点A 在直线I 外，点P 为直线I 上的一个动点，探究是否存在一个定点
B ，当点 上运动时，点P 与A 、B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点 B ;若不存在,
由.
【例3】如图，在公路a 的同旁有两个仓库 A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到 A 、B 两仓库的距
离和最短，这个中转站 M 应建在公路旁的哪个位置比较合理?
A.
【变式练习】如图， M 、N 为 ABC 的边AC 、BC 上的两个定点，在 AB 上求一点P ，使 PMN 的周
长最短.
实用标准 【变式练习】已知：如图, ABC 及两点 M 、N .求作：点P ，使得PM PN ，且P 点到
ABC 两边
P 在直线I 请说明理
如图， AOB 45，角内有点P ，在角的两边有两点 Q 、R （均不同于0点），求作Q 、
使得PQR 的周长的最小.
使从A 点到M 点及N 点的距离和为最小；在直线 0Q 上也取B 点，使从B 点到M 点和
OA 的边的距离和最小.
【例4】 【例5】
如图，在 POQ 内部有M 点和N 点，同时能使 MOP NOQ ，这时在直线 0P 上再取
A 点,
【例6】 的距离和也最小.证明:
AM AN
BM BN
.
已知如图，点M 在锐角
AOB 的内部, 在OB 边上求作一点P ，使点 P 到点M 的距离与点P 到
【例7】 已知：A 、B 两点在直线
l 的同侧，在I 上求作一点M ，使得|AM
BM |最小值和最大值.
B
A
实用标准
如图，在等腰 Rt ABC 中，CA CB 3 , E 的BC 上一点，满足 BE 2，在斜边 AB 上求作
如图，菱形 ABCD 的两条对角线分别长 6和8，点M 、N 分别是变AB 、BC 的中点，在对
【变式练习】（07年三帆中学期中试题）如图，正方形ABCD 中，AB 8 , M 是DC 上的一点，且DM 2 ,
N 是AC 上的一动点.
求（1） DN MN 的最小值与最大值.
（2） I DN MN \的最小值与最大值.
N \ N \
【例8】如图△ ABC , D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上的点（均不与点A 、B 、C 重合），记△DEF
的周长为P ，请作出周长最小的 △DEF .
【习题1】
一点
P 使得PC PE 长度之和最小
.
【习题 C
实用标准
角线AC 求作一点P 使得PM PN 的值最小.
【习题6】如图，在平面直角坐标系中，直线
I 是第一、三象限的角平分线.
【习题3】如图，在锐角 △ ABC 中，AB
4罷, BAC 45?
BAC 的平分线交 BC 于点D , M 、
N 分别是AD 和AB 上的动点，则 BM 【习题4】已知O O 的直径CD 为4 ,
AOD 的度数为 60 °，点B 是的中点，在直径 CD 上找一点 P , 使BP AP 的值最小,
并求BP
AP 的最小值.
【习题5】如图所示，正方形
ABCD 的面积为12 , △ ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线AC 上有一点
P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为（
C
MN 的最小值是
B
B D
D
C
D
C
D . 76
实用标准
实验与探究:
(1 )由图观察易知A 2 ,0关于直线I的对称点A'的坐标为2 ,0 ,请在图中分别标
运用与拓广: (3)已知两点D 1，3、E 1，4，试在直线I上找一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最
小.
B 5 ,3、
C 2 ,5关于直线I的对称点B'、C'的位置，并写出它们的坐标: B' C'
归纳与发现:
(2)结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P a，b关于第一、三象限的
角平分线I的对称点P'的坐标为(不必证明)；
文档。