两线段之和最短这个问题早在古罗马时代就 有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的 学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜 访他，向他请教一个百思不得其解的问题：
将军每天骑马从城堡 A出发，到城堡B，途 中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程 最短？
这就是被称为 将军饮马 而广为流传的问题。
如图：一位将军骑马从城堡 A到城堡B，途中马要 到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？
最短路径问题
——将军饮马问题及延伸
为什么有的人会经常践踏草地呢？
两点之间，线段最短
绿地里本没有路，走的人多 了… …
禁止践 踏
在公路l两侧有两村庄，现要在公路l旁修建一 所候车亭P，要使候车亭到两村庄的距离之和最短， 试确定候车亭P的位置。
A P
l
B
★思考：本题运用了 两点之间，线段最短.
.
将
B A
变式1：
已知：? MON内两点A、B.
求作：点 C和点D,使得点C在OM上，点D在ON 上，且AC+CD+BD+AB最短。
A' M
C
A
B
O
N
D
B'
变式2：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、 白两球分别位于 B、A两点的位置上，试问怎样 撞击白球，使白球 A依次碰撞球台边 OM、ON 后，反弹击中黑球？
∴ BP+AP=B'P+AP =B'A ．
∴ BP'+AP'= B'P'+AP'
在△ AB'P中' ，AB'<AP'+B'，P'
∴ BP+AP < BP'+A，P'即AP+BP最小．
变式1：
已知：P、Q是△ ABC的边AB、 AC上的点，你能在 BC上确定一点R， 使△ PQR的周长最短吗？
如图：一位将军骑马从驻地 A出发，先牵马去草地
C
M
B N
A O
变式2：
M
作法:(1)作点A关于OM的对称点A',
点B关于O的N 对称点B'.
. (2)连结A'和B'，交OM于C，交ON于D。 A
则 点 C、 D为 所 求 。
B.
.
N
.D
B'
A.' .C
O
课堂小结：
本节课研究问题的基本过程是什么？
把实际问题变成数学问题或数学模型 →推理 →猜想 →证明 ↓
OM吃草，再牵马去河边 ON喝水， 最后回到驻地 A 问：这位将军怎样走路程最短？
M 草地
O
.驻地A
N 河边
如图:已知 ? MON内一点A
求作:OM上一点B,ON上 一点C,使AB+BC+AC最 小
作法: (1)作点A关于OM、
ON的对称点A'、A''
.A B.
O
M
.A .N . C
A''
(2)连结A'和A'，' 交OM于B,交ON于C,则点B、 C为所求。
A
B
作法：
（1）作点B关于直线 MN 的对称点 B' （2）连结B'A，交MN于点 P；
所以 点P就是所求的点．
A
B
M
N
P
B'
证明：
A B
在MN上任取另一点P'， M
N
P
P'
连结BP、BP'、AP'、B'P'． B'
∵ 直线 MN是点B、B'的对称轴，点P、P'在对称轴上， ∴ BP=B'P，BP'=B'P．'
A
M
D
N
C B
谢谢，再见！
变式1：
已知P是△ ABC的边BC上的点，你能在AB、AC上 分别确定一点Q和R，使△ PQR的周长最短吗？
两点在两相交直线内部
如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马 厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮 马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短 路线。
答案：如图,A是马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩 牵出马,先到草地边某一处牧马 ,再到河边饮马 ,然后回 到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线 .
应用到实际问题中← 得出结论
今天我们学习了最短路径的相关问题，我们应 该怎么样找到它们的最短路径呢？
1、确定对称轴，找出定点的对称点。 2、连接对称点与另一点确定所求位置点（连接各 对称点确定所求位置点）。
课后拓展：
在矩形ABCD中，在边和对角线AD、BD上有两个动点M、 N,当M、N运动到何处时，BM+MN最短？